Skip to main content

Full text of "Excerpta quædam e Newtoni Principiis philosophiæ naturalis, cum notis variorum [ed. by R. Thorp.]."

See other formats


This is a digital copy of a book that was preserved for generations on library shelves before it was carefully scanned by Google as part of a project 

to make the world's books discoverable online. 

It has survived long enough for the copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject 

to copyright or whose legal copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books 

are our gateways to the past, representing a wealth of history, culture and knowledge that's often difficult to discover. 

Marks, notations and other maiginalia present in the original volume will appear in this file - a reminder of this book's long journey from the 

publisher to a library and finally to you. 

Usage guidelines 

Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the 
public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing tliis resource, we liave taken steps to 
prevent abuse by commercial parties, including placing technical restrictions on automated querying. 
We also ask that you: 

+ Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individuals, and we request that you use these files for 
personal, non-commercial purposes. 

+ Refrain fivm automated querying Do not send automated queries of any sort to Google's system: If you are conducting research on machine 
translation, optical character recognition or other areas where access to a large amount of text is helpful, please contact us. We encourage the 
use of public domain materials for these purposes and may be able to help. 

+ Maintain attributionTht GoogXt "watermark" you see on each file is essential for in forming people about this project and helping them find 
additional materials through Google Book Search. Please do not remove it. 

+ Keep it legal Whatever your use, remember that you are responsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just 
because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other 
countries. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can't offer guidance on whether any specific use of 
any specific book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner 
anywhere in the world. Copyright infringement liabili^ can be quite severe. 

About Google Book Search 

Google's mission is to organize the world's information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps readers 
discover the world's books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full text of this book on the web 

at |http: //books .google .com/I 

t I 

■ ^ 



N E W T O N I 

Principiis Phtlofophia Naturalise 



Vcneunt apud 7*. 6? J. Merrilly ct J. Nicbolfony Cantabrigia ; J. Fletcher et 
D. Pr/»r^ OxonU ; 5. D^^, J. Whifton tf B.fVbitey et J. JV(?i/r/^ Lc»^/wi 
^effematty Ebor \ Kincaid 6f 5^//, Edinburgia ; 2i. €s? Jf . Fw/w, Glafguue \ 
€t Gi^. 4^i;»/i&9 Bubliniu 






J Ames Adair, Efquirc, Soho Square, London 
James Adair jun. Efquirc 
William Adair, Efquire 
William Alder, Efquire, Berwick upon Tweed 
John Alderfon, Efquire, Cambridge 
Charles AUix, Efquire, Swaflfham, Cambridgelhire 
Mr. AUott, Trinity College, Cambridge 
Mr. Arden jun. Trinity College, Cambridge 
Mr. Arnald, St. John's College, Cambridge 


Reverend Mr. Backhoufe, M. A. Fellow of Chrift College, Cambridge 

Mr. Tho. Baldwin, B. A. St. Peter's College, Cambridge 

Reverend Mr. Barcky, M. A. Fellow of Merton College, Oxford 

Reverend Mr. Barker, M. A. Fellow of Queen's College, Cambridge, 2 Copies 

Mr. Barnes, St. John's College, Cambridge 

Reverend Mr. Barton, M. A. Fellow of Clare-Hall, Cambridge 

Reverend Mr. Bates, M. A. Fellow of St. Peter's College, Cambridge 

Mr. Bates, B. A. Fellow of King's College, Cambridge 

Reverend Mr. Beadon, M. A. Fellow of St. John's College, Cambridge, and 

Chancellor of St. David's, 2 Copies 
Mr. Bcecher, B. A. St. John's College, Cambridge 
Mr. Bell, B. A. Fellow of Clare-HaU, Cambridge 
Reverend Mr. Bell, M. A. Fellow of Pembroke-Hall, Cambridge 
Mr. Bennet, Emmanuel College, Cambridge 
Mr. Bennet, Trinity College, Cambridge 
Mr. Bcntham, Cambridge 
Library of Berwick upon Tweed 
Mr. Beverly, Chrift College Cambridge 

James Bindley, Efquire, Fellow of St. Peter's College, Cambridge 
Reverend Mr. Blackall, Fellow of Emmanuel College 
John Erafmus Blacket, Efquire, Newcaftle upon Tyne 
Francis Blake, Efquire, F. R. S. 
Mr. Bond, Caius College, Cambridge 
Samuel Borlafe, Efquire 

Reverend William Borlafe, B. A. St. Peter's College 
Mr. George Borlafe, B. A. St. Peter's Collie 

a 2 Reverend 



Reverend Mr. Bowden, M. A. Fellow of Merton College, Oxford 

Mr. Brand, Caius College, Cambridge 

Salifbury Brereton, Efquire, F. R. S. 

Mr. Brown, Gentleman Commoner of Hertford College, Oxford 

Alhtcn Warner Byam, Efquire, Fellow of St. Peter's College, Cambridge 

Reverend Mr.Byrche, M. A. late Fellow of Sidney College, 2 Copies 

Mr. Byron, St. John's College, Cambridge 

The Honourable Mr. Cornwallis, B. A. Fellow of Merton College, Oxford 
Count Carburi 

Sir Gervas Clifton, Baronet, Chrift College, Cambridge 
Mr. Callamy, Fellow-Commoner of Emmanuel College, Cambridge 
Reverend Mr. Carlos, M. A. Fellow of Caius College, Cambridge 
Reverend Mr.Carr, M. A. Fellow of Clare-Hall, Cambridge 
Mr. Carter, Trinity College, Cambridge 
Mr. Caftle, M. A. Caius College 
Henry Bolton Cay, Enquire, Fellow of Clare-Hall 

Thomas Chamberliyne, Efquire, Fellow-Commoner of Clare-Hall, Cambridge 
Mr. Chambers, M. A. Fellow of Univerfjty College, and Vinerian Law Fel- 
low in the Univerfity of Oxford 
Reverend Samuel Chandler, D.D. F. R.S.. 
Mr. Chapman, M. A. Fellow of Merton College, Oxford 
Reverend Mr. Churchill, M. A. Fellow of Clare-Hall, Cambridge 
Mr. Clowes, Clare-Hall 
Mr. Clubbe, Caius College, Cambridge 
Mr. Cole, Trinity College, Cambridge 

Do(5tor Collignon, Profcflbr of Anatomy^ in the Univerfity of Cambridge 
Reverend Mr. Colman, M. A. Fellow of Corpus Chrifti College, Cambridge 
Mr. Ifaac Cope, Leek, StafFord(hire 
Reverend Mr. Corey, M. A. Fellow of Caius College 
Library of Corpus Chrifti College, Oxford 

Reverend Mr. Cowper, M. A. Fellow of Corpus Chrifti College, Cambridge 
Mr. Thomas- Crafter, St John's College, Cambridge 
Mr. Crofley, St. John's College, Cambridge 
Lewis Crufius, D.D. F.R.S. upper Mafter of the Charterhoufe School 


Reverend Mr. Daker, B. A. Fellow of Magdalen College, Cambridge 

Robert Dale, LL. D. Fellow of Trinity-Hall, Cambridge 

Reverend Mr. Darby, M. A. Fellow of Jefus College, Cambridge 

Mr. John Davenport, Leek, StafFordfliire 

Reverend Mr. Davies, M. A. Fellow of Merton College, Oxford 

Reverend Mr. Davifon, M. A. Fellow of St. Peter's College, Cambridge 

Mr. Dawfon, B. A. Jefus College, Cambridge 

Mr. Dean, St. John's College, Cambridge 

Mr. Difney, St. Peter's CoUege, Cambridge 



Richard Hancorn Duppa, Efquire 

Mr. Dutens, Queens College, Cambridge 


Mr. Earl, M. A. Merton College, Oxford 

Mr. Eaton, B. A. St. Peter's CoUege, Cambridge 

Charles Egleton, Efquire, Fellow-Commoner of Queen's College, Cambridge 

Reverend Mr. EUifon, M. A. Fellow of Merton College, Oxford 

Reverend William EUifton, D. D. Mailer of Sidney College, Cambridge 

Reverend Mr. Evans, M. A. Fellow of Clare-Hall, Cambridge 


The Honourable Mr. Fitzwilliams, M. A. Trinity- Hall, Cambridge 

Reverend Mr. Farmer, M, A. Fellow of Emmanuel College, Cambridge 

William Fauquier, Efquire, F. R. S. 

Mr. Foote, Gentleman- Commoner of Hertford College, Oxford 

Mr. John Ford 

Reverend Mr. Forfter, M. A. Fellow of Jefus College, Cambridge 

Reverend Thomas Frampton, B.D. Fellow of St. Johh's College, Cambridge 

Mr. Frank, Trinity College, Cambridge 

The Right Honourable Lord Grey 

The Honourable John Grey, M. A. Queen's College, Cambridge 

■ Gardner, Efquire, Fellow-Commoner of St. John's College, Cambridge 

Reverend Mr. Gardner, M.A. Fellow of Catherine-Hall, Cambridge 

Mr. Glover, St. John's College, Cambridge 

Reverend Peter Stephen Goddard, D. D. Matter of Clare-Hall, Cambridge 

Mr. Goodenough, M. A. Merton College, Oxford 

John Old Goodford, Efq -, Fellow-Commoner of Queen's College, Cambridge 

Reverend John Gordon, D.D. St. Peter's College, Cambridge 

William Gordon, Efquire, Fellow of Queen's College, Cambridge 

Samuel William Gordon, Efquire, Fellow of St. Peter's College, Cambridge 

Mr. Graham, Trinity College, Cambridge 

Mr. Gregory, Magdalen College, Cambridge 


John Hadley, M.D. F.R.S. late Fellow of Queen's College, and Profeflbr 

of Chemiftry in the Univerfity of Cambridge 
Reverend Mr. Hall, B. A. Fellow of St. John's College, Cambridge 
Reverend Mr. Hallifax, M.A. Fellow of Lincoln College, Oxford j and 

Profeflbr of Divinity at Grefham College 
George Hardinge, Efquire, Middle Temple 
Reverend John Harris, Vicar of Sturmifter-Marfhal, Dorfetlhire 
John Harrifon, Efquire, Fellow- Commoner of St. John's College, Cambridge 



William Heberden, M.D. F.R.S. 6 Copies 

•Reverend Mr. Henfon, M. A. Fdlow of Sidney College, Cambridge 

Mr. Heflop, B. A. Coipus Chrifti College, Cambridge 

Mr. Hetcley, St. John's College, Cambridge 

Reverend Mr. Hey, M. A. Fellow of Sidney College, Cambridge 

Noel Hill, Efquire, Fellow-Commoner of St. John's College, Cambridge 

Dodor Hinckley 

Jacob Hinde, Efquire, Langham-Hall, Eflcx 

Mr. Hobhoufe, M. A. Brazen Nofe College, Oxford 

Reverend Mr. Holcombe, M. A. late Fellow of Chiift College, Cambridge 

Reverend Mr. Hornfby, M. A. Savillian Profeflbr of Aftronomy in the Uni- 

verfity of Oxford 
Mr. Hudfon^ Queen's College, Cambridge 

Julius Hutchinfon, Efquire, Fellow-Commoner of Sidney College, Cambridge 
John Hyde jun. Efquire, of the Temple 


Doftor Jebb, Stratford 

Mr. Johnfon, Caius College, Cambridge 

Reverend Mr. Jones, Cambridge 

Mr. Jones, B. A. Trinity College, Cambridge 

Mr. Jones, St. Peter's College, Cambridge 

Mr. Ironfide, B. A. Fellow of St. John's College, Cambridge 

Mr. Ives, B. A. Caius College, Cambridge 


Reverend Mr. Keate, B. A. Fellow of King's College, Cambridge 
Reverend Mr. King, M. A. Fellow of St. Peter's College, Cambridge 


Mr. Lambert, B. A. Trinity College, Cambridge 

Mr. Law, Chrift College, Cambridge 

Reverend John Lawfon, B. D. Reftor of Swanfcombe 

Reverend Mr. Lee, M. A. Fellow of King's College, Cambridge 

Mr. Seymour Leeke, St. Peter's College, Cambridge 

Mr. Charles Le Grice, S^. John's College, Cambridge 

Reverend Mr. Leicefter, Prebendary of Peterborough 

Charlton Leighton, Efquire, Fellow-Commoner of St. John's College 

Reverend Mr. Lloyd, M. A. Fellow of Queen's College, Cambridge 
Mr. John Lloyd, Queen's College, Cambridge 
William Lobb, M. A. Fellow of St. Peter's College, Cambridge 
Reverend Roger Long, D. D. Mafter of Pembroke-Hall, and Profeflbr of 

Aftronomy in the Univerfity of Cambridge 
Reverend Mr. Longmire, M. A. Fellow of St. Peter's College, Cambridge 
Mr. Lovell, M.A. Fellow of Merton College, Oxford 
Reverend Mr. Ludlam, M.A. Fellow of St. John's College, Cambridge 




Mr. Mace, Clare-Hall, Cambridge 

Horatio Mann, Efquire, St. Peter's College, Cambridge 

Reverend Mn Marfli, Redtor of Ford, Northumberland 

Reverend Mr. Marfli, M. A. Fellow of Queen's College, Cambridge 

Mr. Marfli, St. John's College, Cambridge 

Reverend Mr. Martyn, M. A. Fellow of Sidney College, and Profeflbr of 

Botany in the Univerfity of Cambridge 
Francis Maferes, Efquire, of the Temple 
Lieutenant Colonel Edward Maxwell 
Robert Maxwell, Efquire 
Reverend Mr. Mtchell, B. D. F. R. S. late Fellow of Queen's College, and. 

Woodwardian Profeflbr of Foffils in the Univerfity of Cambridge 
Reverend Mr. Moifes, M. A. Ledturer of All Saints, Ncwcaftle 
Mr. Moore, B. A. Trinity College, Cambridge 
Reverend Patrick Murdock, D. D. F. R. S. 
Reverend Mr. Murhall, M. A. FcUow of Chrift College, and Senior Proftor 

m the Univerfity of Cambridge 

Mr. Nafmith, Corpus Chrifti College, Cambridge 
Reverend John Newcombe, D.D. late Matter ofSt. John's College, Cambridge,, 

and Dean of Rochefter 
Reverend Mr. Newcombe, M. A. Fellow of Hertford College, Oxford 
Reverend John Nicols, D. D. Preacher to the Charterhoufe, and Prebendary 
of Ely 


The Right Honourable Arthur Onflow, Efquire 

George Onflow, Efquire, Member of Parliament for the County of Surry 
George Onflow, Efquire, Member of Parliament for Guilford, Surry 
Reverend Mr. Oldham, M. A. Fellow of St- Peter's College, Cambridge 
Reverend Mr. Oliver, M. A. FeUow of Sidney College, Cambridge 


Mr. Pawfon, St. Peter's College, Cambridge 
Mr. Peake, St. John's College, Cambridge 
Mr. Pearce, St. John's College, Cambridge 
Peter Peirfon, Efquire, of the Inner Temple 

Andrew Pemberton, Efquire, Fellow of St. Peter's College, Cambridge 
Mr. Ifaac Pennington, St. John's CoU^, Cambridge 
Mr. Penton, Trinity College, Cambridge 
Mr. Perrin, Gentleman-Commoner of Chrift Church, Oxford. 
John Lewis Petit, M. D. F. R. S. 

Mr. Pierfon, B. A. Jefus College, Cambridge ^ 


visi A LIST of the SUBSCRIBERS. 

Mr. Popham, Trinity College, Cambridge 

Heverend Mr. Porteus, M. A. late Fellow of Chrift College, Cambridge 

William Poft, Efquire, Fellow of Queen's College, Cambridge 

Mr. Prefton, B. A. Queen's College, Cambridge 

Samuel Provooft, Efquire, Fellow-Commoner of St. Peter's College, Cambridge 

Heverend Mr. Purkis, Fellow of Magdalen College, Cambridge 


Mr. RawHnfon, Queen's College, Cambridge 

Mr. Rayner, B. A. Caius College, Cambridge 

Edward Reeve, Efquire, Lincoln's Inn 

Mr. Richmond, B. A. Trinity College, Cambridgje 

Reverend William Ridlington, LL. D. Fellow of Trinity-Hall, and Profeflbr 

of Law in the Univerfity of Cambridge 
Mr. Rooke, Trinity College, Cambridge 
Mr. Rudd, St. John's College, Cambridge 

Mr. Thomas Ruggles, Fellow-Commoner of Sidney College Cambridge 
Reverend Mr.Ruflel, M. A. Fellow of Corpus Chrifti College, Oxford 

The Right Honourable the Countefs of Stamford 

Reverend Samuel Salter, D. D. Matter of the Charterhoufe 

Mr. Scaifc, Trinity College, Cambridge 

Reverend Mr. Shepherd, B. D. Fellow of Chrift College, Plumian Profeflbr 
of Aftronomy and Experimental Philofophy in the Univerfity of Cam- 
bridge, and F.R.S. 

John Simpfon, Efquire, Newcaftle upon Tyne 

Reverend John Smith, D.D. Mafter of Caius College, Cambridge 

John Smith, Efquire, Fellow-Commoner of Magdalen College, Cambridge 

Mr. Smyth, B. A. Clare-Hall, Cambridge 

Mr. Spry, M. A. Fellow of Merton -College, Oxford 

Reverend William Steggall, M. A. Reftorof Wyverfton, Suffolk 

Reverend Mr. Stevens, M. A. Fellow of Trinity College, Cambridge 

Reverend Mr. Stoddart, B. A. Chrift College, Cambridge 

Mr. Swale, B. A. St. John's College, Cambridge 


I'he Honourable Thomas Townlhend, Member of Parliament for thf Univer- 
fity of Cambridge 
Mr. Taylor, Queen's College, Cambridge 
Reverend Mr. Tew, M. A. Fellow of King's College, Cambridge 
Reverend Thomas Thorp, M. A. Vicar of Berwick upon Tweed 
Mr. Robert Thorp, Newcaftle upon Tyne 
Mr. Tildyard, Fellow-Commoner of Caius College, Cambridge 
Reverend Mr. Trevigar 
Mr. Travis B. A. St. John's College, Cambridge 



Reverend Mr. Tucker, M. A. Canterbury • 

Reverend Mr. Turner, M. A. Fellow of Merton Collcge» Oxford 
Reverend Mr. Turner, M. A. Fellow of Emmanuel College, Cambridge 
Mr. Turner, Pembroke-Hall, Cambridge 
Mr. Tyfon, B. A. Corpus Chrifti College, Cambridge 


Mr. Waddington, Clare-Hall, Cambridge 

Mr. Ward, B. A. St. John's College, Cambridge 

Mr. Ward, Chrift College, Cambridge 

Edward Waring, M. A. Fellow of Magdalen College, Lucafian Proicflbr of 

Mathematics in the Univerfity of Cisunbridge, and F. R. S. 
Reverend Mr. Watfon, M. A. Fellow of Trinity College, and Profeflbr of 

Chemiflry in the Univerfity of Cambridge 
Mr. Watfon, Caius College, Cambridge 

Reverend. Mr. Wefton, M. A. Fellow of Magdalen College, Qidbrd 
Reverend Mr. Wheeler, M. A. Fellow of M^alen College, Oxford 
Mr. John White, B. A. Caius College, Cambridge 
Reverend Mr. Hsniy Whitfield, Fellow of Pembroke-Hall, Cambridge 
John Willbn, M> A. Fellow of St. Fetei^s College, Cambridge 
Mr. Wilfon» Chrift College,, Camhrid^ 
Mr. Wilfon, Pembroke-Hall, Cambridge 
Mr. Wife, St. John's College, Cambridge 
Francis Wollafton, Efquire, F. R.S. 4 Copies 
Reverend Frands Wollafton, LL. B. Reftor of Eaft Dereham, Norfolk 
George Woodd, Efquire, Richmond in Surry 
Mr. Woodhoufe, Emmanuel College, Cambridge 

Ralph Wormley, Efquire, Fellow-Commoner of Trinity-Hall, Cambridge 
Reverend Mr. Wynter, B. A. Fellow of Sidney CoUeee, Cambridge 
Reverend Mr, Wyvill, LL. B. Queen's CoUe^, Cambridge 


The Honourable John Yorke, Efquire 

The Honourable and Reverend James York, Dean of Lincoln 


Reverend Mr. Zouch, M, A. Fellow of Trinity College, Cambridge. 



AG. II. L 27. pro augeantur numero el fnagnitudine^ diminuantur tec. lege 
awgiantur numero^ it magnitudine diminuantur. Pag. a i . 1. ult. pro B d^ 
1^ BD. Pag. 24. 1. 20. pro Dc^ lege DC: 1. 2 1. pro punUi a, lese punffi O: 
1. 23. pro Z)^> lege dc: 1. 25. pro Dc, lege Jr.* 1. 26. pro DchA^ iMe DCbA. 
Pag. 25. 1. 26. pro i?*, lege BK. Pag. 26. 1. 33. pro JIG^ lege /f/. Pag.34. 
1. 26. pro £ V, lege ^tf« Pag. 80. 1. 19. deed *• rag. 88; 1. 21. pro ch kgc 
ab. Pag. 89. 1. 26. pro hypotbefes^ lege typotbefin. Pag. 90. 1. 30. pro gravis- 
tationum^ lege gravitationis. Pag. 102. I.4. pro planetoSj lege planetas. Pzg. 
121. 1. 33. pro Pr^. TF, lege /^rtjp. W. PsLg. 150. 1. 36. pro JSr^gias^ lege 
JB^zjfgiis. rag. 153. 1. 29. pro offantantibuSj lege oSantibus. Pag. i6i. 1. 17. 
et 18. pro fiinentibus. \est fequentibus. Pag. i6^. 1. 34. pro ^Km»i« lege 

II ■■ ■■»! 


P R I N C I P I A 

Philosophic Naturalis. 


1. ^antitas mater tee eft menfura ejufdem orta ex illius 
denfitate et magnitudine conjunElim, 

2. ^luantitas motus eft menfura ejufdem orta ex velocitatt 
et quantitate materia conju?t6iim. 

3. Mater tee vis infita eft fotentia rejiftendit qua corpus 
unumquodque, quantum in fe eft, perfeverat in ftatu 

fuo vel quiefcendi vel movendi uniformiter in direSium, 

4. Vis imprejfa eft aSiio in corpus exercita^ ad mutandum 
ejus ftatum vel quiefcendi vel movendi uniformiter in 

5. Vis centripeta efty qua corpora verfus punSium aliquod, 
tanquam ad centrum^ undique trabuntur^ impelluntur, 
vel utcunque tendunt* 

A 6. Vis 


6. f^is centripetce quantitas ahfoluta eft menfura ejufdem 
major wel minor pro efficacia cauftB tarn propagantis a 
centro per regiones in circuitu. 

J. Vis centripetce quantitas acceleratrix eft ipfius menfura 
velocitati proportionalis^ quam dato tempore generat. 

8. Vis centripetce quantitas motrix eft ipfius menfura 
proportionalis motui^ quern dato tempore generat. 

Hafce virium quantitates trevitatis gratia nominarc licet vires 
motrices, acceleratrices, et abfolutas ; et diftinftionis gratia refer- 
it ad Corpora centrum petentia, ad corporum Loca, et ad Cen- 
trum virium: nimirum vim motricem ad Corpus, tanquam cona- 
tum totius in centrum ex conatibus omnium partium compofi- 
tum; et vim acceleratricem ad Locum corporis, tanquam effica- 
ciam quandam de centro per loca iingula in circuitu difRifam, ad 
movenda corpora quae in ipfis funt; vim autem abfolutam ad Cen- 
trum tanquam caufa aliqua praeditum, fine qua vires motrices non 
propagantur per regiones in circuitu; five caufa ilia fit corpus a- 
Liquod centrale (quale eft Magnes in centro vis magneticae, vel 
Terra in centro vis gravitantis) five alia aliqua quae non apparet. 
Mathematicus duntaxat eft hie conceptus. Nam virium caufiis 
et fedes Phyficas jam non expendo. 



A X I O M A T A, 




Corpus omne perf ever are in fiatu fuo quiefcendi vel mo- 
vendi uniformiter in direSiunty nifi quatenus illud a vi- 
ribus imprejps cegitur fiatum fuum mutare, 


Mutationem motus proportionalem ejfe vi motrici impreffa^ 
et fieri fecundum lineam reSiam qua vis ilia imprimi" 


ABioni contrariam femper et equalem eJfe reoBionemi 
five corporum duorum oQiones in fe mutuo femper eje 
aquales et in partes contr arias dirigi. 


Corpus viribus conjunSis diagonalem parallelogrammi eo- 
dem tempore defcribere^ quo laterafeparatis. 

Si corpus dato tempore, vi Tola M in loco A imprefla, ferretur Tab. 14 
uniformi cum motu zb A2A Bi et vi fola iVin eodem loco im- ^* '* 
prefTa, ferretur ab^ad C: compleatur parallelogrammum ABDC^ 
et vi utraque feretur corpus illud eodem tempore in diagonali ab 

A 2 A 


AxioMATA, -^ ^^ -D. Nam quoniam vis N agit fecundum lineam AC ipfi 
SivE ^2) parallelam, haec vis per legem II. nihil mutabit velocitatem 
accedendi ad lineam illam BD a vi altera genitam. Accedet igi- 
tur corpus eodem tempore ad lineam BZ), five vis N imprimatur, 
five non^ atque ideo in fine illius temporis reperietur alicubi in 
linea ilia BD. Eodem argument© in fine temporis ejufdem repe- 
rietur alicubi in linea CDj et idcirco in utriufque lineae concurfii 
D reperiri necefle eft. Perget autem motu redVilineo ab ^ ad jD 
per legem I. 


Tab. I. Et hinc patet cofnpofitio vis direSi^ AD ex vtribus quibuf- 
^^* *' vis obliquis AB et BD, et vicijjim refolutio vis cujufuis 

direEice AD in obliquas quafcunque AB et BD. ^lute 
quidem compojitio et refolutio abunde conjirmatur ex 

Tab. I. Ut fi de rotae alicujus centro O exeuntes radii inaequales Af, 

Fig. 2. OJVfilis MAy NP fuftineant pondera A et P, et quaerantur vi- 
res ponderum ad movendam rotam : Per centrum O agatur refta 
KOL filis perpendiculariter occurrens in K et i, centroque O et 
intervallorum OK^OL majore OL, defcribatur circulus occurrens 
filo MA in D: et adlae reftae O 2) parallella fit AC^ et perpendi- 
Cularis DC. Quoniam nihil refert, utrum filorum punda K^ 
Ly D affixa fint an non affixa ad planum rotae; pondera idem va- 
lebunt, ac fi fiafpenderentur a pun£lis Ktx. L vel D et L. Pon- 
deris autem A exponatur vis tota per lineam ADy et haec refol- 
vetur in vires AC^ CDy quarum AC trahendo radium OD di- 
reftc a centro nihil valet ad movendam rotam ; vis autem altera 
DC, trahendo radium DO perpendiculariter, idem valet, ac fi 
perpendiculariter traheret radium OL ipfi OD aequalem; hoc eft, 
idem atque pondus P, fi modo pondus illud fit ad pondus A ut 
vis DC ad vim DAy id eft (ob fimilia triangula ADC, DOK,) 
ut OK zA OD feu OJL, Pondera igitur ^et P, quae fimt re- 
ciproce ut radii in direftum pofiti OK ^t OL, idem pollebunt, 

5 ct 


ct fie confiftent in sequilibrio : quae eft proprietas notiffima librar, ^^^^^ 
veftis, et axis in peritrochio. Sin pondus alterutrum fit majus Motus. 
quam in hae ratione, erit vis ejus ad movendam rotam tanto 

Quod fi pondus p ponderi P aequale partim fufpendatur filo Np^ 
partim incumbat piano obliquo/ G: agantur p i?, NHy prior 
horizonti, pofterior piano / G perpendicularis ; et fi vis ponderis 
p deorfiim tendens, exponatur per lineam p H, refolvi poteft haec 
in vires p Ny HN. Si filo p N perpendiculare effet planum ali- 
quod p ^ fecans planum alteram / G in linea ad horizontem pa- 
rallel; et pondus / his planis p ^ p G folummodo incumberet; 
urgerct illud haec plana viribus p iV, HNy perpendiculariter nimi- 
rum planum p ^vip N^ et planum p G, vi HN. Ideoque fi tol- 
latur planum / ^ ut pondus tendat filum ; quoniam filum fiifti- 
nendo pondus jam vicem prxftat plani fiiblati, tendetur illud 
eadem vi p iV, qua planum antea urgebatur. Unde tenfio fill 
hujus obliqui erit ad tenfionem fili alterius perpendicularis P N, 
xxtp N 2Ap H. Ideoque fi pondus p fit ad pondus A in ratione, 
quae componitur ex ratione reciproca minimarum diftantiaram 
filoram fiiorum p iV, AM a centro rotac, et ratione direfta p H 
ad p Ni pondera idem valebunt ad rotam movendam, atque ideo 
fe mutuo fiifiinebunt, ut quilibet experiri poteft. 

Pondus autem/, planis illis duobus obliquis incumbens, ratio- 
nem habet cunei inter corporis fifli facies internas : et inde vires 
cunei et mallei innotefcunt : utpote cum vis qua pondus / urget 
planum / ^fit ad vim, qua idem vel gravitate fiia vel iftu mal-^ 
lei impellitur fecundum lineam p Hin plana, xitp NzdJ> H-, at- 
que ad vim, qua urget planum alterum / G, ut ^ iV ad NH. 
Sed et vis cochleae per fimilem virium divifionem colligitur; 
quippe quae cuneus eft a vefte impulfiis. Ufiis igitur corollarii 
hujus latifiime patet, et late patendo veritatem ejus evincit; cum 
pendeat ex jam di£tis mechanica tota ab au£toribus diverfimode 
demonftrata. Ex hifce enim fapile derivantur vires machinarum, 
quae ex rotis, tympanis, trochleis, ve6tibus, nervis tenfis et pon- 



Axiom ATA, dcribus dircftc vcl obliquc afcendentibus, caeterifque potentus 

^'^* mechanicis componi folent, ut et vires tendinum ad animalium 

ofla movenda. 


^antitas motus qu(B colligitur capiendo fummam motuum 
faSiorum ad eandem partem^ et differentiam faSiomm 
ad contrariasy non mutatur ab oBione corporum inter Je. 

Etenim a£lio eique contraria readlio aequales funt per legem 
III^ ideoque per legem IL squales in motibus efficiunt mutatio- 
nes verfus contrarias partes. Ergo ii motus fiunt ad eandem 
partem; quicquid additur motui corporis fiigientis, fubducetur 
motui corporis infequentis fic, ut fumma maneat eadem quse pri- 
us. Sin corpora obviam eant; a?qualis erit fubdudio de motu u- 
triuTque, ideoque differentia motuum fa£torum in contrarias par^^- 
tcs manebit eadem. 


Commune gravitatis centrum corporum duorum vel pbi^ 
rium^ ab aSiionibus corporum inter fe^ non mutat fia^ 
tum fuum vel motus vel quiet is ; et propter ea corporum 
omnium in fe mutuo agentium (exclujis a&ionibus et 
impedimentis externis) commune centrum gravitatis vel 
quiefcit vel movetur uniformiter in direSlum. 

[*] Nam fi puncta duo progrediantur uniformi cum motu in line- 
is reftis, et diflantia eorum dividatur in ratione data, pun£him 
dividens vel quiefcit vel progreditur uniformiter in linca refta. 
Ergo li corpora quotcunque moventur unifonniter in lincis rec- 
tis, commune centrum gravitatis duorum quorumvis vel quiefcit 


[*1 I • Si rcdbc duac pofitione data AC^ BD ad data punda Aj 5, tcrmincn- 

Fiz!\l ^^^ datamquc habeant radonem ad invjcem, et rc6la CD, qua punda indc- 

temunaca C,£), junguntur, (ecetur in ratione data in K: dice quod punfhim 
K locabitur in rcda pofitione data. 

Concurrant enim re£be >f C, BDin E^ et in BE capiatur £G ad AE ut 
cBt BD zd jlCf fitquc FD fcmper aequalis datae EGi et erit ex conftnic- 



vel progreditur uniformitcr in linea refta; propterca quod linea, lbqe, 
horum corporam centra in rcftis uniformitcr progrcdientia jun- Motus- 
gens, dividitur ab hoc centre communi in ratione data. Simili- 
ter et commune centrum horum duorum et tertii cujufvis vel qui- 
cfcit vel progreditur uniformitcr in linea refla ; proptcrea quod 
ab eo dividitur diftantia centri communis corporum duorum et 
centri corporis tertii in data ratione. Eodem modo et commune 
centrum horum trium et quarti cujufvis vel quiefcit vel progredi- 
tur uniformitcr in linea re6la; proptcrea quod ab eo dividitur 
diftantia inter centrum commune trium et centrum quarti in data 
ratione, et lie in infinitum. Igitur in fyftemate corporum, quae 
a£lionibus in fe invicem aliifque omnibus in fe extrinfccus im- 
preffis omnino vacant, ideoque moventur fmgula uniformitcr in 
re£lis fingulis, commune omnium centrum gravitatis vel quiefcit 
vel movetur uniformitcr in directum. 

Poi'ro in fyftemate duorum corporum in fe invicem agentium, 
cum diftantia centrorum utriufque a communi gravitatis centre 
fint reciproce ut corpora 5 erunt motus relativi corporum corun- 
dem, vel accedendi ad centrum illud vel ab eodem reccdendi, eequa- 
Ics inter fe. Proindc centrum illud a motuum sequalibus mu- 
tationibus in partes contrarias fa6tis, atque ideo ab a6tionibus 
horum corporum inter fe, nee promovctur, nee retardatur, nee 
mutationem patitur in ftatu fuo quoad motum vel quietcm. In 
fyftemate autem corporum plurium, quoniam duorum quorum- 

tione EC ad GD^ hoc eft, ad EF ut AC ad BV^ ideoque in ratione data, ct 
proptcrea dabitur fpccic triangulum EFC. Secetur CF in L ut fit CL ad 
CF in ratione CK ad CD\ et ob datam illam rationem dabitur etiam fpccic 
triangulum EFL\ proindcque pun£tum L locabitur in redta EL pofitione 
data. Jungc LK^ et fimilia erunt triangula CLK^ CFD ; ct ob datam FD 
et datam rationem LK ad FD dabitur LK. Huic a^qualis capiatur EH^ et 
crit femper ELKH parallelogrammum. Locatur imtur punctum K in pa- 
rallelogrammi illius latere pofidonc date HK. Q^E.D. 

Corol. Ob datam fpccic figuram EFLCj redas tres £F, ELy ct £C, id eft 
GA HK^ et EC datas habcnt rationcs ad invicem. 

Eadem ratione demonftrarj pot^ fi motu$ pynAorum C ct JD ngn fiant in 
eodem piano. 



AxioMATA, vis in fe mutuo agentium commune gravitatis centrum ob a6tio- 

nem illam nuUatenus mutat ftatum fuumj et reliquorum, qui- 
bufcum aflio ilia non intercedit, commune gravitatis centrum 
nihil inde patitur; diftantia autem horum duorum centrorum 
dividitur a commimi corporum omnium centro in partes fummis 
totalibus corporum quorum funt centra reciproce proportionales; 
ideoque centris illis duobus ftatum fuum movendi vel quiefcen- 
di fervantibus, commune omnium centrum fervat etiam ftatum 
ftium : manifeftum eft quod commune illud omnium centrum ob 
aftiones binorum corporum inter fe nunquam mutat ftatum 
fuum quoad motum e^ quietem. In tali autem fyftemate a£lio- 
nes omnes corporum ihter fe, vel inter bina funt corpora, vel 
ab a6iionibus inter bina compofitas; et propterea communi om- 
nium centro mutationem in ftatu motus ejus vel quietis nun- 
quam inducunt. Quare cum centrum illud ubi corpora non a- 
^nt in fe invicem, vel quiefcit, vel in re6la aliqua progreditur 
uniformiter; perget idem, non obftantibus corporum a6lionibus 
inter fe, vel femper quiefcere, vel femper progredi uniformiter in 
directum ; nifi a viribus in fyftema extrinfecus impreilis deturbe- 
tur de hoc ftatu. Eft igitur fyftematis corporum plurium lex ea- 
dem, quae corporis folitarii, quoad perfeverantiam in ftatu motus 
vel quietis. Motus enim progreflivus feu corporis folitarii feu 
fyftematis corporum ex motu ccntri gravitatis aeftimari femper 


Corporum dato f patio tncluforum iidem funt motus inter 
fcy Jive fpatium illud quiefcat^ Jive moveatur idem uni- 
formiter in direSlum Jine motu circulari. 

Nam differentiae motuum tendentium ad eandem partem, et 
fummae tendentium ad contrarias, eaedem funt fub initio in utro- 
que cafu (ex hypothefi) et ex his fummis vel differentiis oriun- 
tur congreffus et impetus quibus corpora fe mutuo feriunt. Ergo 
per legem ii aequales erunt congreffuum efFedtus in utroque 



cafu} et propterea manebunt motus inter fe in uno cafu sequales Lioi* 
motibus inter fe in altero. Idem comprobatur experimento lucu- **<'■"'•• 
lento. Motus omnes eodem modo fe habent in navi^ five ea qui- 
efcat, five moveatur uniformiter in directum. 

Si corpora moveantur quomodocunque inter fe^ et d viri- 
bus acceieratriciius aqualibus fecundum lineas parol- 
lelas urgeantur\ pergmt omnia eodem modo moveri in- 
ter fey ac fi viribus illis non ejfent incitata. 

Nam vires illse asqualiter (pro quantitatibus movendorum cor- 
porum) et fecundum lineas parallelas agendo, corpora omnia as- 
qualiter (quoad velocitatem) movebimt per legem II. ideoque 
nunquam mutabunt pofitiones et motus eorum inter fe. 



^ :;; sECTio I. 

De methodo Rattonum primarutn et ultimarunty cujus ope 

fequentia demonjirantur. 

De methodo Exbaujiionum. — De methodo IndivifibiUum. — De metbo^ 
do Rationum primarum et ultimarum. — De accomodatione me^ 
tbodi Rationum primarum et ultimarum ad iftoentiMem virium cen^ 

Datse propofinpciis veritatem fimifliin^ per methodoa di^erias. ftabilire con- 
ceditur. Eminec vero inter alias ula demonftrationis forma, quam direftam 
nopiipare licet : in qua nimirum, ope axiomatum quonindam fimplidffipfio- 
rum, vel theorematum quae antea demonftrata funt, ad prc^fitionis ipfius 
cognitionem, nulla circuitione fad^, perducimur. 

Q^nUm vetY) hominum folerda nequit in omni cafu ideas Uias iiKernus 
dias^quibus extremae conneduntur inveftigarc, la^($pf)e inv/qDifnug.gfWP[ie«> 
tras permultos praeftantiflimam banc veritatem eliciendi rationem invitos fane 
dcclinare, atque radocinia ex abfurdo in fcripus fuis palTim ufurpare. Quan- 
docunque enim aditus ad veritatem immediate perducens vel patebat nullus, 
vel difficilis ac confragofus, hypothefin omnem quam quis excogitare potuit 
diluendo, pneter illam quam ftabilire et confirmare voluerunt, ex fidds fup* 
pofidonibus verum tandem eruebant. Hac demonftrationis forma {aepiflime 
ftabilitur Veritas propofitionum fimpliciflimarum ad figuras redtilineas fpedan- 
tium. Propofitiones vero quse fpe£tant ad figuras curvilineas deteguntur, vel 
immediata comparatione legum quibus generantur, vel ope figurarum rcdi- 
linearum, inter quas et curvilineas intercedit data relatio : hae vero relariones 
inveftigari nequeunt immediata compararione figurarum, quas in nKxlo gene- 
rationis funt prorfus dif&miles ; et confulitur penpicuitati et evidential geome- 
trical, fi ex recepds et conceflSs figurarum redilinearum proprietatibus ad cur- 
vilineas liceat immediate tranfire. Neceflario igitur oritur hujulce method! 
frequentior ufus in inveftigandis figurarum proprietatibus, fi curvilinearum re- 
lariones ex iildem principiis cum eadem fimpUcitate et evidentia determinare 
vellemus. Cum fpatia reftilinea inter fe conferenda funt, ut magnitudines eo- 
rum patefiant, methodus primaria ea eft qua utitur Euclides in Elem. i. 4. ubi 
criangulum triangulo fuperponi intelligitur, quamque applicat in omni alia 
comparatione fpatiorum re&ilineorum inter fe. Cum autem fpada curvilioea 
cum redilineis vel inter ie conferenda funt, propter genefeos l^em diverlam, 
cadem methodus applicari nequit. Hinc alio ratiocinad funt modo v e t oes 
geometrae, methodumque exhauftionum invenerunt. Secundum hanc infcribere 
CE. ciicttmlcribere folebant Ipada redilioea fpatio curvilineo quidem inaequa- 
lia^ ea vero lege variata, ut, fi afliimatur data qua^i^ quantitas, difi[erentia eo- 



rUm ita minuctur, ut fiat hac quantitatc minor: ct tandem, invcnicndo sectio 
abfurditatcm quandam fequi fi fpatia quae comparabant majoravel minora Prima. 
aliiid alio fingerentur, acqualia effe concludebant. 

Exempli gratia: Probaturus Archimedes arcam circuli sequalem effe area; Tab. i. 
triangiili, cujus bafis eft circuli periphcria, ct altitudo femidiameter, polygo- F10.4. 
num ^BCcirculo circumfcribit -, probatque, aufto'laterum polygoni nume- 
ro, tale tandem defcriptum fore polygonum, quod circulum minus quam pro 
minima aflignabili diflferentia exfupcrabit: patet igitur, triangulum D'EFj 
cujus bafis EFcfk circuli peripheria, et cujus altitudo DE circuli radius, cir- 
culo non efle majus : fi enim majus eflet, polygonum circulo circumfcribere 
liceret triangulo illo minus : cum vero polygoni peripheria major fit periphe- 
ria circuli, polygoni area aream triangjuli neceflario exfuperabit; area enim* 
polygoni a?qualis eft area trianguli cujus bafis eft polygoni peripheria, et al- 
titudo circuli radius, ideoque triangulum DEF circulo majus efle nequit. — 
Rurfus polygonum aliud in circulo eodem inlcribendo, et comparando aream 
ejus cum trianguli prawJidti^area, eodem probat argumento trianguli aream 
circuli area minorem non efle •, ct ex praemiflis concludit, triangulum DEF^ 
cum neque majus neque minus fit circulo, ci arquale efie. 

Ut vero clarius innoteicat quonK>do veteres geometrae a notis proportioni- 
bus figurarum reAilinearum curvilineas inter fe comparabant, aliud jam exem* 
plum methodo exhauftionum demonftratum trademus. — — Exprimant lines Tab. i. 
/f JB, ^D areas duorum circulorum, et ^P, /i^ fimilia polygona in his cir- Pic. 5. 
culis infcripta : bileftis perpetuo circulorum arcubus a lateribus polygonorum 
fubtenfis, areae polygonorum propius ad areas circulorum accedentquam pro dac2 
quavis differentia; et eandem rationem, quam habent polygona inter fe, habebunt 
etiam circuli. Nam, fi negas, fit yiP ad ^^ut yiB ad ^£, quae minor eft qu^ 
AD : augeantur numero et magnitudine,diminuantur latera polygoni ^^ donee 
differentia inter aream ejus et aream circuli jiD minor fuerk quam ED 
(quod fieri poteft per Elem.x. i.) fit haec differentia q Z), ct exprime- 
tur polygonum in circulo jiD per yfy, fitque jip polygonum fimilc in cir- 
culo yih : quoniam eft /iP : ji^: : AB : AE [per nyp.] et polygonum zip 
ad fimile yfg, ut yiP ad yi^i erit jiB: AE\ : Af\ Aq \ quoniam igitur 
circulus AB major eft quam polygonum infcriptum Ap^ erit AE major quam 
Aq\ per hypothefin autem Aq major eft quam AE\ ergo, his duobus inter fc 
repugnantibus, fequitur polygonum AP non efle ad polygonum A^ ut cir- 
culus AB ad quantitatem AE quae minor eft quam circulus AD : ob ean- 
dem caufam yf^non eft ad AP ut AD ad AF minorem quam AB. Exindc 
eriam fequitur, non efle AP ad A^Mt AB ad quantitatem A e quae major 
eft quam AD\ nam fi y/Ffit ad AB ut AD ad Ae^ erit AP ad A^ ut AF^ 
quae minor eft quam /ffi, ad AD^ quod contradicit jam demonftratis : quo- 
niam igitur AP non eft ad -^^ut AB ad quantitatem minorem vel majorem 
quam AD^ (eauttur, circulos AB et AD eandem inter fe rationem habere 
quam habent fimilia polygona infcripta AP et A§1^ 

B 2 Ex 



SicTio Ex hac argumcntandi ratione patet univcrfaliter Veritas propofitionis, cu- 

PRiMji. jus ope omnia hujufce generis thcoremata demonftrari poflunt; nempe, (t 
duae variabiles quantitates AP^ AS^ invariabilem femper rationem inter fc 
habentes, accedant ad fixas quantitates AB^ AD propius quam pro data 
quavis differentia, ratio limitum AB^ AD eadem eft ac invariabilis ratio quan- 
titatum AP^ A^ 

Hac mcthodo propter toedium improbata, fupcrioris aevi geometra? aliam, 
cui nomen indivifibilium methodus impofitum eft, excogitarunt, Attamen 
principia quibus innititur h£C argumentandi ratio a fautoribus ejus duriora 
cfle conceduntur; atque alii, dum ipfas quae aflumuntur hypothefes captum 
humanum fuperare affirmant, hujufce methodi inventores iter fane ad verita- 
lem corripuifle, vires vero demonftrationis mathematical infirmafle, judica* 
runt. Sequuntur hujufce generis ratiocinandi exempla quaedam a clariffima 
Wallifio defumpta. 

Confi^erantur lineae ex innumeris punftis conftare, fuperficies ex lineis, et 
folida ex fuperficiebus •, vel forfan circulus ex innumeris fectoribus, fphaera ex 
pyramidibus, et He in caeteris : et in computandis magnitudinum rationibus 
fecundum hanc methodum, computanda eft fumma omnium indivifibilium 
elementorum, ex quibus fuperficies vel folida accurate comporii fupponuntur. 
Tab. 1, Exempli gratia: Supponatur parabola APBB conftare ex lineis quarum una 
Fig. 6. eft PP, infcriptum triangulum, et circumfcriptum parallelogram mum ex a;- 
quali numero linear u m 7T, CC: probando fummam omnium linearum P/* 
in parabola efle ad fummam omnium 3Tin triangulo ut 4 ad 3, et ad fum- 
mam omnium CC in parallelogrammo ut 2 ad 3, concludunt, aream parabo* 
las efle ad aream trianguli ut 4 ad 3, et ad aream parallelogrammi ut 2 ad 3. 
Simili modo ad folida applicatur methodus : fupponantur enim parabolois, 
iafcriptus conus, et circumfcriptus cylindrus ex circulis PP, TT, CC conftare, 
et fi probetur fummam circulorum PP efle ad fummam TT ut 3 ad 2, et ad 
fummam CC ut 3 ad 6, concludunt folida efle in eadem proportione. 

Methodus haec ratiocinandi, modo caute applicetur, fatis demonftrativa efle 
jure habetur; ut ex demonftratione celeberrimap illius propofitionis Archime- 
dis abunde confirmatur ; — nempe, fphasram efle ad cylindrum infcriptum ut 
Tab. X. 2 ad 3. Secentur cylindrus, hemifphaerium, et conus ejufdem bafis et altitu- 
Fig. 7. dinis, planis ad bafim parallelis, quorum unum eft CSKDC: quoniam 50*zz 
CD * zz 5D * + DO *zzSD^ + DK* •, et quoniam circuli, quorum has lineae funt 
femidiametri, funt ut earum quadrata; fequitur, fummam omnium circulorum in 
cylindro aequalem efle fummas omnium circulorum in hemifphasrio, una cum 
fumma omnium in cono : ipfe igitur cylindrus, qui ex his circufis componi 
fupponitur, asqualis erit hemifphasrio et cono fimul fumptis : conus autem eft 
tertia pars cylindri-, ergo^ hoc fubiato^ manet hemifphaerium ad cylindrum uc 
2 ad 3. 

Quam caute vero applicanda eft haec methodus ex fequentibus exemplis 
patebit. Si circulus confideretur tanquam polygonum cujus latera in infini- 
tum diminuuntur, et proinde arcus minimus cum chorda ejus perfcfte coinci- 



dere fupponatur, fequitur, tempus vibrationis penduli in hoc arcu cfle aequale Sectio 
tempori delcenfus per chordam ejus : ex mechanicis vero patet, quod ratio P^ima. 
haec, fi accurate aflignari poflit, fit ratio quadrantis circuli ad diamctrum. 
Neque aliter folvi poteft haec difficultas, ni recurratur ad indivifibilia elemcn- 
ta prioribus infinite minora. 

Aliter. Si corpus a quiete decidat uniformi vi gravitatis agitatum, et Tab. i. 
tempus defcenfiis ejus dividi concipiatur in infinite parva momenta, quae per ^*^* ^* 
indivifibiles partes ab^ bc^ cd linear an exprimuntur; et fi velocitates fint in 
his momentis uniformes, et per lineas bp^ cq^ dm reprefentatac, fpatia defcrip- 
ta rette exprimentur per redangula, ap^ bq^ cm\ in duobus igitur momentis 
fecundum hanc methodum tria defcribuntur aequalia reftangula, in tribus fex, 
ct fie deinceps: fpatia autem defcripta rcvera funt ut quadrata temporum; in 
duobus igitur momentis deficit quarta pars fpatii, in tribus tertia pars, &c. 

Etiamfi exhauftionum methodus, qua ufi funt veteres in theorematis fuis 
difHcilioribus inveftigandis atque demonftrandis, principiis innitatur quae et 
ratio et bis mille annonim autoritas et ufus confif marant -, tamen haec demon- 
ftrationis forma, quae forfan autori noftro celeberrimo propter evidentiam ejus ex- 
ploratam mult^m arrideret, ob longas ambages atque obliquam veritatis in- 
veftigandae rationem vehementer di^Iicuit. Majoribus vero moleftiis fe ur- 
ged perfentit, fi indivifibilium doftrinam ad theoremaia fua ilabilienda con- 
verteret. Etenim ipfe conccptus quantitatum illis quae fenfibus offeruntur 
infinite minorum videtur efle perdifiicilis ; nee ratiociniis inde dedudtis con- 
ceditur fides omnium confenfu ftabilita. Newtonus igitur, theoremata illaprae- 
clara, quorum Veritas lemmatum fequentium ope deducitur, demonftrationis 
fprma confirmare, ut aliauibus placet, antea inaudita, non indignum judica- 
vit : quas a nobis fane reuat explicanda, atque ea ratione illuftranda, ut fimul 
eluceant et hujufce methodi perfpicuitas, et evidentia, atque ad fequenda 

Supponuntur magnitudines non ex pardbus indivifibilibus conftare, fed 
motu perpetuo generari : Line^ nempe defcribuntur ^ ac defcribendo generaniur^ 
non per appqfitionem partium^ fed per motum continuum punSorum^ fuperficies per 
motum linearumj folida per motum fuperjicierum^ anguli per rotationem laterum^ 
tempora per fluxum continuum y etftc in cateris. Ha genefes in rerum naturd lo^ 
cum vere babent^ et in motu corporum quotidie cernuntur. Ex finitis igitur mag* 
nitudinum hoc modo genitarum incrementis vel decrementis, quaeruntur pri- 
mae vei ukimae rationes, quibufcum magnitudines ipfae nafcuntur, vel eva« 
nefcunt, vel etiam in infinitum augentur. Hae vero rationes primae vel uki- 
mae inveftigantur obiervando limites rationum, quae inter variabiles magni- 
tudines obdnent, dum finitae funt^ limites nempe eos ad quos magnitudi- 
num rationes perpetuo accedunt, quos nunquam tranfgredi, neoue etiam 
attin^re pofliint, fed ad quos propius accedunt quam pro dat^ quavis diflfe- 
rentia. Ultimse igitur rationes magnitudinum evanefcentium, et primae naf- 
centium, non funt rationes quas magnitudines ipfae unqjoam inter fe habent, 
led limites omnium variabilium rationum. 


f ' ^ » 


\S\v:'vi^ ormium variabilium rationum facillimc invcftigintur reducendo 
i]uari:iiai^:., quibus gtneraliccr rationes ills cxprimuntur, in cerminos quo- 
rum pan> una ez variabili parte minime pendet*, ct fupponendo variabilcfn il- 
lam partem vcl cvancfccre, vcl in infinicum augeri. Exempli gratia : Sint 
duac q uantitates ^ x * + ^ x '^' et rx " + ^.v •-' variabiles propter variabilem x ; 
dividcndo per x"-' reducitur ratio haec ad rationem ax ^b zA ex -^--dz cva- 
oefcat x^ ec Rt ax + i: ex + d :: b\ d\ augeatur x in infinitum, et fit ax 

b d\ 

+ i: ex + d (vel a + - : e + -j: : a:e. Rariones igitur ^ ad ^, ec n ad r 

funt li mites omnium variabilium rationum, quae obtinenc inter quantitaces 

ax** + b x"'^ ct ex" + dx'^* dum diminuitur vel augctur valor quanntatis x^^ 
quos tamcn nunquam tranfgrediuntur, neque attinmnt dum x finita eft^ led 
ad quos propius accedcre poflunt quam pro data quavis differentia. 

Reftat ut priufquam huic prooemio finem imponamus, de accommodatione 
hujufce method! ad virium centripetarum et centrifugarum theoriam perpau- 
ca fubjungamus. 

Rationes, quas inter fe habent ideas fpatii, temporis, velocitatis et vis, ref^ 
peftu ad earum quantitates vel gradus, exprimi poflunt vel per notas in arte 
analytica ufurpatas, vel per varios extenfionis gradus et modos : requiritur fo' 
lummodo ut in his ideis earumque mcnfuris confiderandis eadem geneieos 
ac variationis confervetur norma. Si vis acceleratrix agere fingatur interce- 
dentibus finitis et srqualibus temporis periodis, durante unaquaoue periodo, 
prior manet velocitas; fed haec, addita velocitaci novo vis impulfu generate, 
cflkit, ut corpus deinceps motu majori, uniformi vero in fingula periodo, fe- 
ratur; et differentiae fpatiorum, quae temporibus hifce scqualibus et finitis 
dcirribuntur, arcurats erunt menfurae differentiarum inter varias veloci- 
tal^.^ \ih irnpuilibus gcneratas. Si intcrvalla temporum minuantur, has 
mrrj^urae in eadem proportione decrefcunt*, et fi intervalla haec perpetuo 
irmiuantur, ut tandem accedamus ad (latum quo indefinenter agit vis, hoc 
efi, fi intcrvalla temporum perpetuo accedant ad evanefcentiae ftatum, virium 
diedtub determinantur explorando leges quantitatum quae fecundiim normam 
fimilem variantur. Proinde, fi ex hypothefi indivifibilium quidquam de ea- 
rum proprietatibus demonflrari poflit, virium acceleratricium efFe6his et cor- 
rrfpondentes relationes fimul det^untur *, fimiliter, fi fecundCkm Newtoni me- 
thodum a variationibus finitis magnitudinum geometricarum ipfarum relatio- 
nes inveniantur, eodem tempore inveniri poflunt vel leges virium acceleratri* 
1 ium vel fpatia his viribus defcripta. — Et, quoniam patet vim accderatricem 
impulfus iuos non edere pod finita temporis intervalla, fed agere earn indefi- 
nrrjter; fpatia, vi tali deicripta, eadem methodo inveftigari nequeunt, qua 
(patia finitis inter\'allis a fe inviccm diflindta: neceflario igitur reauiritur uc 
{i)u invefligationis ratione uumur, hoc eft, ut vel indivifibilium vel radonum 
pr»marum ac uldmarum do&rina in aeftimandis virium acceleratricium quan- 
ritatibus et efledlibus ufurpetur. 



Si VIS acceleratrix in eadem diredione qua imprimitur vis pFoje£tilis corpus Sicno 
follicitet, motus erit reftilineus quidem, fed ob continuam ejus acceleradonem P^xma. 
oportet ut ad uldmarum radonum dodrinam reairramus fi fpada datis quibufvis 
temporibusdeferipta determinare velimus. -* Si dire£tio vis acceleratricis cum mo- 
tu proje£tili in angulo quocunque componatur, corpus, adiredtione tangends per- 
petu6 follicitatum, a motu reftilineo recrahitur, et in curvam detorquetur ; prouc 
confpicere licet incorporibus pr<^fuperficiem telluris projedis. Curvam infuper 
generari nifi motu pun£ti diredtionem fuam perpetuo muunds condpere non 
licet. Quoniam igitur et curva et femita corporis vi centripeta vique projec- 
tili agitati fimili prorfus modo K^nerantur, patet quod ab iiidem mediis, qui- 
bufcum curvarum proprietates deteguntur, determinari edam pofliint leges vi- 
rium quarum aftione corpora in curvas detorquentur ; et proinde, (i ope 
primarum ac uldmarum radonum curvarum proprietates commode inveftiga- 
ri poflint, necefle eft ut concedatur Newtono dodrinam banc ad virium 
centripetarum leges eficftusque determinandos applicare. 




?ViVa. ^anti/atesj ut et quantitatum rationes^ qua ad iequali-- 

tat em tempore quovis fnito [^] conjianter tendunty et 
ante jinem tempofis illius propius ad invtcem accedunt 
qudm pro data qudvts differ entid^ jiunt ultimo ^equales. 

SI negas; fiant ultimo inasquales, et fit earum ultima diffe- 
rentia 2). Ergo nequeunt propius ad a^qualitatem accedere 
quam pro data differentia D : contra hypothefin. [*] 


[*»] 2. Quantitatcs ad aequaliiatem tendcre dicuntur quanim differentia, 
mutata utcunque quantitatum magnitudine, ita variatur, ut minorem perpe* 
tuo rationem habeat ad quantitates ipfas. 

3. Fieri poteft, ut quantitates ad aequalitatem tendant, et tamen non fianc 
ultimo sequales. Ex. gr. Areae dantur hyperbolicae, quae in infinitum pro- 
teniac nunquam in tempore finite dato re6tangulo sequales fiunt : fumatur 
redangulum hoc dato rcAangulo majus; et dififcrenria inter aream hyperboli- 
cam pcrpctuo au£lam et hoc redangulum perpetuo minorem habet radonecn 
ad aream ipiam hyperbolicam, nunquam veto minor evadet quantitatc data 
quae aflignari poteft : has igitur quantiutes, quamvis ad acqualitatem tendunty 
nunquam fiunt xquales. 

[<] 4. Variari fingantur quantitates fecundum hanc legem, nimirum ut ea- 
rum differentia Temper decrcfcens cap poffit, ut quae ad quandtates ipfas ha- 
beat rationem perpetuo minorem ratione quavis quae affignari poteft ; velod- 
tates, quibufcum hae quantitates generari incipiunt, funt aequales. Si enim 
velociutes in primo momento ponantur inaequales, tum quandtates his velo- 
citatibus defcriptae erunt euam inaequales, et proinde, talis affignari potefk 
differentia, quae non habeat ad quanuutes ipfas rationem quavis aflig^iabili 
minorem ; quod hypothefi contradicit. 

5. Quoniam Veritas hujufce Lemmatis flabilitur deducendo contrariam 

?[uamvis hypothefin ad abfurdum, parum differt ratiocinandi forma ab ea, qua ufi 
unt veteres; Newtonus vero, hoc Lemmate, quafi axiomate vel principio 
quodam fundamentali, innixus, methodo direda in fequentibus udtur, quo- 
rum denfK>nftrationes ad hoc femper revocantur, et quaii in eo continentur. 

6. Abs re forfan non erit hujufce Lemmatis fenfum exemplis qmbufdam 
rimpliciflimis illullrare. 

Tab. II. Ex punAo j1 in diametro BD circuli BCD ducatur linea quacvis AQ qu« 
Fic. 9. circa pundum ^ vcrfus JB immotam rcvolvatur, et punftum C in pai- 



pheria circuli invcniatur. Patet [El.iii. 7.] lineam AC augeri donee tandem Sectio 
ad lineam AB pcrvcniat. — Hae quantitates AB et AC [fecundilm hoc Lcm- PnnAr 
ma] tempore finito ad aequalitatem tendunt, et ante finem temporis illius pro- 
plus ad invicem accedunt quam pro data quavis differentia, ideoque funt uU 
timo asquales. — Tempus finitum eft tempus motiks pundti C ad pundhim 
B\ per verbum ultim6 intelligitur ipfius C ad £ appullus^ et proportio AC 
^d AB \n hoc momento eft ultima harum quantitatum ratio; /. e. ratio 

Ex.IL Similiter, fi pundum E in diametro BD produfti fumatur, et jungan- 
tur £ et C pun£ta ; finea EC dum pundum C verfus B moveatur diminuitur 
[El. iii. 8.] ; eadem vero eft conclufio ut prills: fcilicet ratio £C ad EB eft 
ultimo ratio aequalitatis. 

Ex. III. Circuli diametro BD immot^ manente, ad eam appropinquet linea 
FGy qua: parallela ei ducitur, et motu (ibi parallelo fertur. Tali motu augetur 
FG [El.iij. 1 5.]; ad aujualitatem igitur cum^D tendit, et ante finem tempo- 
ris finiti propius ad eam accedit quam pro data quavis differentia, ideoque 
FG zc BD nvait ultim6 aoquales. 

Tria harc exempla ad quafvitates Iblummodo attinent •, Lemma vero de ra- 
tionibus auantitatum ad a^ualitatem tendentibus loquitur, et idcirco fequen- 
tia duo ad hoc illuftrandum adhibeantur. 

:. IV. Datis pofitione rcdlis H/, HKjLMNy eta pundto in lineS LN 
duda rcfta linea P^ ratio ^O ad PO major eft quam ratio LO ad MO ; fi 
autem linea OP^ circa pun£him O revolvatur, et ad lineam L appropin- 
quet, manifeftum eft radonem ^O ad PO diminui, ideoque nuUam affignari Tab. IL 
pofle rationem majorem ilia ouam fert OL ad OAf, quantulacunque fit inter ^'^* *^' 
eas differentia, quin linea O^ ad OL eo ufque accedat, ut ratio O^ad OP 
fiat tandem aflignat^ ilia m'mor \ — Ideoque LO ad MO eft ultima ratio li- 
neae O^ad lineam OP. 

Ex. V. lifdem manentibus ratio trianguli ^JLO ad triangulum PMO major 
eft quam ratio duplicatalineacLO ad lineam M0\ ob accefliim vero O^ad OL 
ut prills, rado triangulorum ad rationem illam duplicatam perpetuo accedit \ 
et rado duplicata OL ad OM eft ultima ratio trianguli 01.^ ad triangulum 

Si in his quinque exemplis lineam eandem motu contrario ferri, et ex limi- 
tibus iildem motum fiium incipere concipiamus, rationes iliac, quae modo ul- 
timas fuerunt, mutato verbo primae vocantur. — Ex. Gr. Si linea 0^ a li- 
ne& OL recedat, et ex tali recdiu nafcantur praedida triangula, ratio duplica* 
u LO ad MO eft prima nafcentium triangulorum ratio. De caeteris fimiliter. 

e LEM. 


P*»-*- LEMMA II. 

fic'i"' Si in Jigurd qudvis AacE, r^i$ A a, AE ^/ curod acE 

comprebenfdj infcribantur parallelogramma quotcunque 
Ab, Be, Cd, &c. fub bafibus AB, EC, CD, &c. ^ua^ 
libusj et later ibus Bb, Cc, Dd, &c. Jigurte later i A a 
parallelis content a \ et compleantur parallelogramma 
aKbl, bLcm, cMdn, Sec. Dein horum parallelo^ 
grammorum latitudo minuatur^ et numerus augeatur 
in infinitum : dico quod ultimie rationesj quas babent 
ad Je invicem figura infer ipta AKbLcMdD, cir- 
cumfcripta AalbmcndoE, et curvilinea AabcdE^ 
funt rationes cequalitatis. 

Nam figurae infcriptae ct circum(cripta& differentia eft fumma 
parallelogram morum KU Lniy Mn, Do, hoc eft (ob squales 
omnium bafes) reclangulum fub unius bafi Ki et altitudinum 
fumma jia, id eft, reflangulum ABla. [*] Sed hoc reftangu- 
lum, eo quod latitudo ejus AB in infinitum minuitur, fit minus 
quovis dato. Ergo (per lemma i.) figura infcripta et circumfcrip- 
ta, et multo magis figura cur\alinea intermedia, fiunt ultimo 8b* 
quales. QJ.D. 


Tab. II. Ecedem rationes ultimce fiint etiam rationes (equalitatisy u^ 

bi parallelogrammorum latitu dines AB, BC, CD, &c. 
funt incequaleSy et omnes minuuntur in infinitum. 

Sit enim AF aequalis latitudini maximae, et compleatur paral- 
Iclogrammum FAaf. Hoc erit majus quam ditFerentia figura^ 


Tab. ir. V] 7. Patct vero, quod bafi AB diminuta, reftangulum ABla diminui- 

Fic. 11. Uir: Si bafcs AB^ BC^ CDy DE bifecentur in C, j^, J, «, differentia inter figu- 

ras infcriptas et circumfcriptas erit reclangulum ACxa; cumque hoc redkan- 

gulum Ai'/.x minorem perpetuo habet proportionem ad figuras ipfas, hae fi- 

3 &^^ 


infcripta: ct figurae circumfcriptae j at latitudine fua AFin infini- sectio 
turn diminuta, minus fict dato quovis re6langulo. Q;J).D. [*] Prima. 


Si in duabus figuris AacE, PprT, infcribantur (ut fupra) tab.u. 
dute paralhlogrammorum feries^ fitque idem amborum ^'^' '*' 
numerusy et ubi latitudines in infinitum diminuuntur^ 
rationes ultimo parallelogrammorum in una figura ad 
parallelogramma in altera^ fingulorum ad fingula^ fint 
ecedem^ dico quod figura duce AacE, PprT, funt 
ad invicem in eadem ilia ratione. 

Etenim ut funt parallelogramma fingula ad fingula, ita (com-^ 
ponendo) fit fumma omnium ad fummam omnium, et ita figura 
ad figuram \ exiftente nimirum figura priore (per lemma 1 1 1 .) ad 
fiimmam priorem^ et figura pofteriore ad fiimmam pofteriorem 
in ratione aequalitatis. QJE.D. 

CoroL Hinc fi duae cujufcunque generis quantitates in eundem 
partium numerum utcunque dividantur ; et partes illae, ubi nu- 
menis earum augetur et magnitudo diminuitur in infinitum, 
datam obtineaiit rationem ad invicem, prima ad primam, fecun- 
da ad fecundam, caeterseque fiio ordine ad caeteras : erunt tota 
ad invicem in eadem ilia data ratione. Nam fi in lemmatis hujus 
figuris fiimantur parallelogramma inter fe ut partes, fiimmae par- 
tium Temper erunt ut fiimmae parallelogrammorum 5 atque ideo, 


gurae ad acqualitatem tendunt [2] . Conrinua vero bifeftione linearum AB^ 
BC^Scc. differentia haec minor fit quovis dato redlangulo. Ergo (per lem- 
ma i,&c.) 

[«] 8. Si chordae a by bc^ cd^ dE duci concipiantur, et infcribi trapezia, 
AabBj BbcCj &c. porro fi tangentes ducantur ad pundta a^b^ Cy d, £, 
figura infcripta et circumfcripta, et multo magis figura curvilinea intermedia, 
erunt etiam in ratione aequalitatis. In hoc vero cafu continua bafium AB^ 
BCy CD bifeftione, figura infcripta eo augetur, et figura circumfcripta c6 
diminuitur, ut plus quam dimidium differentiae perpetuo auferatur : ideoque 
per El. X. I.] differentia earum tandem minor erit quantitate quavis data. 



Sectio ubi partlum ct parallclogrammorum numenis augetur ct magni- 
Puma, ^^j^ diminuitur in infinitum, in ultima ratione parallelogrammi 

ad parallelogrammum, id eft (per hypothefin) in ultima ratione 

partis ad partem. 


Simtlium figurarum later a omnioy qua fibi mutuo refpon- 
denty funt froportionalia, tarn curvilinea quam r^ili- 
ma ; et area funt in duplicata ratione laterum, [*] 

Fig. 13. 


Tab. II. 5/ arcus quilibet pofitione datus hCB fubtendatur chorda 

A B, et in punEio aliquo A, in medio curvaturce conti- 
nue p] tangatur a reSia utrinque produEia AD; dein 


Tab IL f T 9' ^^ parallelogram ma in lemmate iv. non fint numcfX) folummodo 

Pic/ii. Qualia, fed fmt eriam fimilia, turn fimiles crunt figurac AacE^ PprT\ ean- 
aemque habebunc ad invicem rationem quam reftangula ipfa; i.e. racionetn 
' laterum duplicatam. 

[1] 10. In hoc fupponere videcur Newtonus, nullam efle contrariam curvs 
flexuram*, nee efle punftum A cufpidem \ in quibus cafibus curvatura vel in- 
finite minor eft, vel infinite major curvatura circuit. Curvae autem continue 
generantur motu pun£ti dire£tionem fuam continuo mutantis, et funt ubique 
verfus eandem partem cava?. — Circulus nempe eft curva continua : inter dr- 
culum vero et aliam quamvis curvam continuam hoc intereft, quod circuli 
curvatura, ecu ejus ^ tangente flexura ubique eadem eft ; in aliis autem cur- 
vb modo major fit, modo minor. Cum autem diverforum circulorum a 
tangente flexura diverfa fit, curvaturam curvarum circulorum ope exprimunt 
geometrar. Neque eft hxc ratiocinandi methodus aut reprehenfibilis, auc 
conceptu diificilis. Defcribi poflfunt circuli numero infiniti, qui eandem li- 
neam tangentem, idemque contadiis punftum habent : duci etiam poteft 
curva, ita ut ab e^em reda linea in pun£bo eodem tangatur : patet circulos 
hos omnes curvam illam in punfto conta&iks tangere, diverlbfque habere cum 
curva conta&Cis vel magis vel minus intimi gradus : Ideoque, prout ex re£tis 
lincu, quae numero infinite per idem curva? pundtum tranfeunt, ilia folum- 
modo curvam tangit, quae ita ducitur, ut nulla alia re6ta inter curvam et tan- 
gentem duci qoeat, quin curvam fecet ; ita quoque, ex pracdiftis circulis, is 
eft curvaturae drculut, ^ui urn intime curvam tangit, ut nullus alius per 
coDCudOi pundum dcfcnbi poflit, qui tranfit inter circulum et curvam; alii 



punBa A, B ad invtcem accedant et coeant ; dico quod sectio 
angulus BAD, fub chorda et tangente contentus^ minuer 
tur in infinitum et ultimo evanefcet. 

Nam fi angulus ille non evanefcit, continebit arcus ACB cum 
tangente AD angulum re£tilineo squalem, et propterea curva- 
tura ad pun6tum A non erit continua, contra hypotheAn. 


lifdem pofitis\ dico quod ultima ratio arcus^ chordae^ et 
tangentis ad invicem eft ratio tequalitatis. [M 


vcr6 omncs circuli vcl intra vel extra circulum curvaturae neceflario cadunt : 
et prout re£ba linea, qua: curvam tangit, cum curva ilia coincidere nequit, 
ka circulus curvaturae cum curva non coincidit. 

His praemiflis, lemmacis Veritas, qua? a Newtono fubobfcure deduci videtur, 
vel forfan ex pracconceflb fequenti lemmate profluerc, facillime ex natura cir- 
culi patet. Nam fi curvatura curvac Bnita ck, et quae per circulum menfu* 
ratur, defcribi poteft alius circulus AB C, qui cadet intra et circulum curva- 
turae et curvam : angulus autem BJDy inter chordam jIB et tangentem jiD Tab. U. 
contentus, asqualis eft angulo^C^inaltemo fegmento, et angulus ^C5,eva- Fio.i4. 
nefcente arcu /iB^ evanelcit : idem in curva obtinet a fortiori. 

Hinc etiam lemma obtinet, non folum in curvis finitae curvaturae, fed a 
fortiori in o^inibus illis, in quibus curvatura infinite minor eft curvatura 

[**] II. Sit yf2> linea finita, ducaturque ^r lineae DR parallda, occurrens ,p jj 
ylBj AR produftis in i et r : erit AB : AD ixAbi Ad [El. vi. 2. J . Trans- Fio. 15/ 
fcratur pun(5him B ad C, ducanturque RCE^ et chorda AC\ et ratio varia- 
bilis chordae et tangentis fiet ratio AC ad AE. A punfto d ut prii^s ducatur 
dp ip(i ER parallela, occurrens AC^ AR produAis \xiitx.p\ eritque AC: 
AE:: Ac: Ad. Tandem cum angulus tub chorda et tangente contentus 
minor fiat quovis angulo re6tilineo [Lem. vi.], ratio variabilis Ac ad Adzz- 
cedit propius ad rationem a^ualitatis quam pro dat^ quavis differentia; ideo- 
que iis proportionales chorda et tangens funt ukim6 arquales. Quoniam vero 
arcui AC in triangulo ACE contento fimilis defcribi queat arcus Ac in fimili trian- 
gulo Acd\ cumque ultimo arcus inter Ac et Ad intermedius fiat aequalis 
Ac vel Ad\ arcus quoque Ac evanefcet chordae vel tangenti aequalis. Q^E.D. 

[12] Haec propofitio, circuli ope hoc modo illuftrari poteft. — Si i Tab.IL 
punfto B agatur utcunque fubtenfa Bd^ eificiens angulum quemlibet finitum Fxc 14. 



Sectio ^^ta dum punftum B ad pundlum ji accedit, intclligantur 

Prima. fempcr yiB ct jiD ad punfta longinqua b ^c d produci, ct fe- 
canti BD parallela agatur bd. Sitque arcus Acb fcmper fimi- 
lis arcui ACB. Et punftis A^ B coeuntibus, angulus dAby per 
lemma fuperius, evanefcetj ideoque re6l» Temper finitafc Aby Ady 
et arcus intermedius Acb coincident, et propterea aequales erunt. 
Unde et hifce fempcr proportionales reftae ABy ADy et arcus in- 
termedius ACB evanefcent, et rationem ultimam habebunt ae- 
qualitatis. Q^J). D. 
Tab. II. Corol. 1. Unde fi per B ducatur tangenti parallela BFy reftahi 
^'°'' ' quamvis AF per -rf tranfeuntem perpetuo fecans in is haec BF 
ultimo ad arcum evaiiefcentem ACB rationem habebit aequalita- 
tis, eo quod completo parallelogrammo AFBD rationem femper 
habet sequalitatis ad AD. 

Carol. 2. Et fi per B ttA ducantur plures redae BEy BD, AFy 
AGy fecantes tangentem AD et ipfius parallelam BFi ratio ul- 
tima abfciflarum omnium ADy AEy BFyBG, chordaeque et ar- 
cus AB ad invicem erit ratio aequalitatis. 

Corol. 3. Et propterea hae omnes lineae, in omni dc rationibus 
ultimis argumentatione, pro fe invicem ufiirpari p<^unt. 


Tab.ii. ^^ ^^^^ ^^'* ^^> ^^ ^^^ ^^^^ ACB, chorda AB et 
Fi<j- 13. tangente AD, triangula tria RAB, RACB, RAD confli- 

tuunt^ dein punEia A, B accedunt ad invicem : dico quod 
ultima forma triangulorum evanefcentium eft Jimilitudi- 
nis^ et ultima ratio (equalitatis. 


hDA cum tangente ADy ct ducatur linea AC fubtenfae 52) parallela, fimilia 
erunt triangula CAB^ ABDi quare ABy AD et CB+BA funt ad in- 
vicem yt CAy CB ct CB+BA. Cocat jam pundlum B cum Ay eruntquc 

CA^ CB ctCB + BAin ratione aequalitatis, ideoque AByAD tt AD + BD 
funt -ultimo aequales. Quare a fortiori AB, AD et arcus AB funt ultim6 in 
aequaliutis rationct 


Nam dum punftum B ad punclum ji accedit, intelligantur Sectio 
femper j4By AD^ AR ad punfta longinqua b, dttr produci, ip^ 
fique RD parallela agi rbd^ et arcui ACB fimilis femper fit ar- 
cus Ac by Et coeuntibus punftis Ay By angulus bAd evanefcet, 
et propterea triangula tria femper [^] finita rAby rAcby rAd 
coincident, funtque eo nomine limilia et aequalia. Unde et hifce 
femper fimilia et proportionalia RABy RACB, RAD fient ulti- 
mo fibi invicem fimilia et aequalia. QJE. D. 

CoroL Et hinc triangula ilia, in omni dc rationibus ultimis ar- 
gumentatione, pro fe invicem ufurpari pofTunt. 


Si re&a AE et curva ABC fofitione data fe mutuo fecent in 

angulo dato A, et ad reSiam illam in alio dato angulo fio. 17. 
ordinatim applicentur BD, CE> curvte occurrentes in 
B, C, dein punSia B, C Jimul accedant ad pun&um A : 
dico quod afece triangulorum A B D, ACE erunt ultimo 
ad invicem in duplicata ratione later um, 


Etenim dum punfta By C accedunt ad punftum Ay intelligatur 
femper AD produci ad pundla longinqua d et Cy ut fint Ady Ae 
ipfis ADy AE proportion ales, et erigantur ordinatae dby ec or- 
dinatis DBy EC paralldae quae occurrant ipfis ABy -^Cprodu6li$ 
in ^ et f . Duci intelligatur, tum curva Abe ipfi -/f-BC fimilis, 
turn re6la Agy quae tangat curvam utramque in A, et fecet ordi- 
natim applicatas jDjB, ECy dby ec in FyGyfyg. Tum manente 
longitudine Ae coeant punfta By C cum pundo Ay et angula 
c Ag evanefcente, coincident areae curvilineae Abdy Ace cum rec- 
tilineis Afdy Age-, ideoque (per lemma v.) erunt in duplicata ra- 
tione laterum Ady Ae: Sed his areis proportionales femper funt 
areae ABDy ACEy et his lateribus latera ADy AE. Ergo et areas 

AB Dy 

[•] 13. Veritas hujufcc lemmatis ex coincidentia triangulorum nequaquan\ 
pendct, ex lemmate vero fuperiorj, et EL i. 8> fails patct. 


sicTio ABD, ACE funt ultimo in duplicata rationc laterum AD^ AE. 

Prima. q^ J)^ 

Spatia qua corpus urgente quacunque vi finita defcribit^ 
five vis ilia deter minata et immutabilis fit^ five eadem 
continuo augeatur vel continuo diminuatur^ fiitit ipfo 
motus initio in duplicata ratione temporutn. 

Tai. II. Exponantur tempora per lineas AD^ AE^ ct velodtatcs gcni- 

F1C.17. tae per ordinatas DB, EC-, [^] et fpatia his velocitatibus dcfcrip- 

ta, erunt ut areae ABDj ACE his ordinatis dcfcriptae, hoc eft, 

ipfo motus initio (per lemma ix) in duplicata rationc temporum 

AD, AE. Q^E.D. 

Corol. I . Et hinc facile colligitur, quod corporum (imiles fimi- 
lium figurarum partes temporibus proportionalibus defcribentium 
errores, qui viribus quibufvis a^ualibus ad corpora fimiliter ap- 
plicatis generantur, et menfurantur per diftantias corporum a fi- 
gurarum fimilium locis illis, ad qus corpora eadem temporibus 
iifdem proportionalibus fine viribus iftis pervenirent, funt ut 
quadrata temporum in quibus generantur quam proxime. [*] 

Corol. 2. [''l '+• Hoc ill uftrare licet fcqucnti mcthodo. Defcribatur area DABC 

Fig. i8-! motu lineac Dc^ fibi ipfi parallelo et unifbrmi : et in eodem tempore defcri- 
batur linea P^ motu unifbrmi pundi a^ et repreientetur velocitas pundi ^ 
per lineam DC: pacet, aream DABC et lincam P^in e^dem ratione va- 
riari [£1. vi. i.j. Variari fingatur longitude lineas moventis Dr, et ob varia- 
tarn punfti ^ in eadem radone velociutem, eorum efieflus in e^em varian- 
tur ratione. Per motum ipfius Dad A, longitudine Dc mutadi, deicribitur 
area Dc b A, fpatium igitur a pundo ^ percurfum, feu longitudinem lineac 
P^per aream a linea DC delcriptam licet exprimere. Cum enim arese dc- 
fcribuntur perpetuo lineamm fluxu, Itneaeque perpetuo pundorum fluzu, fi 
velocitas quacum area creicit asquetur velociuti punfti moventis, cujus mocu 
linea deicribitur, radones lineamm, qua? a motu pundti defcribuntur, accu- 
rate per arearum rationes czprimuntun n *5' Sint lineae ^D, tf i/, motu uniform! defcriptae in temporibus qui- 

Fio. 19. bufvis, a^mt vires his diredionibus perpendiculares, quae corpora detorqueant 

in cunras AB^ aif et quoniam eaocm eft dire£tto virium perturbatridum, 



Corol. 2. Errores autem qui viribus proportionalibus ad fimiles Sectio 
figuraram fimilium partes fimiliter applicatis generantur, funt ut 
vires et quadrata temporum conjundlim. 

CoroL 3 . Idem intelligendum eft de fpatiis quibufvis quae corpora 
urgentibus diverfis viribus defcribunt. Haec funt, ipfo motus ini- 
tio, ut vires et quadrata temporum conjunftim. 

CoroL 4. Ideoque vires funt ut fpatia, ipfo motus initio, defcripta 
diredle et quadrata temporum inverfe. 

CoroL 5. Et quadrata temporum funt ut defcripta fpatia direfte 
et vires inverfe. 


Subtenfa evanefcens anguli contaEfuSy in curvis omnibus cur- 
va^ramjinitam adpunElum contaBus habentibus^ eft ul- 
timo in ratione duplicata fubtenfcd arcus contermini. 

Caf. I. Sit arcus ille AB^ tangens ejus AD^ fubtenfa anguli TAB.m. 

contadlus ad tangentem perpendicularis B D, fubtenfa arcus AB. 

Huic fubtenfae AB et tangenti AD perpendiculares erigantur AG^ 

BGy concurrentes in G; dein accedant pundlaD, -B, G, ad punfta 

d^byg^ fitque / interfedlio linearum BGj AG ultimo fafta ubi 

punfta D, B accedunt ufque ad A. Manifeftum eft quod diftan- 

tia G / minor effe poteft quam aflignata quaevis ^f- . Eft autem (ex 


idem evenirc debet ac fi corpus datum dat^ vi acceleratrici follicitatum fpa- 
tia diverfa temporibus diverfis defcriberet, hoc eft, erunt fpatia vel errores 
DBj db in temporum ratione duplicata : fumantur alia ausevis tempora et 
crunt enores RK, rk in eadcm temporum ratione duplicata. Corpore vero ad 
B pervento motus B k refolvi poteft in motus B Ly BTy quonim fi BT direc- 
tio mutetur ut fiat B P, corpus ad finem tcmporis verfabitur in ^ et error 
^i? jion erit ad errorem r^ ut prius in ratione temporis duplicata, et pro- 
inde neceile eft ut anguli applicatioois maneant iidem u errores temporis qua- 
drato proportionales effe vellemus. 


f 16. — Pofito quod redtangulum BD%DG fit femper aequale AD\ et Tab.IIL 
qu6d pundum G defcribat curvam Ggl^ tranfeatque ultimo per /; circulus, Fic. 2k 
cujus chorda €ft AI tt tangens AD^ eandem habebit curvaturam quam cur- 
y^AbB in loco A. 

D Dem. Op- 




Fig. 22. 

Tab. HI, 
Fig. 2.3. 


natura circwlorum per pun6ta^BG» Abg tranfeuntium) Ab 
quad, sequak AG x £X>j et Ak quad, a^uale Ag x bdi ideoquc 


Dem. Occnrrat linea DG circulo in C et £; et per naturam circuli erit 
Reft. CI> X Z)£ == i3 -4* =: Red. iBZ)^ Z)G[pcrHyp.]iUndc eft CI): 51): : 
DG I DE'j tranfeat pnmo G^ /extra circulum, crit fcmpcr CD major quam 
jBD, et tranlibit cMtv^LjIbB extra circulum yf ^ C: circulus autem, cuius 
chorda minor eft quam AIj traofibit infra circulum jlcC: ct circulus, cujus 
chorda major eft quam AJj tranfibit extra curvam AkB\ nam fit ut priilis 
qD: B D : : DG : D^ et quoniam eft chorda Ji major quam Jl I^ DG 
non occurrere poteft cum ji /, quin fiat D ^ major quim D G, et 5 D major 
quam q D : nuUus igitur circulus tranfire poteft inter curvam Ah R tt circu- 
lum AcC\ et proinde eandem habent curvaturam. 

Si tranfeat Ig G intra circulum curvaturas, eodem arguniento patet, qudd 
BD major fit quam CD^ qu6d curva Ab B tranfeat infra circulum AcCy et 
qu6d nullus delcribi poftit circulus, qui non tranfit vel intra vel c&tra tarn 
circulum AcC, quaao curvam Ab i. 

Cor. i« — Sequitur circulum atque curvam eo propius ad coinddendam ac- 
cederequo minor eft angulus GlE. — Sit enim^i» alia quaevis curva, cqus tan- 
gens eft /fA ct fit reftangulum MDxDg femper acqualc AD\ curva 
Am eandem habebit curvaturam in punfto^quam circulus ACi tranfeat 
punftum g inter 7 G ct /£, et quoniam eft D m x Dg = ylD*zz DB x 
DG^&t Dm: BD:: DG: Dgj ergo D m major eft quam DM : eodem mo- 
do patet, efle Dm: DC i: DE: Dg^ et Dm minorem efle quam DC\ 
punftum igitur m tranfit neceflario intra circulum ACct curvam A R. Exin- 
dc patet, divcrfos efle gradus contadkfis pro diverfo angulo G/£, fi angulus 
ilk finitus efle fupponatur. Sit autem angulus GIE ejufdem generis cum 
angulo inter tangentem et circulum contento, vel habeat curva G / eandem 
curvaturam cum circulo, et fie deinceps ; erit in fingulis his cafibus contadlus 
airvge AB cum circulo AC indefiiDite propior quam priiis. 

C&r.2. Si linea A I fit curvje GI afymptotus, qua major eft ^/diameter 
ciraiii, eo propius accedit circulus ad curvam AB: quoniam autem linea 
AT indefinite produfta nunquam attingat curvam G/, circulus cujus diame- 
ter eft AIG nunquam habebit eandem curvaturam cum curva AB. In hoc 
eafu diameter curvaturas indefinite magna eft, vel curvatura indefinite minor 
efle dicitur quam curvatura circuli ; uti accidit in vertice parabolas cubicalis, 
et in omni curva in qua ablcifla eft ut dignitas ordinata: quae major eft quam 

C^. 3. Tranfeat G/per pundum A-, erit ^/diameter curvaturae indefinite par- 
va; et curvatura indefinite major elfe dicitur quam curvatura circuli : hujus 
exemplum habemus in vertice parabolas femicubicalis, et in omni curva in 
qua fubtenfa eft ut dignitas ordinatse quadr^to minor. 

^^- s.(^ 

Tab I] 


tatxo jiB quad, ad A b quad. com^mXXiv cx rationibus AG ad Sicno 
Ag ct BD adid. Scd quoniam Gt aflumi poteft minor longi- 
tudine quavis affignata) fieri poteft ut ratio AG ad Ag minus dif- 
ferat a ratione sequalitatis quam pro differentia quavis afiignata, 
ideoque ut ratio AB quad, ad Ab quad, minus difFerat a ratione 
BD ad id quam pro differentia quavis affigriata. Eft ergo, per 
lemma i, ratio ultima AB quad, ad A 6 quad, eadem cum ratio- 
ne ultima BD zidbd. QJE. D. 

Caf. 2. Inclinetur jam J5D ad AD in angulo qupvis dato, et * 
eadem femper erit ratio ultima B Z) ad bd quae prius, ideoque 
cadem zc AB quad, ad Ab quad. QJ£. D. 

Caf. 3. Et quamvis angulus JD non detur, fed re6la BD ad 
datum punftum convergat, vcl alia quacunque lege conftituatut; 
f amen anguli D, d commiini lege conftituti ad aequalitatem fem- 
per vergent ct propius acc$tdent ad invicem quam pro differentia 
quavis affignata, ideoque ultimo aquales erunt, pfer lem. 1. et 
propterea linese BX>, bd funt in eadem ratione ad invicem ae pri- 
us. QJB.D. 

CoroL 1. Unde cum tangentes AD^ Ad, arcus AS, Ab, et 
€orum (inus BC,bc fiant ultimo chordis AB, Ab aequales; erunt 
etiam illorum quadrata ultimo ut fubtenf^ BD, bd. 

Corol. 2. Eorundem quadrata funt etiam ultimo ut funt ar- 
cuum fagittae, quae chordas bifecant et ad datum pun^um con« 
vergunt. Nam fagittae illas funt ut fubtenfae BD, bd. 

Corol. 3. Ideoque fagitta eft in duplicata ratione temporis quo. 
corpus data velocitate defcribit arcum. 

Corel. 4. Triangula reftilinea ADB, Adb fimt ultimo in tri- 
plicata ratione laterum AD, Ad, inque fefquiplicata laterum DB, 
dbi utpote in compofita ratione laterum AD et DB, Ad ct db 
exiftentia. Sic et triangula ABC, Abe funt ultimo in triplicata 
ratione laterum BC, be. Rationem vero fefquiplicatam voco tri- 
plicatae fubduplicatam, quae nempe ex iimplici et fubduplicafa 

D2 Corol. $. 


Sect Id CoroL $. Et quoniaixi DBy db funt ultimo parallelae et in du- 

*'**'^' plicata ratione ipfanim AD^ Ad: erunt areae ultimae curvilincae 
AD By Adb (ex natura parabola?) duae tertia? partes triangulorum 
reflilineorum AD By Adb-, et fegmenta ABy Ab partes tertiae 
eorundem triangulorum. Et inde hae arcae et haec fegmenta erunt 
in triplicata ratione turn tangentium AD, Ady turn chordarum 
et arcuum ABy Ab. 


Caeterum in his omnibus fupponimus angulum contadlus nee 
infinite majorem effe angulis contafluum, quos circuli conti- 
nent cum tangentibus fuis, nee iifdem infinite minorem ; hoc efl:^ 
curvaturam ad pundlum A nee infinite parvam efle nee infinite 
magnam, feu intervallum Al finitae efle magnitudinis, CapL 
enim poteft D B \xt AD^ : quo in cafu circulus nullus per punc- 
tum A inter tangentem AD et curvam AB duci poteft, proinde- 
que angulus contaftus erit infinite minor circularibus. Et fimili 
argumento fi fiat D B fucceflive ut AD^y AD'y AD\ AD\ &c. 
habebitur feries angulorum contaftus pergens in infinitum, quo- 
rum quilibet pofterior eft infinite minor priore- Et fi fiat BD 
fucceflive ut AD\ AD\y AD\y AD\^ AD\y ADl &c. habebitur 
alia feries infinita angulorum contadlus, quorum primus eft ejuf- 
dem generis cum circularibus, fecundus infinite major, et quili- 
bet pofterior infinite major priore. Sed et inter duos quofvis ex 
his angulis poteft feries utrinque in infinitum pergens angulorum 
intermediorum inferi, quorum quilibet pofterior erit infinite ma- 
jor minorve priore, Ut fi inter terminos AD*^ et AD^ inferatur 
feries AD'iy AD'jy ADly ADiy ADl AD\y AD'ly AD'fy AD'iy 
&c. Et rurfus inter binos quofvis angulos hujus feriei inferi po- 
teft feries nova angulorum intermediorum ab invicem infinitis in- 
tervallis diiFerentium. Neque novit natura limitem [*"] • 


Tab. III. * ["*] 1 7. Si curvsB A 5, yiCy et rcfta JD fe mutuo contingant in loco Ay aftS- 
Fxc.'24. * qttc fecundiim quamcunque legem re6la DBC^ fuerit DB, vel univerfaliter, vel 

faltem evanefccns, ut yfZ>*, ct CD ut /f D*, exiftente m majore quam «-• dico 
angulum contadtv^s BAD infinite minorem fore angulo CADy et idcirco nul- 



Quai de curvis lineis deque fuperficiebus comprehenfis demon- Sect 10 
ftrata funt, facile applicantur ad folidorum fuperficies, curvas et 
contenta. Praemifi vero haec lemmata» ut efFugerem taedium de- 
ducendi longas demonftrationes, more veterum geometrarum^ ad 
abfurdum* Contraftiores enim redduntur demonftrationes per 
methodum indivifibilium* Sed quoniam durior eft indivifibilium 
hypothefis, et propterea methodus ilia minus geometrica cenfe- 
tur; malui demonftrationes rerum fequentium ad ultimas quan- 
titatiim evanefcentium fummas et rationes, primafque nafcentium, 
id eft, ad limites fummarum et rationum deducere; et propterea 
limitum illorum demonftrationes qua potui brevitate praemittere. 
His enim idem praeftatur quod per methodum indivifibilium ; et 
principiis demonftratis jam tutius utemur. Proinde in fequenti- 
bus, fi quando quantitates tanquam ex particulis conftantes confir 
deravero, vel fi pro reftis ufurpavero lineolas curvas ; nolim indi- 
vifibilia, fed evanefcentia divifibilia, non fummas et rationes pai- 
tium determinatarum, fed fummarum et rationum limites femper 
intelligi; vimque talium demonftrationum ad methodum praecer 
dentium lemmatum femper revocari. 

Obje£tio eft, quod quantitatum evanefcentium nulla (it ultima 

proportio; quippe quae, antequam evanuerunt, non eft ultima, 

ubi evanuerunt, nulla eft. Sed et eodem argumento aeque con- 

tendi poflet nuUam efle corporis ad certum locum, ubi motus fi- 

niatur, pervenientis velocitatem ultimam : hanc enim, antequam 

corpus attingit locum, non effe ultimam, ubi attingit, nullam 


lam lineam curvam ejufdcm generis cum AC duci poffc inter curvam AB tt 
tangentcm fuam AD. 


Efto enim jB D =: (LtLj et CD zz — — , pofitis Pttq finitis et conftantibus, 

P ^ 9 

erit 5I> ad CD ut ^ ad — ', vel ut AD^ ad AD" x A vel ut AD^" 

Pi. i 

ad -. Evanefcat jam AD et fimul AD^"^^ tt BD jam erit ad CD ut quan- 

titas evanefcens ADT^ ad quantitatem finitam -\ velut finitum ad infinitum : 

Eftitaque fubtenfa evanefcens j8 JD infinite minor fubtenfa evanefcente CD^ 
et propterea angulus BAD angulo CAD. Q. E. D. 


Sectio cffe. Et refponfio facilis eft: Per vclocitatem ulthnam intelligi dun, 
qua corpus movetur, neque antequam attingit locum ultimum dt 
motus ceiTat^ neque poftea, fed tunc cum attingit; id eft, illam ip« 
fam velocitatem quacum corpus attin^t locum ultimmn et qua^-- 
cum motus cefTat. Et fimiliter per uhimam rationem quandtatum 
cvanefcentium, intelligendam efie rationem quantitatum, non aii«» 
tequam evanefcunt, non poftea, fed quacum evanefcunt. Pariter 
et ratio prima nafcentium eft ratio quacum nafcuntur. Et fomma 
prima et ultima eft quacum effe (vel augeri aut minui) incipiunt 
et cefTant. Extat limes quem velocitas in fine motus attingere po« 
teft, non autem tranfgredi. Ha&c eft velocitas ultima. Et par eft 
ratio limitis quantitatum et proportioniun omnium incipientium 
et cefTantium. Cumque hie limes fit certus et definitus, problem 
ma eft vere geometricum eundem determinare. Geometrica vero 
omnia in aliis geometricis determinandis ac demonftrandis legiti^ 
me ufurpantur. 
Contendi etiam poteft, quod fi dentur ultimo quantitatum e« 

vanefcentium rationes, dabuntur et ultims magnitudines : et fie 
quantitas omnis conftabit ex indivifibilibus, contra quam Eucls-^ 

Jes de incommenfiirabilibus, in libro dedmo dementorum, de- 
mbnftravit. Vcrum haec objefHo falfie innititur hypothefi. TJU 
timae rationes iliac quibufcum quantitates evanefcunt, revera non 
iunt rationes quantitatum ultimarum, fed limites ad quos quan- 
titatum fine limite decrefcentium rationes Temper appropinquant ; 
tt quas propius affequi pofiunt quam pro data quavis differentia, 
nunquam vero tranfgredi, neque prius attingere quam quantitates 
<liminuuntur in infinitum. Res clarius intelligetur in infinite mag- 
nis. Si quantitates duas quarum data eft differentia augeantur 
in infinitum, dabitur harum ultima ratio, nimirum ratio aequali- 
tatis, nee tamen ideo dabuntur quantitates ultimas feu maxima^ 
quarum ifta eft ratio. In fequentibus igitur, fiquando facili re- 
turn conceptui confulens dixero quantitates quam minimas, vel 
evanefcentes, vel ultimas ; cave intelligas quantitates magnitudine 
determinatas, fed cogita femper diminuendas fine limitp* 

5 SEC- 




De inventions virium centripetarum. 


Areas ^ quas corpora in gyros aSia radii s ad immobile cen-- 
trum virium duEiis aefcribunt^ et in planis immobilibus 
confiftere^ et ejfe temporibus proportiotwhs. 

Dividatur tempus in partes aequales, et prima temporis parte de- 
fcribat corpus vi infita redtam AB. Idem fecunda temporis parte, 
fi ml hnpediret, refta pergeret ad r, (per leg. I.) defcribens lineam 
Be aequalem ipfi AB j adeo ut radiis AS^ BS^ c S ad centrum aftis, 
confeftae forent aequalcs are® ASB^ B S^c. Verum ubi corpus ve- 
nit ad B^ agat vis ceiitripeta impulfu unico fed magno, efficiatque 
nt corpus dc rcfta Be declinct et pergat in refta BC. Ipfi BS pa- 
raHeh agatur cC^ occurrens BC in C; et completa fecunda tempo- 
ris parte, corpus (per legum coroL i.) reperietur in C^ in eodem 
piano cum triangulo A SB. Junge SC-, et triangulum 5fiC, ob 
parallelas 55, Cc, aequale erit triangulo SBc^ atque ideo etiam 
triangulo SAB. SimUi argument© fi vis centripeta fucceffive agat 
in C, Z), Ej &c. faciens ut corpus fingulis temporis particulis fin- 
galas defcribat reftas CD, DEj EFy &c. jacebunt has cmines in 
eodem piano; triangulum SCD triangulo SBC^ et SDE ipfi 
S CD, ct SEF ipfi SDE aequale erit. ^qualibus igltur tempori- 
bus squales areae in piano immoto defcribuntur : et cgmponendo, 
fimt arearum fummae quaevis SAD S, SAFS inter fe, ut funt tem- 
pera dcfcriptionum. Augeatur jam numerus et minuatur latituda 
triangulorum in infinitum -, et eorum ultima perimeter AD F erit 
Hneacurva [8] lideoque vis centripeta, qua corpus a tangente hujus 
curv« perpetuo retnihitur, aget indefinenter j areas vero quaevis 
defcriptae SADS, SAFS temporibus dcfcriptionum femper propor- 
tionales,^ erunt iifdem temporibus inJioc cafu proportionates. Q^. D* 

CoroL u 






Si-- • &•.. 

CoroL I. Velocitas corporis in centrum immobile attrafti eft in 
fpatiis non refiftentibus rcciproce ut perpendiculum a centro illo 
in orbis tangentem reclilineam demiffum. Eft enim velocitas in 
locis illis jiyByC^DyEy ut funt bafes aequalium triangulorum ABy 
BC, CD, DEy EF', et hae bafes funt reciprocc ut perpendicula in 
ipfas demiffa ["]• 

CoroL 2. Si arcuum duorum aequalibus temporibus in fpatiis 
non refiftentibus ab eodem corpore fucceflive defcriptorum chor- 
dae jiBy BC compleantur in parellogrammum ABCV^ et hujus 
diagonalis BV'm ea pofitione quam ultimo habet ubi arcus illi in 
infinitum diminuuntur, producatur utrinque 3 tranfibit eadem per 
centrum virium. 

CoroL 3. Si arcuum aequalibus temporibus in fpatiis non refiften- 
tibus defcriptorum chordae A By BC, ac DEy £ F compleantur in 
parallelogramma ABCFy DEFZ} vires in fi et £ funt ad invi- 
cem in ultima ratione diagonalium bV^ EZy ubi arcus ifti in in- 
finitum diminuuntur. Nam corporis motus BCttEF compo- 
nuntur (per legum corol. i.) ex motibus Be, BV tt Efy EZ : at- 
qui BFct EZy ipfis Cc et JF/ aequales, in demonftratione propo- 
fitionis hujus generabantur ab impulfibus vis centripetae in JB et £, 
idcoque funt his impulfibus proportion ales. 

CoroL 4. Vires quibus corpora quaelibet in fpatiis non refiftenti- 
bus a motibus reftilineis retrahimtur ac detorquentur in orbes 
curvos funt inter fe ut arcuum aequalibus temporibus defcripto- 
rum fagitta? illae quae convergunt ad centrum virium, et chordas 
t^fccant ubi arcus illi in infinitum diminuuntur. Nam has fagittae 
funt femifl'es diagonalium, de quibus egimus in corollario tertio. 

CoroL 5. Ideoque vires eaedem funt ad vim gravitatis, ut has fa- 

gittap ad fagittas horizonti perpendiculares arcuum parabolico- 

rum, quos projcdlilia eodem tempore defcribunt. 

CoroL 6: 

[**! 18. Triangula pra?di£ta non funt in diverfis orbius neceflario asqualia; 
qu^iniam vero bales diverfomm triangulonim fint ut areas dire£l£, et ut pcr- 
ixndkula in ipfas demiflfa inverse; erunt idcirco velocitates, quae per has bafes 
iTitprdriuantur, univcrfaliter ut area? triangulorum direfte, .et ut peipendiculft 



CoroL 6. Eadem omnia obtinent per legum corol. v. ubi pla- Sectio 
na, in quibus corpora moventur, una cum centris virium, quae 
in ipfis fita funt, non quiefcunt, fed moventur uniformiter in 


Corpus omne^ quod movetur in lima aliqua curva in piano 
defcripta^ et radio duBo ad punSium vel immobile^ vel 
motu re&ilinec uniformiter progrediens^ defcribit areas 
circa pun&um illud temporibu^ proportionates^ urgetur a 
vi centripeta tendente ad idem punSium f ]• 

Caf. I. Nam corpus omne, quod movetur in linca curva, deter- TAB.m. 
quetur de curfu rc6lilineo per vim aliquam in ipfum agentem (per ^*^' *^* 
leg. 1.) Et vis ilia, qua corpus de curfu re6Hlineo detorquetur, et 
co^tur triangula quam minima SAB^ SBC^ SCD^ &c. circ^* 
punflum immobile S temporibus aequalibus aequalia defcribere, 
agit in loco B fecundum lineam parallelam ipfi cC (per prop. xl. 
lib. I. elem. et leg. ii.) hoc eft, fecundum lineam BS*^ et in loco 
C fecundum lineam ipfi dD parallelam, hoc eft, fecundum line- 
am jSC, &c. Agit ergo femper fecundum lineas tendentes ad 
pun6him illud immobile S. Q^. D. 

Caf. 2. Et, per legum coroUarium quintum, perinde eft, five 
quiefcat fuperficies, in qua corpus defcribit figuram curvilineam, 
five moveatur eadem una cum corpore, figura defcripta, et pun£lo 
fuo &. uniformiter in direflum* 

Corol. I. In fpatiis vel mediis non refiftentibus, fi areas non funt 
temporibus proportionales, vires non tendunt ad concurfum radi-^ 
orum ; fed inde declinant in confequentia, feu verfus plagam in 


\f\ 19. Hlnc facile colligitur, vires, quibiis planetae primarii perpetuo re- 
trahuntur a motibus redtiiineis, et in orbibus fuis retinentur, refpicere iblem : 
ex obfervationibus enim conftat, planetas primarios, paulo celerius in periheliis 
ac tardiiks in apheliis moventes, radiis ad folem dudis areas cempcu-ibus prp^ 
portionales percurrere. £ 


SECTia quam fit motus, fi modo arearam defcriptio acceleratur : fin re* 
SrcviiDA. tardatur, dcclinint in antcccdcntia [p]- 

Ckn-ol. 2. In mediis etiam refiftentibus, fi arearum defcriptio 
acceleratur, virium dire£liones declinant a concurfu radiorum 
verfus plagam in quam fit motus. 


Corpus omney quod radio dd centrum corporis ttlterius ut^ 
cunque moti duSfo^ defcribit areas circa centrum illud tem-^ 
poribus proportionaleSy urgetur vi corhpofita ex vi cen- 
tripeia tendente ad corpus illud alterum^ et ex vi omni 
acceleratrice qua corpus illud alteram urgetur [^]. 

Fitet a prk^. 


Corporumj quce diverfos circulos eequabili motu defcribuniy 
^ires centripetas ad centra eorundem circulorum tenderer 
et ejfe inter fe^ ut funt arcuum fintul defcriptorum qua-- 
drata applicata ad circulorum radios. 

Tendunt hse vires ad centra circulorum per prop. II. et cord. 2. 
prop. I. et fiint inter fe ut arcuum aequalibus temporibus quam 
minimis defcriptorum finus verfi per corbl. 4. prop. I. hoc eft, ut 


Tab. III. [p] 20. iSequhur ex demonftratiohe quod, cum areas lint temporibus pro- 
Pig. z6. portionales, cC parallela fit lineae 55, verfufijuc centrum dirigatur. Si augeatur 
area compleaturque parallelqgrammum xcBv^ (fecundiim fegum cotol 11.) 
patet lineam cx^ eique parallelani Bvy a centro S verfus plagam in qiiam fit 
nrkotus declinare. Si diminuatur area, cy^ eique parallela Bv^ centro 5 in ante- 
cedentia declinat. 

[<\ 2i. Hinc fequitur, vim qua luna perpetuo retrahituramotu reftilineo, 
ct in orbe fiio reunetur, refpicerc terram. Conftat enim, ex motu ejus appa- 
rente cum diametro apparente collato, lunam, radio ad centrum terrae ducto, 
aream tempori proportionalem defcribere. Idem intellige de planetis qui Sa- 
titrnum et Jovem comitantur. 


quadrata arcuum coranduro ad diamejtrps dtrculoram applicata Sicna 
per lem. vii. et propterea, cum hi arcus fmt ut arcus temporibus 
quibufvis aequalibus defcnpti^ et diam^tri fint ut eorum radii ; vi- 
res eiiiAt ut arcuuiB quojumvis fimiri defcoptorum quadrata ap^- 
plicata ad radios circulprunj. QJE. T). 

Corel. I. dnm arcus illi fmt ut velocitates cofporum> vires cen- 
tripetse entfit in ratiQi;ie compofita ex duplicata ratione vdocita^ 
turn dire6te, et ratione fimplici radiorum inverfe [']. 

Carol. 2. Et> cum tempora periodica lint in ratione compofita 
ex ratione radiorum direflie, et ratione velocitatum inverfe ; vires 
centripetae funt in ratioi^e compofita px ratione radiorum dire^e> 
et ratione duplicata temporum periodicorum inverfe [•]. 

Corol. 3. Unde fi tempora periodica a^quentur, et propt^ea velo- 
citates fint ut radii j enuAt etiam vires centripet^ ut radii : et 
contra [']. , 

CoroL 4. Si et tempora periodica et velocitates fint in ratione 


['] 22, Sit C vb ccntripcta, F velocitas, JP tempus pcriodicum, et R 

radius V erit C = -5-. Attamcn notandum eft, cum fingatur efle C=-^f 

intelligi quatuor qu^ntitates proportionales; vel vkn in una orbita efle ad vim 

in quavis alia in harum quaodtatum radpnc, fciUcet efle €;c::^: —i nam 

quoniam quantitatum radones omnes gradus variationis admittunc, earum 
exponentes methodo xquadonjum comparare licet, ^t exinde noVae raiiones 
breviter eruentur. ^ 

[»] 23. Tempus periodicum eft ut peripheria circuli, vel ut radius direde, 

et ut velocitas inverse j unde PP = yp^ P^^R^^ ^^ P* ^ i? ^ ^' 

' R R * 

[^] 24. Sit P data quantitas, quoniam Pzz -p^ data erit j^ et proinde F 

rrlC, V'zzR\ et ^zzR = C. Vel fi P* fit data, erit ^ =R = Cut 



Contra fit C = i2, erit pj = U j umje data eft P". 



SicTio fubduplicata radioram; aequales erant vires centripetal inter & : 
et contra [''J 

Corel. 5. Si tempora periodica fint ut radii, ct propterea velocita- 
tes aequalcsj vires centiipetae erunt reciproce ut radii : et contra ["]. 

Corol. 6. Si tempora periodica fint in ratione fefquiplicata radio* 
mm, et propterea velocitates reciproce in radioram ratione fubdu- 
plicata J vires centripetae erunt reciproce ut quadrata radiorum : et 
contra [*]. 

Corol. 7. Et univerfaliter, fi tempus periodicum fit ut radii R 

poteflras quaelibet R", et propterea velocitas reciproce ut radii potefl 

tas R"''-, erit vis centripeta reciproce ut radii poteftas R^' : ct 

contra [^]. 
Corol. 8. Eadem omnia de temporibus, velocitatibus, et viribus, 

quibus corpora fimiles figurarum quarumcunque fimilium^ centra- 


[-] 25. Sit P vcl ^ = v/S, erit^zr^^ ct — = |=:x = C, quae 

\ R R 

proindc eft data quantitas- Vcl fi fit Pziy/^^ erit jj=^=z i=C; ut priOs. 

Contra fit C vcl 5; data quantius, erit P*=iJ, ct P=y//j, 

[-] 26. Sit P vcl ^=i?, adcoquc ^data, erit — =^=a Vclfifit P=^, 
erit 5 = -- =i = C, ut priiis. Contra, fit C vcl J=i erit P-R. 

f«] a;. Sit -P* vel ^!=i2S adcoque ^*=^» erit ^=^-,=0. Vcl fi fit P» 

=/<», erit ^=5;=i»=^> "* P"^'* Cmxxz^ fit C vel ^=^, critP*=:i2i. 

\i\ »«. Sit /' vel 5=/2% adcoque p=-R-S ct ^=^., ent V*^^^ 

H ^' J^/.-:t -'^' Vcl fi fit P=ii% erit P»=/t", et ^= Jj=^=:C, « 

R f .11 

j^,'»», f .'rfiirji, fit C vcl TR=j^,» erit ^=j^» et Pn/Z". 


que in figuris illis fimiliter pofita habentium, partes dcfciibunt, Sectio 
confequuntur ex demonftratione praecedentium ad hofce cafus ap- ^^cvkda.. 

plicata. Applicatur autem fubftituendo aequabilem arearum de- 
fcriptionem pro aequabili motu, et diftantias corporum a centris 
pro radib ufui-pando [']. 

CoroL 9, Ex eadem demonftratione confequitur etiam 5 quod ar- 
cus, quern corpus in circulo data vi centripeta uniformiter revol- 
vendo tempore quovis defcribit, medius eft proportionalis inter 


['] 29. Lem. Chordae curvaturae figuranim ommum fknilium, fimiliter 
pofitas, funt proportionales lineis quibufcunque homologis in his figuris, 
Dem. Sint AB^ ab fitniles et quam minimae partes figurarum curvilinearum ^ 
ct fint AV^ av chordae curvaturae firmliter inclinatae tangentibus AD^ ad^ Tab. III. 
et ducantur J3Z), bd^ parallelae chordis AV^ av : per naturam fimiliom &• Fig. 27. 
gurarum erit BDiDA: :bd:da*^t&auttm (16) BDiDA: iDAiAF^tt 
bd: da::da: av\ ergo DA:AVi idaiav. ' 

30. Pefcribant jam corpora duo fimilrs orbitas AB^ ab vlribus centripetis 
ad centra S^ s fimiliter pofita tendentibus, vel ita ut angulus BAS fit aequalis 
angulo bas^ et ^^ fit ad sa^ ut lineae quaevis homologae in figuris fimilibus ; 
ct erit (per letii.) SAisa:: AV: av, vires autem centripetae in locis A^ a 


funt ut fa^ttae BDybd arcuum fimul defcriptorum, hoc eft ut --^ ad 

ia'' , BA* .ba* 
— J vel ut —TTT ad — . 
av AS as 

3 1 . Vires centripetae in his lods fiint etiam ut quadrata velocitatum direfte, 
et ut diflantiae inverse : velocitates enim funt ut arcus quam minimi fimut 

32. Vires centripetae funt etiam ut diftantiae direfte, et quadrata temporum 
periodicorum inverse. Sint enim A By ab arcus quam minimi fimilefque di- 
verfis temporibus Ty t defcripti ; et quoniam fimiles fimilium arearum partes 
SABy sab fint ad areas totas in e^dem ratione, enmt tempora Ty t ut tempora 
tota periodica Pyp. Sint Vy v velocitates in arcubus quam minimis A By ab\ 
et quoniam velocitates funt ut fpatia ilia direfte, et ut tempora inverse, erit 

,,^ ^ AB"- ab'' AS'' as'' a Or ^^ '^ ,u /i. • • 1 j a 
y^:v^:: -7=— : —r • : tpt • ""T"> "'^de eft -j^ : — (hoc eft vis in loco A ad 
jT* t T t Ao as 

vim in loco a) : • ^ : — hoc eft : : -^: — . Ex jam demonftratis dedui- 

cuntur caetera coroUaria in fimiUbus orbitis eodem mode ac in circulis.. 


Sect to diametnim ctrcuU, et defcenfum corporis eadem data vi eodemqoe 
tempore cadetido confedtum [•]. 


¥iQ. z9. 


Tab. IIL ['] 33' * ^^ ^i centripedi, detcenfus S erit ut quadratiHn temporis T^ hoc 

eft, ob uniformcm corporis motum, ut quadratum ardis J By vel ut -^-^ § 

imkIc ft in cafu aliquo particolari, conftiterit longitudlncs S ct -^-=- aBqudei 

fflfc, fcmprr asquaks crunt. Tangat rcda AD circulum in A^ agaturque 

fuburnfa b D diametro ^£ parallela, et fi arcus AB ponatur indefinite parvus, 

mi fMbctnfa BD—-r^. Sed in hoc cafu eft etiam BD squalis ^tio S: 

Mm tempore qu^m mini mo / confiderari poteft vis centripeta tanquam ag^ns 

Iccundum redas diametro AE parallelas : quare in ilio cafu, ubi arcus AB 

infiiifte parvus eft, bngrtudinet S et -j=r tequales funt *, ergo lequalcs crunt 


34* Velocxtas qu4 circulus deicribitur aequalis eft vtlocitati quam corpus ac- 
quireret cadendo per dimidium radium, fi nxxlo vi centripet^ conftanti urm« 
retur xquaii vi in circulo : fit enim A L fpatium per quod corpus caderc de« 
bet ut acquirat velocitatem in circulo, Gt AF arcus eodem tempore defcriptut 
cum hac vclocitate, et erit AFziiAL^ fed AF^zzALxAEzz^AV^ et proinde 

-/f £=4 A Lf et AL= — . 


35- * Referat S fpatium a gravi e quiete demiflb, tempore unlus minuti ie« 
oundi defcriptum, D diametrum terras, et feponatur omnis ex aere refiftentia; 
quaeritur quant^ cum velocitate projeAile afiquod ex editiore in terrae fuper^ 
ncie loco, et kcundiim re&am horizonti parallelam emittendum fit, ut fiat 
pjaneta fccundarius. 

Pone fadum, et arcus fingulis minutis fecundis defcriptus, medius erit pro- 
pc^ftionalxt inter diametrum 1) et fpatium i^. Innotefcunt et 2> et ^ ex notis ter« 
r2^ iMfffutudinc^ ct longitudine penduli ad minuta fecunda ofcillantis. Emit- 
tatuf itaque prc^edile tanta cum velocitate, quanta fufficiat ad longitudinem 

%/fjS fpatio unius m'mud (ecundi uniformiter percurrendam, et (blvetur 


""^CO/r. Si defideretur tempus periodicum, dicendum eft, ut \/D S ad totum 
Unm Msnbkam^ iu tempus unius minuti fecundi, ad tempus quacfitum* 

^7^ S<M. Ambitus telluris eft 123249600 pedum Parifienfium; unde dia- 
u^/cr ^/jx D eft eorundem pedum fere 3923 1 600 -, fed et fpatium S ad eandem 

n^&A^u exa^um, eft x 5x1 pedum ; ergo prodit tandem y/D S pedum Gal« 

4 licorum 







Si corpus in fpatio non refifiente circa centrum immobile in 
orbt qmcunque revolvatur^ £t arcum quemvis jamjam 
nafcentem tempore quam minima defer ibat^ et fagitta 
arcus duci intelligatur^ qua chordam bifecet^ et produEia 
tranfeat per centrum virium : erit vis centripeta in me- 
dio arcusy utfagitta direSie et tempus bis iwvtrfe. [^] 

Nam fagitta dato tempore eft ut vis (per corol. 4. prop. I.) etau- 
gendo tempus in ratione quavis^ ob au6tum arcum in eadem ra« 
tione fagitta augetur in raticme ilia duplicata (per corc^. 2 et 3, 
km. xi«) ideoque eft ut vis femel et tempus bis. Subducatur du- 
plicata ratio temporis utrinque, et fiet vis ut fagitta 4ire6le et 
tempus bis inverfe. Q^.D. 

Idem facile demonftratur etiam per corol. 4. lem. x. Tab. rv. 

€ioroL I. Si corpus P revolvendo circa centrum 5 defcribat li- - 
neam curvam-^P^ tangatvero re6Va ZPR curvam illam in 


lioomm 24326, Anglicorutn 25982, hoc eft, milliarium Anglicorum 4,92033. 
Tanu itaque debet efTe velocitas projedtilis, quanta fufficiat ad ipatium 5 fere 
milliarium tempore minuti unius fecundt uniformiter percurrendum ; unde 
tempus periodicum projefbilis erit unius horas, 24 minutorum primorum, 27 
iecundorum. Ex his autem manifeftum eft quod fi terra noftra revolutiones 
fingulas circa proprium axem fpatio unius horse, 24 minutorum primorum, 27 
fecundorum perageret, partes omnes juxta a^uatorem fits gravitatem fuam 
omnino amitterent. Quod fi terra incitatiore adhuc provolveretur motu, aer 
omnis et aqua et partes omnes juxta asquatorem, terras non adhaerentes, in 
fpatia drcumjacentia penitus avolartnt, et ibi oibicas ellipticas umbilicos alteros 
in centro telluris habenCes, motu fuo defcriberent, ut in fequentibus luculentiOs 

[*>] 38. Defcribantur arcos ^y, Kk in eodem tempore / viribus dircrfis Tab.IV* 
r, C; et erit PC: PRw c: C [per cor. 4. prop. i]. Defcribantur arcus F^c-^- 
Kk, Mm iifdem viribus in temporibus divcrfis /, 7*, et erit PR: PL:: 
Kk*: Mm* : : /*: 7**, ob aequabilem motum per arcus evanefcentes Kk^ Mm\ 
his rationibus compofitis, fiet PC: PL:: c'Kf*:C%T\ i.e. fagiuae funt 
ut vires et quadrata temporum. Eadem valet demonftratio fi fumantur fa- 
gittae PC, PL in orbitis diverfis. 


SicTio punfto quovis P, et ad tangentem ab alio quovis airvx punfto 
^agatur ^ diftantiae SP parallela, ac demittatur ^ perpcndi- 
cularis ad diftantiam illam SP: vis ccntripeta crit reciproce ut 

folidum ' — 2 — !• fi modo folidi iliius ea femperfu- 

matur .quantitas, quae ultimo fit, ubi coeunt punfta P et ^ [^]. 
Nam ^R aequalis eft fagittae dupli arcus ^^, in cujus medio eft 
P, et duplum trianguli S^P five SP x ^, tcmpori, quo areas 
ifte duplus defcribitur, proportionale eft; ideoque pro temporis 
cxponente fcribi poteft. 

Corol. 2. Eodem argumento vis centripeta eft reciproce ut foli- 
dum — &^ — ^ ^ modo ST perpendiculum fit a centro virium 

in orbis tangentem PR deEoiflum* Nam reftanguia STx ^jP et 
SPx ^jT aequantur. 

Ccn-oL 3. Si orbis vel circulus eft, vel circulum concentrice tan- 
git, aut concentrice fecat, id eftj angulum conta6his aut fedlionis 
cum circulo quam minimum continet, eandem habens curvatu- 
ram cimdemque radium curvature ad punftum P; tt ti PV 
chorda fit circuli hujus a corpore per centrum virium a£la : erit 
vis ccntripeta reciproce ut folidum STjxpF. Nam P F eO: 

Corel. 4. 
[«] 39. Sumatur linea, qu» tenia proportionalis eft llnds Sljty ^j patet 

"^2— hujc lineac aequakm eflfe; ideoque quantiutem ■ . ^^ eflc (blidum: 

iieque evaneicentibus ^7*, ^H iblidutn hoc evaoefcit; nam linea, quas ipfis 
^J^ 9S evanefceiitibus tertia eft proportionalis, finita eft; idepfqtie loli- 
dum quod conficitur ex Mc linea in SP* duda eft eciam finita quantitas. 
Ta».IV. [^] 40- Ex natura circuli patet mangula ^RPy ^P ^ fimilia eflc •, idco- 

S P^ycQT*' 

41. Hinc ctiam patet folidum — Wr~ coeuntibus pundlls P,^cflc 
Jfinitum, quoniam aequale eft areae finitac ST* dudtae in lineam finitam PV. 


CoroL 4. lifHem pofitis, eft vis centripeta ut velocitas bis di- Sectio 
refte, ct chorda ilia inverfe. Nam velocitas eft reciproce ut per- 
pendiculum ST per coroi. i, prop. i. [*]. 

CoroL 5. Hinc fi detur figura quaevis curvilinea AP^^ et in ea 
detur etiam punflum 5, ad quod vis centripeta perpetuo dirigi- 
tur, inveniri poteft lex vis centripetae, qua corpus quodvis P a 
curfu redlilineo perpetuo retraftum in figurae illius perimetro de- 
tinebitur, eamque revolvendo defcribet. Nimirum computandum 

eft vel folidum &ti > ^^^ folidum STq^PF huic vi reci- 


[«] 42. Notatu digaum eft formulas vis centripetae a Ne^tono inyen- 
tas in coroUariis 1.2.3. ^^^ applicari pofle ad invcnicndas vires centripe- 
tas in orbitis diverGs, ni arcae, in aequalibus tcmporibus defcript«i aequa- 
les ponantur in hi fee orbiris ; fubftituuntur enim areas pro temporibus: cc 
proinde hoc corollarium, quatenus a Newtono demonftratur, non applicari 
poteft in comparandis inter fe viribus centripetis in orbitis diver(is \ ponun- 
tur enim arcae temporibus proportionales, ct vclocitates reciproce ut per- 
pendicula : attamen ex principiis generallbus fequenti methodo deduci poteft. 
vis centripeta eft Temper ut fagitta direfte, et tempus bis inverle, vel ut 

^4j-j 2^ eft ut fpatium P^diredlc et vclodtas V inverfe, ergo cfi y* ut ^ » 

^ T^ "' \p- (fubftituendo ^ pro ^iS) = Jy^^ - - • 

43. Theorema. Velocitas qua curva quaclibet P^dcfcribitur, afqualis eft Tab. IV. 
velocitati, quam acquircret corpus cadendo per quartam partem chordae cur- ^ I^^c- S** 
vaturae PV per centrum virium S tranfeuntis, fi modo vi centripeta conftanti 
continu6 urgeretur aequali illi qua corpus in pun&o P agitatur. Dem. Veloci- 
tas, quam corpus hac vi uniformiter acceleratum per fpatium R^ cadendo 
acquireret, eft ad velocitatem quacum arcus P^delcribitur ut iR^zA P^; 

fit PL fpatium per quod corpus cadere debet, ut velocitatem quacum PSi 
ddcribitur, acquirat-, et crit ij^ad PL ut quadratum velociutis in ^acqui- 
fitae, ad quadratum velocitatis quacum dcfcribitur P^ vel ut 4 /? ^* ad 

P4% « pro."* PL^-^^= ^^= -. 

44. * Ex coroUario tertio fequitur vim centripetam eflfe reciproce, ut foli- 

S Ti X R Tab. IV. 

dum — jtjs — > pofito quod R fit aequalis PC radio curvaturae. Nam ob fi- Fic. 3*1. 

miliatriangula/TF, SPTy eft SP: Sr::PF\c\ z R : P V zz^I^^^ , ct 


proinde ST" xPr = 211^, hoc eft ob datum 2, iit iP^ ^. 

S P br» 


Pic. 33- 


Sectio proce proportionale. Ejus rei dabimus exempla in problcmatis 


Gyretur corpus in circumferentia circuity requiritur lex 
vis centripetiB tendentis ad punEium quodcunque datum. 

Tab.iv. Efto cirooli circumferentia V^J?A-^ pun<5lum datum, ad quod 
vis ceu ad centrum fuum tendit, S\ corpus in circumferentia la- 
tum P; locus proximus, in quem movebitur ^; et circuli tan- 
gens ad locum priorem PRZ. Per punftum 5 ducatur chorda 
PP^', et afta circuli diametro Fji, jungatur AP-, et ad iSP de- 
mittatur perpendiculum ^T, quod produftum occurrat tangenti 
Pi? in Z; ac denique per pun£him ^agatur LRj quae ipfi SP 
parallela fit, et occurrat turn circulo in X, tum tangenti PZ in 
R. Et ob fimilia triangula Z^U, ZTP, VPA^ erit RP quad. 
hoc eft Sl^L zA^quad. \xt AV quad. zdPVquad. Ideoque 

"2*1-—^ -J^ — : aequatur ^Jtquad. Ducantur haec aqualia in 

^^Jr ' etpunaisP&^coeuntibusfcribaturPrproi^L. Sic 

corol. 1. et\j* propt. v. ) vis cfentripcta eft reclproce ut — Jr? — x~*5 

/ iji.".; ! Ar quad. 

id eft (ob datum AV quad.) reciproce ut quadratum diftantiae feu 
altitudinis SP et cubus chordae PFconjunftim. Q;^. I. [^] 

Idem aliter. 
Ad tktlgentfem 'PR produftam demittatur perpendiculum ST: 
et ob fimilia ^irianguk SYP, VPA^ erit AF ad PF ut SP ad 


[H 45- Si virium centrum extra peripheriam circuli locctur, et duci intclligan- 
tur lineae a centre illo circulum tangentes, corpus in concava orbitse parte ver- 
fatum urgebitur vi centripeta ad centrum illud tendente : urgebitur vero vi rc- 
pulfiva dum motus peragat in orbitae partibus quarum convexitas virium centre 
obvertitur. Atumen notandum eft, quamquam ex formulis pnediftis lex vis 
centripetal vel repulfivae redie exponatur, corpus vi centripeta in circuli circum- 
ferentia latum> fi unquam ad conta&Cks pun£ta peryenerit, non amplius in cir- 


5r- ideoaue ^-P^iZ^ , «-»<. SP qua d.v. PV cub, sbctio 

^r. ideoque ___. ^q^^j, ^^^ ,^ '^ryr.^^. ''^"^" Shcukd.. 

le ST quad. %PV. Et propterea (per, corol. 3 . et 5. prop, v.) vis 

centripeta eft reciproce ut — 2^^ — ^^, hoc eft, ob datum AV 

vtCY^voQtMt SPqy^PV cub. Q^.I. ,,\ , 

C(n'oL I. Hinc fi punflum datum 5, ad quod vis cSeotripeta Tem- 
per tendit, locetur in circumferentia hujus circuli, puta ad V-, 
erit vis centripeta reciproce ut quadrato-cubus altitudinis SP. 

Corol. 2. Vis, qua corpus P in circulo APTF circum virium Tab. IV. 
centmm 5 revolvitur, eft ad vim, qua corpus idem P in eodem ^*°* ^^' 
circulo et eodem tempore periodico circum aliud quodvis virium 
centrum R revolvi poteft, ut RP quad. >c 5P ad cubum reflae iSG, 
quae a primo virium centro S ad orbis tangentem P G ducitur, et 
diftantiae corporis a fecundo virium centro paralleia eft. Nam 
per conftrudtionem hujus propofitionis vis prior eft ad vim pofte- 
riorem ut RPqxPTcui. ad SPq x PF cub. id eft, ut SPxRPq 

ad ^^^''p^^f/''^^ [^] > five (ob fimilia triangula PSG, TPFJ 

ad 5G cub. 

Corol. 3. Vis, qua corpus p in orbe quocunque circum virium 
centriiln S revolvitur, eft ad vim, qua corpus idem P in eodem 
orbe eodemque tempore periodico circum aliyd quodvis virium 
centrum R revolvi poteft, ut SP x R Pq^ contentum utique fub 
"diftantia corporis a primo viiitfm centrb S et quadrato diftantiae 
ejus a fecundo virium centro if, arf cubuni te6te 5G,-^ute a pri- 
mo virium centro S ad orbis tangentem PG ducitur, et corporis 
a fecundo virium centro diftanti* jRP parall^U. eft^ ,5^^ vires in 
hoc orbe ad ejus pundtum qoodvie P ^a^m funt ac in circulo 
ejufdem curvaturae. P R O^ 

cdo pofle moveri, ctiamfi vis centripeta in rcpuKivam verti fingatur : accedec 
enim ad centrum, vel recedet in infinitum, ut perpendentibuaf'^ luculenter 

[8] 46. Quoniam datur tempus periodicum, daturque ar^ tota per hypo- 
theGn, areas in squalibus temporibus defcripcse necdSarB aequales erunt -, 
funt enim univerfaliter ut areoe tots direAe, et ut tempem periodica inverie ; 

F 2 quarc 



Moveatur corpus in femicirculo P QA : ad hum effeEium 
requiritur lex vis centripetce tendentis ad punEium adeo 
longinquum S, ut Hnae omnes PS, KS ad id duSiie^ pro 
paralhlis haberi poffint. 


A femicirculi centra C agatur femidiAneter CA parallelas iilas 

'^' ^^' perpendiculaiiter fecans in iWet N^ et jungatur CP* Ob fimilia 

triangula CPM, PZT: ttRZ^ eft CPy ad P Jiff ut Pi?^ ad 

^jTy, et ex natura circuli PRq aequale eft reftangulo ^Ji x 

RN -k-^liy five coeuntibus punftis P et ^reftangulo Siji x 2 

FM. Ergo eft CFq ad PAf y«tf//. ut ^12 x 2 PAf ad ^T quad. 

ST quad. _ , , 2 PAf ^a^. , ^ quad, x 5P ^z^tf^. 
^eoque =^^ a^uale cpj^> et ^^ y ^^^ ^ a.. 

quale ^^^CF^uld.^"'^^ ^ ^^^^g^ (P^^~^^^- '-^^^ P^^P-^^) 

^ 2 pMcuh.y^ SP quad. , n. / 
VIS centnpeta reciproce ut CP quad. * ' ^"^" 

Iccla ratione determinata ^^p ^^^ ) reciproce ut PMcuh. Q.E.L 
Idem facile coUigitur etiam ex propofitione praecedente. 


[^] Et argumento baud multum diflimili corpus invenietur move- 
ri in ellipfi, rel etiam in hyperbola vel parabola, vi centnpeta, quae 


ouare vires cfotnpetac iiint reciproce ut quadrata diflantiarum, et cubi chor- 
darum conjun&im; ideoque vis prior ad vim pofteriorcm, &c. (42). 
Tai. IV. pj ^^ Lem, Si a conicas fe^ionis pundto P ducatur tangenti perpendicu- 
'^' ^^' lam PA axi occurrens in A^ diameter curvaturas P per PA^ divifa eadcm 
manet tangentis pontione utcunque mutata. Dem. Nam fit CD diameter 
conjueau ipfi CP, quae produAa occurrat PO in F\ et erit in ellipfi et hjp- 
perbo^ P-^x PV data quantitas [Hamikon, Con. Sec. Lib. IL Prop.x»i.] 

ct proinde P^ ut JL^ eft etiam CD ut JL [Ham. L. iv. P. i.], et proinde eft 

PyfutCAP>f*utCJD*,et^vcl ci proportionak PA^ ut 5S = ~ 

PF PF 2 


Tab. rV. 


fit reciproce ut cubus ordinatim applicatae ad centrum virium sectio 
maxime longinquum tendentis. 


Gyretur corpus infpirali VQ^ecante radios omnes SP, SQ>^ 
S^C [^] in angulo dato ; requiritur lex vis centripetce 
tendentis ad centrum fpir alts. 


fHam. L. V. et exinde fequitur, effe Pyfs ut P 0, et %^ datam 


In ellipG crefcente focorum diftantia manet PA^ ut P i et proinde fi haec 
diftantia infinita evadat, vel mutetur ellipiis in parabolam^ erit etiamnum 

48. Sit jam BPZ fcftio quaevis conica, cujus axis eft BA^ et vis ccntripcta nn 3 ry 
ad punftum adeo longinquum tendat, ut linca omnes PSy RSj pro parallelis Fiq." 36. 
haberi poffint, fintquc ad axem perpcndiculares. Sit PA perpendicularis tan- 
gcntiPT", et ad axem produftajPO diameter circuli curvaturae, et Py 
chorda ejus per centrum virium tranfeuns: ob fimilia triangula eft ^T* : 

,if..rM. .f/i, ergo ^i _ p^. » « "^ - ^/{ x tA* " 

pyxE^ : fed eft PA: PM.'.PO:, Py= PO^^PM fubftituto fit 
PA* PA '^ 

PMlxPO __ ^*^ qy^ ^^ j^^j^ 5P* eft reciproce ut vis •, eft autem 


——■ data quantitas per Lem. ideoque manet vis ut — - — . 
PA* ^ i~ ^ p^j 

['] 49. Revolvatur radius SL circa centrum ^ mom unifbrmi, dum Tab. IV. 
punftum P a centro illo recedit velocitate qu» femper proportionalis eft di- Fig. 38, 
ftantiae : Curva, a pundq P defcripta, fecat omnes radios in angulo dato. Nam ^^ 39* 
fint radii ST^ SRj SP^&cc. viciniflimij et ad aequales ab invicem diftantias; 
patet hofce radios eflc in progrefliohe geometrica; eft enim qV,: aT::SP : 
SR: fed jH: aT: : q R+ SP : aT + SR: : SR : ST-, ergp eft SPiSRii 
SR : 57*; funt autem anguli PSRy Ri>T aequales per hyp. et prouide trian- 
gula PSRj RST fimilia funt, et angulus SRP acqualis angulo STR. 

50. Si defcribatur circulus circa centrum S radio 52", arcus circuli ratio- 
nes radiorum fpiralis menfurabuntr lint enim arcus quiiibet 9X, LO, Off^j 
&c. inter fe aequales, et ducantur SL^ SOj SfV^ &c. quoniam 52", SR^ SP^ 
&c. funt in ratione geometrica, ratio 5 2^ ad 5 P eft duplicata ipfius 52" ad 
SR\ fed eft etiam rO duplus ipfius TL: fimiliter, ratio 53* ad 5Af eft tri- 

Elicata ipfius 57* ad 5jR, et eft etiam l^JV triplus ipfius TL^ tt fic deioceps; 
inc curva haec fpiralis logarithmica nominatur. 

5 51. Si 

Tab, IV. 
Fig. 40. 


Sectio Detur angulus indefinite parvus PS^ et ob datos omhes an- 

gulos dabitur fpecie figura SPR^. Ergo datur ratio !^, eftquc 

J^ ^^ ^> ^^ ^^ (^^ datam fpecie figuram illam) ut SP. 

[^] Mutetur jam utcunque angulus P5^ et re<Ela ^R angulum 
contaftus ^PR fubtendens mutabitnr (per lemma xi.) in dupli- 

cata ratione ipfius PR vel ^T. Ergo manebit '^ ^^^ ^ 


eadem quae prius, hoc eft ut SP. Quare - %% ^^ ^^* ^^ 

cui. ideoque (per corol. i.et5. prop, v.) vis centripeta eft rcci- 
proce ut cubus diftantiae SP. (^E. I. 

Idem aliter. 

[^] Pcrpendiculum ST in tangentem demiflum, et circuli fpira- 
lem concentrice fecantis chorda P^funt ad altitudinem 5P in 
datis rationibus; ideoque SP cub. eft ut STq x PVy hoc eft (per 

corol. 3. et 5. prop, v.) reciproce ut vis centripeta, 


H 5 1* Si angulus P5^angulop5^ non fit aequalis, fiat angulus PSL = 

p5j, eritquey/:jr::LM:Li\r, etl? = :^, et^:^\: j^ 

fr LN qr LN ^ 

: : 5/> :5Pi fed ob fimilia triangula L M'- : ^7** : : LP* : ^P» :: LN: ^Rj 

[•] 52. Lem. Chorda curvaturae PV per centrum S fpiralis logarithmicas 
tranfcuntis acqualis t&zSP, Sint cnim punfta P, ^ad in^cctn viciniffima •, 
lines P r, ^r perpendiculares ad curvam in his punftis occurrent in centro 
curvaturae r : a re<ais angulis r P ^ r ^L, fubducantur anguli aequales 
SP ^, S^Ly et erit angulus rPC aiqualis angulo C^5, aequantur vero an- 
guli verticales ad C, ergo eft angulus ^SPcz^rP; angulus ^r P ad cen- 
trum circuli acqualis eft duplo angulo ^FP ad peripheriam, et proinde eft 
PF: PS :: 2 : I. 

53. Subftituendo 2 5P pro PV, et SP pro STy fit folidum ST^n 

PV proportionalc 2 S P\ et proinde eft vis centripeta ut -i- 









Gyretur corpus in ellipfi : requiritur lex vis centripeta 

tendentis ad centrum ellipfeos, 

Sunto CAy CB femiaxes ellipfeosj GPy DK diametri aliae con- 
jugatae j PFy ^T perpendicula ad diametrpsj ^v ordinatim appli- Fro'.^i'. 
cata ad diametrum GP ; et fi compleatur parallelogrammum ^ 
PRy erit (ex conicis)t redlangulum PvG 2^^ quad, ut PC quad. 
ad CiD quad, et (ob fimilia triangula ^vTy PCF) Siv quad, eft ad 
^y quad, ut pC quad, ad PF quad, et conjunflis rationibus, re£lan- 
gulum PvG ad ^ quad, ut PC quad. ad,CZ) quad, et PC quad. 

^dPF quad, id eft, ^G ad ^^^ ut P C y«^i. ad ^^^^. 

Scribe ^ pro P v, et B C X C^ pro CDxP P J, nee non (pundlis P 
ct ^coeuntibus) 2 PC pro vG, et duftis extremis et mediis in fc 
- ^quad.xPCq , zBCq^CAq ^. , 

mutuo fiet ' Qj^ ^ aequale -pj^ — * . Eft ergo (per 

corol. 5. prop. V.) vis centripeta reclproce ut p7^ — ^i id eft 

(ob datum zBCqxCjIq) reciproce ut p-^; hoc eft, diredle ut 

diftantia PC. Qj:.L 

Idem aliter. 

["] In refta P G ab altera parte punfti T fumatur punftum u ut 
"Tutit aequalis ipfi Tv-, deinde cape u Vy quae fit ad i; G ut eft DC 


54. Velocitas in fpirali logarithmica aequalis eft vclocitati, quacum corpus 
cadem vi centripeta ad eandem diftantiam circulum defcribcret. Patet cnlm 
diametrum hujufce circuli aequalem effe chordae PV [per km,] j unde velo- 
citates in his orbitis aequales lunt (43). 

[«] 55. Aliter, Ex conicis, PvxvG: ^v* :: PC^: CD\ unde duftis 
extremis et mediis in fe mutuo, ct fubftitutis ^ pro P ^;, et 2 P C pro v G, fit 

t Ham. Con. Sec. l. i. P. xxxi. Cor. i . J Ham. l, 1 v. P. i . 


fmsmt ^xsd. ad pC vksd. Et qoooiam ex conicis eft ^v (pud. ad "PvQ 
*■""*- vx. DC ^Kft/. ad PC tpimd. erit ^v quad, equate PvxuK Adde 

icctangulum »Pv ntrinqae, et prodibit quadratum chordae arcus 
P^ sEquale rec^ngulo FPv -, ideoque circulos, qui tangit icSkmcm 
conicam in P et tranfit perpandom j^tranfibitetiam per pundum 
K Coeant punda P et ^ et ratio uf^ ad vGy qux eadem eft cum 
ratione DCg ad PCq, fiet ratio P^ad PG feu PFad 2PC j ideoque 

Pf^squalis erit —pQ' Proinde \is, qua corpus P in eUipfi rc- 

volvitur, erit redproce at p^* in PFq (per coroL 3. prop, v.) 

hoc eft (ob datum 2 DCq in PFq) direae ut PC Q^. I. 


Jl/e xi^CxCD» = it«*x PCS ceo l£^* = g=PF; quaie Py 

%PF^- /(^ > ct ob datum 2C2)»xPF% eft vb ccmripeu 

feftrfi or -L> ceo lit PC dkcac. 

56* Lem. Com diacnecer curvaturae PO fit ad chordam P^ut VC id P/^ 
cntPO= — yj— ,fedPK=-y^, ergo PO = -— -,ctc«ifcqaenfer 

fadiQS drcufi Pr =-=-7-. 


57. Hinc Prcfc. it. aficcr fohrhor, nam in formda . ^^ fobfti- 

Pr xPAj/ 


jm. VdodtM m rffipfi eft ad vdockatem in ciirolo ad eaadan £- 
ut kmidiuneur amjuffHz CD ad Aftamian CP. Eft emm Tcfed- 

cu prior ad pofterforcfi^ in rstioiie ftibdtspfica^ehdnte cunratime Pl^ad dBa* 

mctrumcifciiIi2CP(43),boceft,tit j^^: v/ 2PC : : v' aCD* ; • al^ 

: : CD : PC. 

T^»,V, 59. Cor. 2. Hinc relocitasin ellspfi aequalis eft vdodtati in drcoloin 

Wio^iu toor illss locif^ i n qutbus dkmetn conju^atx aeqnales font. iEquaks 

diametri coojog^ttB wiociiti oietbodo iaTeniuntiir : fint jioj Bi axe^ docao* 



["] Corol. 1. Eft igitur vis ut diftantia corporis a centro ellipfeos : Sectio 
ct viciffim, fi vis fit ut diftantia, movebitur corpus in ellipfi cen- ^*^"''^^* 
trum habentc in centro virium, aut forte in circulo, in quern utique 
eliipfis migrare poteft. 

[**] CoroL 2. Et aequalia crunt revolutionum in ellipfibus univerfis 
circum centrum idem fa6larum periodica tempora. Nam tempo- 
ra ilia in ellipfibus fimilibus aequalia funt (per corol. 3. et 8. prop, 
iv.) in ellipfibus autem communem habentibus axem majorem funt 


tur BA^ Ba^ et patet ex conicis lincam CP^ quae bifecat BAin 0, aequalem 
cfle lineae C A qwse bifecat Ba \n ni patet prseterea BA et ab^ Ba et Ab 
efle inter fe parallelas, ideoque CP, CD efie diametros conjugatas* 

60. Quoniam velocitas in ellipfi eft ad velocitatem in circulo ad eandem 
diftantiam, ut femidiameter conjugata ad diftantiam, et velocitas in hoc cir- 
culo ad velocitatem in quivis ali^ ellipfi ad eandem diftantiam, ut diftantia 
aia ad conjugatam diametnim in ellipfi pofteriori, crunt velocitates in his 
ellipfibus, data diftantia, ut femidiametri conjugatse. 

[»] 61. Projiciatur corpus a pun£to P data cum velocitate, fecund^m da- Tab. V. 
tarn diredtioncm P 2*, ct fit vis centripeta in diredta fimpUci ratione diftantiae f »C' 43- 
a centro C\ fi P 2* fit ad P C perpendicularis, et velocitas projedtionis a?qualis 
velocitati quam corpus P acquircret cadendo per 4 PC^ vi in P perpetuo a- 

rnte, orbita crit circulus cujus centrum eft C. Si vero alia fit velocitas, vel 
P T non fit ad PC perpendicularis, ob datas vim atque velocitatem in punfto 
P datur chorda curvaturae PV\ inveniatur media proportionalis inter C P et 


— , et huic aequales ponatur CD parallela ipfi P2*, et oiameiris conjugaris CD, 

CP defcribatur dlipfis : patet per Prop. x. hanc ellipfin defctibi pofle, cum 
vi qu2B eft ut diftantia : patet praeterea velocitatem, lineam direftionis, ac vim 
in hac ellipfi, e^dem effe ac in orbita quam P dcfcribit \ quare corpus P ne- 
ceflario movcri incipiet, eodem modo ac corpus revcra in elfipfi movetur : 
proximum igitur pun£tum eft punfhim in ellipfi, et vekxnt^Sy lioea diredionis, 
et vis, easdeni funt in hoc punfto ac in ellipfi, corpora igitur eodem modo 
pergent movcri in proximo arcu, et fie demccps. 

[«] 62. AUter. Tcmpus periodicum eft utareatota, vcj ut redangulum Tab.V. 
fob axibus dire£^e, ct ut area dato tempore dcfcripta inverse, 1, e. ut FiC'4«- 

^/e, vd vis centripcu eft per hypothcfin ut CP, quare .^P» eft ut CD*, ^ 

^« CD , ' 
ut CD, ec -^p data quantitas. 



Sbcti© ad invicem ut elUpfion arcEctotx &*efl:c> ct arearum particuls fi- 
rcuMDA. jj^yj defcriptas inverfe; id eft, nt axes mmoresdircde, et corpo- 
rum velocitates in verticibus principalibus inverfe ; hoc eft, ut axes 
ilH minoies clirefte, et ordinatim appHcatse ad idem pundhim axis 
communis inverfe ; et propterca (ob sequalttatem rationum dlre^a- 
rum et inveifarum) in ranone asquaS^s. 


Si ellipfis centre in infinitum abeunte vertatur in parabolam> 
corpus movebitur in hac parabola ; et vis ad centrum infinite di- 
ftans jam tendens evadet aequabilis. Hoc eft theorema GaUlm. Et 
fi coni feftio parabolica (inclinatione plani ad conmn fe£lum mu- 
tata) vertatur in hyperbolam, movebitur corpus in hujus perime- 
tro vi attraftiva in repulfivara vcrfe. [*■] Et quemadmodum in 

1 circulo 

'ai. V. [p] gg. •Sunto APy Af duae linwc cume communem habentes verticem 

'••'■44' ^^ abfciflamqut communem ^^j ca vcro fit harum curvarum indoles, uc 
aft! communi ord!nadl ^Z", ordinara ^P fit fempcr ad ordinatam ^p in 
data ratione. Revolvantur jam in his figuris duo corpora P ctp vi centripctS 
tendcnte ad pundham qyodvis 5 in abfcifsa communi yf ^eave produfta con- 
ftitutum } fintque corporum P, p tcmpora periodica xqualia : dico, vim cen- 
tripctam in loco P fore ad vim centripetam in loco p, uc diftancia SP ad di- 
ftaniiam Sp. Primo enim cCim tcmpora periodica jcqucntur, area: fimul 
defcriptJE erunt ut arcx totae harum ngurarum, hoc eft, in ratione ^P ad 
^^. Jam vera figura mixtillnea ^P^crit ad figuram mixtilineam Ap^ 
ut ^P ad ^; et triangulum 5P^erit ad triangulum 5/ ^etiam in ratio- 
ne ^P ad ^1 ergo, cortiponendo, erit area mixtilinca ASP ad aream 
ASp lie ^P ad .^.' qiiare, quo tempore radiui S P percurrit aream AS P^ 
radius Sp percurrcc aream ASp ; adeoque fi corpora P ct p fimul exeant dc 
loco >/, fimul pervenient Ad Ofdinat»n communem ^^P- Qyarc motus 
corporum P et ;> lecundi'im re^as Ipfi AS parallelas agcntes, seq/Aaki erunt. 
Porro cum ^P femper fiCad :^ind«ta ratione, motus et motuura muta- 
tiones, et vires murantes fecundiJm reflas ipfi ^P parallelas agentes, fempcr 
erunt in data ratione ^P ad ^o. Refcrat jam SP vim centripetam corporis 
P in loco quovis P, et refolvi poteft vis SP in vires ^P, ^5; ergo vis cen- 
tripeta corporis p exprimi debet per reftam Sp ; quare vis ccnnipeta in loco 
Peft ad vim centripetam in loco/i,ut diftantia SP ad diftantiam Sp. Q^E.D. 
Servatis ordinatarum ^P, ^j) longitudinibus, motetur jam angulus S^ji 
ne ordinata; ^P, ^ amplius jaceant in eadem refta ; et appUcari poteft 
prxcedens demonflrAcio ad hunc.cafum, fimilitcr atque ad priorem ; hoc eft, 




circuio sd ^Iltpfi. fi vires t«i4vmt ad centram figurae in abfciffa po- Sicno 
fitum } Jmb vires a\)gei)4p yel ^iip^cndo ordinatas in ratione qua- 
cunque data, vel etiam mutaado »nguluin inclinationis ordinata- 
rum ad ak&ifrain, iemper augentur vel diminuuntur in ratione 
diftantiarum a centro, H modo tempora periodica maneant squalia; 
fie etiam in figuris unived^ iiprdinatae augeaptur ve^ aiminuantur 
in ratione quacunque data, vel angulus ordinationis utcunquc 
mutetur, manente tempore penodtco j vires ad centrum quodcun- 
que in abjfciffa pofitum tendentes in fingulis ordinatis augentur vel 
^mianuntur in ratione difhmtiaruro a centro. 


Pofifo quod ^vis centripeta proportionalis fit altitudini feu 
difiantiiS locorum a centro^ dico quod cadentium tempora^ 
vilest (^tCf etjj^atia dtfcripta funt arcubus^ arcuumque fi- 
tubus n^s etfinihus verfis refpeSive proportionaUs m. 

CoroU I, 

corpora, P ct / fUnul pervenicnt- ad ordinatas ^P, S(^p^ et vis centripeta in 
loco P ent ad vim centripetam in loco^ adhuc ut diftantia 5P ad diftantiani 
Sj>. Q.E.P. 

[}] 64. Si corpus non cadat perpendicularicer, defcrib^t cllipfin [Cor. i. Tab. V. 
p.ix.] centrum Habentem in centro virium. Sit JRP ellipfis iDa, et centrum Fic. 45. 
ejus S : fuper hujus femiaxe majori ^S defcribatur quadrans drculi jiDE, ct 
<per corpus deadens tranfeac refba CPD ndjiS perpendicularts, a6ti(que D S^ 
r S^ erit^rea ^5 Z) arese AS P^ ideoque .etiam tempor; proportionalis. Ma- 
nente fehiraxe 2!S minuatur perpetuo latitudo ellipieos, ^t femper manebit a- 
rea J&'&^nrpdtH pmportionalis : minuatur latitudo ilia in infinitum, et orbe 
jfRP jam dbincidente Cum AS^ dcfcendct coqpus^iqi^refta AS^ et area JCD, 
ceu arcus AD cradet tempori proportionalis. Ducatur Jam cd parallela et 
quam proxima ipfi CDy et velocitas qu4 defcribitur lineola Cc erit ut fpatium 

dircftc et tempus inverie, vel ut —1^ i. e. ut — ^, afta D r parallela C r, vel. 

ob fimilia triangula, ut ^, et ob datum SD ut fmus re£h]s CD. Patet 

Terocoipus delcribene Gnum vtrfum AC. 


Fio. 46. 


Sf cTio Corel. I . Hifi&:-»)ualia fiitit tempera, tiaibiii corpus nnum de lo- 

s&cvvDA. ^^ ^ cadendo pervcnk^ad centrum 5,.ct corpis. aliud rcvoWendo 

defcribit arcum quadrantalem AD^/ 

Carol. 2. Proindea^ualia funt tempora omnia quibus corpora de 
locis quibufvis ad ufque centrum cadunt. Nam rcvolventium tem- 
pera omnia periodica (per corol. 3. prop^lY.) asquantur [']• 


Pojita cujufcunque generis vi centripetal et concejjis Jigura^ 
rum curvilinear um quadraturis^ requiritur corporis reSta 
ttfcendentis vel defcendentis turn velocitas in locis JinguliSj 
turn tempus quo corpus ad locum quemvis perveniet : Et 
contra. . . 

De loco quovis A in refta AD EC cadat corpus £, deque loco 
Tab^v. ejus E erigatur (emper perpendicularis £G, vi centripct« in loco 
illo ad centnim (7 tendcnti proportionalis : Sitque B FG linea cur- 
va quam'{>aAi£hinl <? 'pierpctuo tangit. Coincidat autem EG ipfo 
motus initio cum ^perpendictilari AB^ et crit corporis velocitas in lo- 
co quovis E utrefta, quae poteft aream curvilinean> '/f 5 GB. QJE.I. 

In EG capiaturEilf re6te, quse poteft aream ABGEy rcciprocc 
proportionalis, et fit FLM linea curva, quam pun£ldm Mpeiptu 
tuo tangit, et ciijus af^mptotos eft refta AB prodiifta ; et erit 
tempus, <jtiic)'t6i^^ cadendo defcribit lineam AE, ut-ar^^tlnrvili^^ 
mzASrl^MB. QJR.I. 

Eteiiim in reJEta AE capiatur linea quam minimi DE datsc ionr- 
git uditiff^; flttjtic 2>L P locus linese E MG, ubi corpus verlabiEttxif m 
D', et fi w^it^vH'teWripeta, ut rcda, quse poteft oreatA^itBGE^ 
fit ut defcendentis velodtas^ erit area ipfa in duplicata ratione ve- 
locitatis, id elti fi^ pro velocitatibus in JD et £, fcHlbtotlur V et 

■ . ■ ■■ V-4-I, 

['] 65. Si Uiiea AS in femicycloidem vulgarem permmejtiu:^ maDenxe lon^- 
tudinc, et lege vis ccotripetse, patict tempora et velodta(;c^ ecd^ inpdo repre- 
fentari poflb five cOffHit in. curva cydoidali, five in linea rd^a^ipfcendat ; et 
proinde cempona omni^, quibus corpora a locis quibufvis^a^ pun&um infimum 
defcendunt, efle arqualia : vires enim acceleratrices funt dire£te ut difhumx ab 
hoc pun^. 


V-hJy eritarea ^B FD ut VV^ et-area yiB GB' ut YVh-2 VI-4-II, Skctio 
et divifim area DFgE ut 2VH-II, j^ieoqye BE£^ u^ ^XktU, 

■ ■Da DE 

id eft, fi primae quantitatutn nafcentium rationes fumantur, lon- 

gitudo JDFut quantitas ^^,,ideoque etiam ut quantitatis hujus 


dimidium w^. Eft autem tempus, .. ^o corpus cadendo defcnbit 

lineolam Z)£, ut lineola ilia dircfte et velocitas V inverfe, eftque vis 
ut velocitatis incrementum I dircfte et tempus iriverfe, ideoque fi 

primae nafcentium rationes fumantur, ut ^g^, hoc eft ut Ipngitu*. 

do DF. Ergo vis ipfi DFwtl EG proportion alis facit : ut coipus 
ea cum velocitate defcendat, quae fit ut refta quae poteft aream 
ABGE. Qj:.D. [•]. 

Porro cum tempus, quo quaelibet loQgitudinis datae lineola D E 
defcribatur, fit ut velocitas inverfe, ideoque inverfc ut linea re^a 
quae poteft aream AB FD ; utq^e i> A . atqve ideo ar^a nafcens 
DLMEy uteadem linea refta inverfe : crit tempus^.ut ar^ Z>Z 
MEy et fumma omnium temporum ut fumma omnium areariun, 
hoc eft (per corol. lem. iv.) tempus toti^m q\ip Mne^ v<JS dffcri- 

bitur ut; aijea tflta ^T^Af £. QJ^-D^ ; ;; * it VV . 

CoroL u Si P fit.locujB, dc quQcoijaia cad^re |^|^, jut i^r^cnte 
aliqua uniforwi vi centrip^ta.nota, . (<ii|ali^ yi^lg^a iHPipitqar^r^vi- 
tas) velocitatum acquirat in loco D xqualem velocita't^^^uamcf pr- 
pus aliud yi quacunque cadens acquifivit epdem Kxp^^jp, et jfl.per- 
pendiculari I)i?6ap»atur DR, quae fit ad JOF^Mt wiillft .^i^foj^i^s 
ad viiA^teraw>mfl«»f9A etconjpleaturr^^^^i^gpjUi^^^ip^j^i^.ei- 

v?-^-^?ti:j f-^:.:i' ;»>.:■ : - , ,:'i> '^ j/ ^■I'Vjhi:.) }'.fl^^ 

[•] 66. Prqpg^5apni^ hujufc? tantummodo convcrfam JJewtonuB^ demonftrarc 
videturj ex demonftratis vcro facillime ipfius propofidfdms vemfe daiuci po- ^^^' 47 
teft. Probatur nimirum, pofito quod quadratum velocitatis areae proportionale 
fit, vim ipfarti pet Vmcatti DF repreferitari ; fi i^tur, llncft D F vim reprefcn- 
tante, vdodtam qu^atum non fit ut area ABFD^ reprefentari fingatur qua- 
draturi) velodt^tii ipnct arcim ABKD majdrcm vcl minorem area /f^jFZ>, et 
prodibit ex Newtoni demonftratis vis ut iWea Z)Jf, quae major eft vel minor 
Unci D Is contra hypothefin. 



Sectio qut a?qualis abfciiidatur area jiBFD; crit -^locus de.quo corpus 


alterum cecidit. Namque complcto re6^angulo DRSE, cum fit 
area ABFD^lA aream JD -FG£ ut V V ad 2 VI, ideoque ut J V ad I, 
id eft, ut fcmiflis vclocitatis totius ad incrcmentum yelocitatis cor- 
poris vi intequabili cadentis; et fimiliter area P^JtD ad aream 
DRSE \it fcmiflis velocitatis totius ad incrcmcntum vclocitatis 
corporis unifbitni vi cadentis j fintque incremcnta iila(ob aequalita-' 
tern temporum nafccntium) ut vires generatrices, id eft, ut ordina- 
tim applicatae DFyDRy ideoque ut areae nafccntes DFGE, DRSE^ 
ertint^x aequo arese tot« ABFD^ P^JBtD ad invicem ut femif- 
fcs totarum velocitatum, etpropterea, obaequalitatem vclocitatum, 

Carol: 2. Vfndc fi coi^s quodlibet dc loco qiiooiasuiue D data 
cum veiocitate vcl forfum vel deorfum prajiciattir^ ct detur lex vis 
centripetae, invenietur velocitas ejus in alio quovis loco r, erigendo 
ordmatam egj et capiendo velocitatcm illam ad velocitatem in loco 
D ut eft riftk quce poteft reftangulumP^D area corvziiiiea DFgr 
vel au6him, fi -locus e eft 4oco D inferior, rel diramutuin, £ is 
fuperior eft,* ad reftaim -quae poteft reftanguium folutn P^JRD. 

Coral. 3 • Tempiis quoque innotefcet erigendo ordmalam € mtt^ 
ciproce proportionalem lateri quadrato ex P^i? J>*4-vel^— f>*F^^, 
et capiendo tempus quo corpus defcripfit lineam D ^r ad terftpus 
quo corpus alterum vi tmiformi cecidit a P, ^et cadendo pervenit 
ad JD, trt area curvilinea DLme ad reftangulum 2 P DxD L. 
Namque tempus quo corpus vi uniformi defcendens defcripfit li- 
neam P JD eft ad tempus quo corpus idem defcripfit lineam P £ in 
fubduplicata ratione P D ad P £, id eft (lineola D E jaittjam naf- 
ceAte) In ratione PD ad P £>+ 4. £) £ feu 2 PD ad zPD-hDE^ 
et divifim, ad tempus quo corpus idem defcripfit lineolam D jE ut 
2 P I> ad U'JB, ideoque ut reftangulum 2PD %D L ad aream 
DLME^, eftque tempus quo corpus utrumque defcripfit lineolam 
DE ad tempus quo corpus alterum inaequabili motu defcripfit li- 
neam D e, ut area JD L ME ad aream DLme, ct ex aequo tem- 
pus primum ad tempus ultimum ut reftangulum 2 P Z) x D Z. ad 
aream DLme. PRO- 





- I 


Si corpusy cogente vi quacunque centripetal moveatur utcun- 
quey et corpus aliud reBa afcendat vel defcendaty Jintque 
eorum velocitates in aliquo dequalium altitUidipum cafu 
tequaleSy vehcitates eorum ifrcmnibtis cequaiibm^alti^udi- 
nibus erunt aquales. 

Defcendat corpus aliquod ab A per JD, E> ad centram C, et mo- Tab. v. 
veatur corpus aliud a ^in linea curva VIKk. Centro Cintervallis ^*c-48. 
quibufvis defcribantur circuli concentric! D/, EiSCreftae ^Cin D 
et Ey curvaeque FIK in / et iiC^ occurrentes. Jungatur IC occur- 
rens ipfi KE in N-, et in IK demittatur perpendiculuni NT-j^ (it- 
que circumferentiarum circulorum intervallum DE vel /iVquam 
minimum, et habeant corpora in D et J velocitates aequales.. Qup- 
niam diflantiae CDy CI aequantur, erunt vires centripetal ia Z) et / 
^quales. Exponantur h« vires per aequales linqolas D E, /AT j et fi 
vis una J^ (per legum corol. 11.) refolvatur in duas NTct IT^ vis 
NTy agendo fecundum lineam iVT corporis cvufuiJTJiCperpendi- 
cuTarem, nil mutabit velocitatem corporis in curfu illo, fed retrahet 
iblummodo corpus a curfu re6tilineo, facietque }^&^ dp orbis tan* 
gente perpctub defleflere, inque via curvilinea jr.7'j8yi^,pK<;«r^di. In 
hoc effdSiu^ producendo vis ilia tota confumetur : visr^^tepi altera 
ITy feciindum corporis curfum agendo, tota accel^riai>it illudi ac 
dato tempore quam utinimo accelerationem generabitjibi ip0 pro- 
portionatem. Proinde corporum in D et / acqeler^tiQQ^ <a^quali- 
bus temporibcis faflas (fi iumantur linearum na^ejMthtm £^^> JNy 
IKy I^^ ;Wf^ ratioiuBS prim«) funtut linear I>(^iI^'7•>^,tesoJ)OJfibus 
autem inaequfdibus ut lincae illae et tempora coi^iun^illn.; iTcmpo- 
ra autem quibiis jD JS et IK defcribuntur, ob aeqwalitetem veloci- 
tatum funt ut vis defcriptac DE tt IKy ideoque accelerationes, in 
curfu corporum per lineas DE ct IKy funt ut Z>£ et IT^.DE et 
/-K conjunftiro, id eft ut DJS quad. tUTx^JKreHanguIum^ Sed 

, 4 f'eSiangulum 


Sectio reStangulum I'T^^IK aequale eft IN quadrato^ hoc eft, aequale DE 
5ECUNDA. y^^^ gj propterea accclcrationcs in tranfitu corporum a Z) et / ad 

EtX,K aequales generantur. ^quales igitur funt corporum velo- 
citates in £ et /C ; et eodem argumento fcmper reperientur aequa- 
les in fubfequentibus aequalibus diftantiis. C^E. D, 

Sed et eodem ai'gumento corpora squivelocia ct aequaliter a ccn- 
tro diftantia, in afcenfu ad aequales diftantias aequaliter retarda- 
buntur. Q;^. D. 

Corol. !• Hinc fi corpus vel ofcilletur pendens a filo, vel impe- 
j dimento quovis politifGmo et perfefte lubrico cogatur in linea cur- 
va moveri, et corpus aliud refta afcendat vel defcendat, fintque 
velocitates eorum in eadem quacunque altitudine asquales : erunt 
velocitates eorum in aliis quibufcunque aequalibus altitudinibus 
aequales. Namque coiporis penduli filo vel impedimento vafis ab- 
folute lubrici idem prseftatur quod vi tranfverfa NT* Corpus eo 
non retardatur, non acceleratur, fed tantum cogitur de curfu rec- 
tilineo difcedere. 

Corol. 2. Hinc etiam fi quantitas P fit maxima a centro diftantia, 
ad quam corpus vel ofcillans vel in trajefloria quacunque revol- 
vens, deque quovis trajeftoria? pun£lo, ea quam ibi habet velocita- 
te furfum proje£lum afcendere pofiit j fitque quantitas A diftantia 
corporis a centro in alio quovis orbitas punfto, et vis centripeta 
femper fit ut ipfius A dignitas quaelibet A***, cujus index n — i eft 
Humerus quilibet n unitate diminutus j vclocitas corporis in omni 
altitudine A erit ut s/V — A', atque ideo datur. Namque velocitas 
refta afcendentis ac defcendentis (per prop, xi.) eft in hac ipfa 

Tab. V. Ex tribus noviflimis propoCrionibus fequentia facillime deducuntur. 

Pio. 46. 67.8! cadat corpus a loco A verfus ccntntm virium C, ct vis centripeu 

fit conftans*, patet aream ABGE efle redangulum ; et auadratum velocitatis ob 

datam alticudinem ut bafis AE. Exinde fequitur velocitacem acquifium in 

hoc cafu efle in fubduplicadi ratione fpatii ddcripti. 

68. Si cadat corpus a loco A vcrfus centrum virium C, ct vis centripeta fit 
Tab. V. in dircdta fimplici ratione diftantiae ab hoc centro, atque erigantur fcmper per- 
Fic. 49. pendiculares AB, EG proportionales diftantiis AC, EC, erunt punfta C,<?, jS, 

in cadcm refta linea : dividatur jam trapezium ABGE, in triangula AEB^ 



EBGy et erit area ejus ut JBx^E+EGx^JE^ feu ut AC%AE+EC%AEzi Sectio 
JC+ECy^yiEzzED\ fi ED fit finus reftus circuli, centre C et radio CA de- Secukda, 
fcripti ; eft igitur velocitas in E acquifita ut rectus finus ED. 

6g. Hinc patet, quod fi corpus vi agitatum quae variatur in direfVd ratione 
diftantiae refta a peripheria circuli ad centrum dt-l'cendat, acquiret illud veloci- 
tatem illam qua in circulo movetur; fit cnim JB vis centri^Kta in loco J, fit- 
que JE aequalis dimidio radio circuli JD^ et compleatur reftangulum ABRE^ 
paiet velocitatem in circulo AD efle ut radix quadratica areae ABRE (34) : 
crigantur perpctu6 perpcndicula EC qme funt ad AB;, ut diftantiaf EC ad 
AC^ et compleatur triangulum ABC\ erit area ejus aequalis areae redanguli 
ABREj unde (per cor. i. prop, xi) C locus eft ad quein defcendet corpus, 
ut acquirat velocitatem asqualem velocitati in circulo. 

70. Hinc etiam determinari poteft altitudo ad quam corpus afcendet fi 
furfum projiciatur a loco A ca cum velocitate qui circulus dclcribitur, et 
mterea agitetur vi quae eft in direda ratione diftantiae a centro : iifiden^.omm 
pofltis, erigacur femper perpendicularis at, quae fit ad AB, ut ^Cad AC, ec 
Cpmpleatur trapezium abBA aequale reftangulo ABRE, erit a ^titudb ad 
quam corpus dcendet (per cor. 1. prop, xi.) eft autem area triangu!i Cat ^ 
aream trianguli CAB ut 2 ad i (per Hyp.), et ob fimilia triangula ut Ca* ad 
CA^j VinieeA Ca : CA : : s/i: i. 

71. Ex his datur etiam altitudo ad quam corpus afcendet^ fi fiirftim projicia- Tab V 
tur a punfto quovis in ellipfi eadem velocitate qua peripheria ejus vi ad cen- Fic. 50/ 
trum tendente defcribitur, pofito quod in afceniu fiio agitetur vi quae variatur 
indiredta ratione diftantiae. Patet enim (ex prop. Xli.) corpus a diverfis orbits 
cmjufois pun&is hoc modo projedum, ad eandcm lemper akitudinem a cen- 

yx) YHium afcendere : detern[iinetur altitudo in cafu illo in quo velocitas 
aeqiialis'eft velocitati in circulo ad eandem diftantiam, et data erit in omni 
afio. Inveniantur igitur asquales conjugataefemidiainetriCD,CX (59), et erit al- 
titudo Ciad CD ut \/2 ad i. (70). 

72. Altttodp Cdj ad quam corpus re6i^ projedhim afcendit, aequalis eft 
lineae B/l quae jun^t venices axium. Nam (ex conicis) eft reftangulum 
DEGiBE^iiDO: CK\ fed D O = CXs ergo red. DEG=BE\ fed reft. 
DEGzzCD^^CE* (per El. II. 5.) crgpBE>zzCD^^CE\ et CD^:=:BE^+ 

CE^zziBE*, quare 2CD^=^BE*zzBA^, unde BAiCDiis/Tii, et 

73. Ex his feqisitur circulum akitudinis tranfire perpunda interfefttonum 
tangendum iUarum quae per vertices* 4Xiuin,eUq)fisducuntur. 



^^"'« SECTIO III. 

De motu corporum in comets fcEiionibm excentricis. 

P R O OE M I U M. 

Qui phyficam traftandam fufcepcrant, ad trcs fere clafles revo- 
cari pofTunt. Extiterunt enim, qui (ingulis rcrum fpeciebus quali« 
tates fpecificas ct occultas tribuerint j ex quibus deinde corporum 
fingulorum operationes, ignota quadam ratione, pendere voluerunt. 
In hoc pofita eft fumma doftrinae fcholafticac, ab Arijiotele et Peri- 
patcticis derivatae : Affirmant utique (ingulos efFechis ex corporum 
fingularibus naturis oriri \ at unde fmt iliac naturae non docent ; nihil 
itaque docent. Cumque toti fint in rerum nominibus, non in ip^ 
fis rebus ; fcrmonem quendam philofophicum cenfendi funt adinve- 
niflc, philofophiam tradidifle non funt cenfendi. 

Alii ergo melioris diligentis laudem confequi fperarunt rejefta 
vocabulorum inutili fairagine. Statuerunt itaque materiam univer^ 
fam homogeneam efle, omnem vero formarum varietatem, quae in 
corporibus cemitur, ex particularum componentium fimpliciffimis 
quibufdam et intelle^lu facillimis afFe£lionibus oriri. Et redle qui- 
dcm progrcflio inftituitur a (implicioribus ad magis corapofita, fi par- 
ticularum primariis illis afFe6lionibus non alios tribuunt modos, 
quam quos ipfa tribuit natura. Verum ubi licentiam (ibi aflumunt, 
ponendi quafcunque libet ignotas partium figuras et magnitudines, 
inccrtofque fitus et motus 5 quin et fingendi fluida quacdam occulta, 
quae coi-porum poros liberrime permeent, omnipotente praedita fub- 
tilitate> motibufque occultis agitata^ jam ad fomnia delabuntur, neg* 
le£ta rcrum conftitutionc vera : quae fane fruftra petenda eft ex falla- 
cibus coiijcfturis, cum vix etiam per certiffimas obfervationes invef- 
tigari poflit. Qui fpeculationum fuarura fundamentum defumunt 
ab hypothcfibus \ etiamfi deinde fccundum leges mechanicas accu- 




ratiffime procedant ; fabulam quidem elegantem forte et venuftam, Sectio 
fabulam tamen concinnare dicendi funt. 

Relinquitur adeo tertium genus, qui philofophiam fcilicet expe- 
rimentalem profitentur. Hi quidem ex fimpliciffimis quibus poffunt 
principiis rerum omnium caufas derivandas effe volunt : nihil au- 
tem principii loco aflumunt, quod nondum ex phaenomenis com- 
probatum fuerit. Hypothefes non comminifcuntur, neque in phy- 
ficam recipiunt, nifi ut quaeftiones de quarum veritate difputetur. 
Duplici itaque methodo incedunt, analytica et fynthetica. Naturas 
vires legefque virium fimpliciores ex feledlis quibufdam phaenome- 
nis per analyfin deducunt, ex quibus deinde per fynthefin reliquo- 
rum conftitutionem tradunt. Haec ilia eft philofophandi ratio 
longe optima, quam prae caeteris merito ample^^endum cenfuit ce* 
leberrimus auftor nofter. Hanc folam utique dignam judicavitin 
qua excolenda atque adornanda operam fuam collocaret Hujus 

igitur illuftriffimum dedit exemplum, mundani nempe fyftematis 
explicationem e theoria gravitatis feliciflime deduftam. Gravitatis 
virtutem univerfis corporibus ineffe, fufpicati funt vel finxerunt 
alii : primus ille et folus ex apparentiis demonftrare potuit, et 
ipeculationibus egregiis firmiffimum ponere fundamentum. 

Ut argumenti fumatur exordium a fimpliciflimis et proximis ; 
difpiciamus paulifper qualis fit in terreftribus natura gravitatis, ut 
deinde tutius progrediamur ubi ad corpora caeleftia, longilTime a fe- 
dibus noftris remota, perventum fuerit, Convenit jam inter omnes 
philofophos, corpora univerfa circumterreftria gravitare in terram. 
Nulla dari corpora vere levia, jamdudum confirmavit experientia 
multiplex. Quae dicitur levitas relativa, non eft vera levitas, fed ap- 
parens folummodo; et oritur a praepoUente gravitate corporum 

Porro, ut corpora univerfa gravitent in terram, ita terra viciffim 
in corpora aequaliter gravitat j gravitatis enim adtionem efle mutu- 
am et utrinque aequalem, lie oftenditur. Diftinguatur terras totius 
moles in binas quafcunque partes vel aequales vel utcunque inae- 
quales : jam fi pondera partium non effent in fe mutuo aequalia j 

H 2 cederet 


Sectio cederet pondus minus majori, et partes conjunflae pcrgerent rcfta 
moveri ad infinitum, verfus plagam in quam tendit pondus majus: 
omnino contra experientiam. Itaque dicendum erit,pondcra parti- 
um in aequilibrio effe conftituta : hoc eft, gravitatis a6tionem effe 
mutuam et utrinque a^qualem. 

Pondera corporum, aequaliter a centro tcrne diftantium, funt ut 
quantitates materia^ in corporibus. Hoc utiquc colligitur exasqua- 
li accelcratione corporum omnium, e quicte per ponderum vires 
cadentium : nam vires quibus inaequalia corpora aequaliter accele- 
rantur, debent effe proportionales quantitatibus materiae movendae. 
Jam vero corpora univerfa cadentia aequaliter accelerari, ex eo pa- 
tet, quod in vacuo Boyliano temporibus a^qualibus aequalia fpatia 
cadendo defcribunt, fublata fcilicet acris refiftentia : accuratius 
autem comprobatur per experimenta pendulorum. 

Vires attraflivae corporum, in aequalibus diftantiis, funt ut 
quantitates materiae in corporibus. Nam cum corpora in terram 
et terra viciffim in corpora momentis aequalibus gravitent; 
terrae pondus in unumquodque corpus, feu vis qua corpus terram 
attrahit, aequabitur ponderi corporis ejufdem in terram. Hoc au- 
tem pondus erat ut quantitas materiae in corpore : itaque vis qua 
corpus unumquodque terram attrahit, five corporis vis abibluta, 
erit ut eadem quantitas materia^. 

Oritur ergo et componitur vis attraftiva corporum intcgrorum 
ex viribus attraflivis partium : fiquidem aufta vel diminuta mole 
materise, oftenfum eft, proportionaliter augeri vel diminui ejus vir- 
tutem. A6lio itaque telluris ex conjunftis partium aftionibus con- 
flari cenfenda erit ; atque adeo corpora omnia terreftria fe mutuo 
trahere oportet viribus abfolutis, quae fint in ratione materiae tra- 
hentis. Haec eft natura gravitatis apud terram: videamus jam 
qualis fit in cselis. 

Corpus omne perfeverare in ftatu fuo vel quiefcendi vel movendi 
uniformiter in direftum, nifi quatenus a viribus impreffis co^tur 
ftatum ilium mutare ; naturae lex eft ab omnibus recepta philofo- 
phis. Inde vero fcquitur, corpora quae in curvis moventur, atque 



adco de lineis rcftis orbitas fuas tangentibus jugiter abeurit, vi ali- Sectio 
qua perpetuo agente retineri in itinere curvilineo. Planetis igitur 
in orbibus cm vis revolventibus neceflario aderit vis aliqua, per cu- 
jus aftiones repetitas indefinenter a tangentibus dcfleftantur. 

Jam iilud concedi sequum eft, quod mathcmaticis rationibus col- 
ligitur et ccrtiffime demonftratur j corpora nempe omnia, quae mo- 
ventur in linea aliqua curva in piano defcripta, quaeque radio dufto 
ad pun£lum vel quiefcens vel utcunque motum defcribunt areas 
circa pundlum illud temporibus proportionales, urgeri a viribus 
quae ad idem pun6lum tendent. Cum igitur in confeflb fit apud 
aftronomos, planetas primarios circum folem, fecundarios vero 
circum fiios primaries*, areas defcribere temporibus proportionales; 
confequens eft ut vis ilia, qua perpetuo detorquentur a tangentibus 
reftilineis et in orbitis curvilineis revolvi coguntur, verfus corpora 
dirigatur quae fita funt in orbitarum centris. Haec itaque vis non 
incpte vocari poteft, refpeftu quidem corporis revolventis, ccntri- 
peta ; refpeftu autem corporis centralis, attrafliva } a quacunque 
demum caufa oriri fingatur. 

Quin et haec quoque concedenda funt, et mathematice demon- 
ftrdntur : Si corpora plura motu aequabili revolvantur in circulis 
concentricis, et quadrata temporum periodicorum fint ut cubi di- 
ftantiarum a centro communis vires centripetas revolventium fore 
reciproce ut quadrata diftantiarum *. 

Similiter fi corpora plura in ellipfibus diverfis circa centrum vi- 
rium commune revolvantur et quadrata temporum periodicorum 
fint ut cubi mediocrium a centio vlrium diftantiarum, in hac fec- 
tione geometrice demonftratur vires centripetas tendentes ad hoc 


* Phaenomenon i . Planeiarum quinque frimariorum^ et velfolis circa t err am 
vel terra circa folem tempora periodica^ ftellis fixis quiefcentibus^ ejfe in ratione 
fefquipHcatd mediocrium diftantiarum afole. 

HsBc a Keplero inventa ratio in confeflb eft apud omnes. Eadem utique 
funt tempora periodica, caedemque erbium dimenfiones^ five fol circa terram 
five terra circa folem revel vatur, ac de rrienfura quidem temporum periodico- 
rum convenit inter aftronomos univerfos, magnitudines autem erbium Keple- 
rus et BuUialdus omnium diligcntilTime ex ebfervationibus determinarunt : et 






ccntram in communi omnium ellipfium foco locatum^ efle reci- 
procc in duplicata ratione diftantiarum. Hoc autem nunc pro con- 

ccflb habeatur. 


diilantiac mediocres quas temporibus periodicis refpondent, non difitrunt fenfi- 
biliter a diilantiis quas illi invenerunt, funtque inter ipfas ut plurimum inter- 
mediae; uu in tabula (equente videre licet. 

Flanetanim ac telluris tempora periodica circa folem refpedu fixarum, in 

diebus et partibus decimalibus diei. 

h % i 5 9 5 

10759,275. 4332,514. 686,9785. 365,2565, 224,6176. 87,9692, 

Planetarum ac telluris diftantiae mediocres a fole. 

b V <J 5 9 5 
Secund. Kep. 951000. 519650. 152350. looooo. 724000 38806. 

Secund. Bull. 954198. 522520. 152350. locooo. 72398. 38535, 

Sec. temp. per. 954006. 520096. 152369. lOoooo. 72333. 38710. 

De diftantiis Mercurii et Veneris a.fole difputandi non eft locus, cum has 
per eorum elongationes a fole determinentur. 

De diilantiis etiam fuperiorum planetarum a fole tollitur omnis difputado 
per eclipfes fatellicum Jovis. Etenim per eclipfes illas determinatur politic 
umbrae quam Jupiter projicit, et eo nomine babetur Jovis long^tudo heliocen- 
trica. Ex longitudinibus autem heliocentric^ et geocentric^ inter fe collatis 
determinatur diftantia Jovis. 

Phaea. 2. Timpara periodica Planetarum circumjovialium^ftelUsfixis quiefcenti' 
huSy ejfe in ratione fefquiplicatd dijiantiarum ah ipjius centro. 

Orbes horum Planetarum non differunt fenfibiliter a circulis Jovi concen- 
tricis. Eorum vero tempora periodica efle in fefquiplicata ratione femidiame- 
trorum orbium confentiunt aftronomi j idem etiam ex tabula fequente 
manifeftum eft. 

Satellitum Jo\rialium tempora periodica 
1^.18^27^34^ 3*.i3Vi3'.42^ 7'*.3'.42'.36". I6^.l6»'.32^9^ 

Diftandae Satellitum a centro Jovis. 
Ex obfervationibus 


Townlei per microm. 
CafTini per telefcop. 
Caflini per eclip. fatell. 

Ex ten^ p. Period. 








24} -| 











14 H 




25, 299. 


Pha^. 3. 



Ex iis quae haflenus difta funt, conftat planetas in orbitis fiiis Sectio 
retincri per vim aliquam in ipfos perpetuo agentem : conftat vim "" 
illam dirigi fempcr verfus orbitarum centra : conftat hujus effica- 
ciam augeri in acceffu ad centrum, diminni in receffu ab eodem : 
et augeri quidem in eadem proportione qua diminuitur quadratum 
diftantiae, diminui eadem proportione qua diftantis^ quadratum 
augetur. Videamus jam, comparatione inftituta inter planetarugi 
vires centripetas et vim gravitatis, annon ejufdem fortd fint gene- 
ris. Ejufdem vero generis erunt, fi deprehendantur hinc et inde 
leges ea^dem, eaedemque afFe£tiones. Primo itaque lunae, quae nobis 
proxima eft, vim centripctam 6xpendamus. 

Spatia re6tilinea, quas a corporibus e quiete demiHis dato tempo- 
re fub ipfo motus initio dcfcribuntur, ubi a viribus quibufcunque 
urgentur, proportionalia funt ipfis viribus : hoc utique confequitur 
ex ratiociniis mathematicis. Erit igitur vis centripeta luiiae in orbita 
fua revolventis, ad vim gravitatis in fuperficie tcrrae, ut fpatium 
quod tempore quam minimo defcriberet luna defcendehdo per vim 
centripetam verfus terram, ficirculari omni motu privari ifingeretur, 
ad fpatium quod eodem tempore quam minimo dcfcribit grave cor- 
pus in vicinia terras, per vim gravitatis fuae cadenda Horam fpa- 
tiorum prius aequale eft arcus a luna per idem tempus dcfcripti fi- 
nui verfo, quippe qui lunae tranflationem de tangente, fa£lam a vi 
centripeta, metiturj atque adeo computari poteft ex datis tum lunae 
tempore periodico, tum diftantia ejus a centro terrae. Spatium 
pofterius invenitur per cxpcrimenta pendulorum, quemadmodum 


Phasn. 3. Tensor a perhdicaP Unit arum cir cumf atur niortmi fiillis Jhns quiefi^ 
tibusy ejfe in ratione fefquiplicafd diftantiarum ab ipfius centro. 

Caffinus utique ex obfervationibus fuis diftatitias eorum \ centro Satumi et 
periodica tempera hujufmodi effe ftatuit. 

Satellitum Saturniorum tempera periodica. ' ' 
i*.2i**.i8'.a7". 2<».i7^4i'.22^ 4^.i2^».25'.i2''. 15^.22^41'. 14", 79*^.7^ 


Diftantiae Satellitum a centro Satumi in femidiametris annuli. 
Ex obferv. i t? 2 t 3 i 8. 24. 
Ex temp. per. 1,9 3. 2,47. 3,45. 8. 23,35. 




i:i:u:c irac^^'^srxr- Inito itaque calculof, fpatium prius ad fpatinm 
':cibTrJi^^ K'^ ▼is ccntripeta lunae in orbita fua rcvolventis ad vim 
Vr-jTicir^ in tupcrficie terra?, erit ut quadratum femidjametri 
^;.— -, ai orbitx fcmidiametri quadratum. Eandem habet ra- 
r jncai, per ca quae fupcrius oftenduntur, vis centripeta lunae in 
oibira iua rwolventis ad vim lunae centripetam prope terrse fuper- 
ticicm. Vis itaque centripeta prope terras fupeiiiciem a^qualis eft 
vi ijravitatis. Non ergo diverfae funt vires, fed una atque eadem: 
11 cnim diverfae effent, corpora viribus conjunclis duplo celeriusin 
tcrram caderent quam ex vi fola gravitatis. Conftat igitur vim 
illam centripetam, qua luna perpetuo de tangente vel trahitur vel 
impcUitur et in orbita retinetur, ipfam effe vim gravitatis terre- 
ftris ad lunam ufque pertingentem. Et rationi quidem confenta- 
neum eft ut ad ingentes diftantias ilia fefe virtus extendat, cum 
nullam ejus fenfibilem imminutionem, vel in altiflimis montium 
cacuminibus, obfervare licet. Gravitat itaque luna in terram: 
quin ct aclione mutua, terra viciffim in lunam aBqualiter gravitat : 
id quod abunde quidem confirmatur in hac philofophia, ubi agi- 
tur de maris aeftu et aequinofliorum praeceffione, ab adtione tum 
lunas tum folis in terram oriundis. Hinc et illud tandem edoce- 
mur, qua nimirum lege vis gravitatis decrefcat in majoribus a tel- 


-f- Colligitiir hoc ex calculo per coroUarium nonum propofitionis quartae 
confccto. Nam arcus illius, quern luna tempore unius minuti primi, medio 
fuo moru, ad diftantiam fexaginta fcmidiametrorum tcrreftrium delcribat, fi* 
nus vcrfus eft pedum Parifienfium 1 5 A circiter, vel magis accurate peduni 
1 5. dig. i.ctlin. 1 J. Unde cum vis ilia accedendo ad terram aue;catur in dupli- 
cata diftantiae rationc inversa, ideoque ad fupcrficiem terrae major fit partibus 
60x60 quam ad lunam; corpus, vi ilia in regionibus noftris cadendo, dclcriberc 
dcberrt Ipatio minuti unius primi pedes Parifienfcs 60 x 60 x 15x1, et fpatio 
minuti unius fecundi pedes 151^:, vel magis accurate pedes 15. dig, i. ct lin. 
I f , Et cadcm vi gravia revera defcendunt in terram. Nam penduli, in lad- 
tudinc Lutetiae Parifiorum ad fingula minuta fecunda ofcillantis longitudo eft 
pedum trium Parificnfium et linearum 8 !> ut obfervavit Hugenius. Et alti- 
tudo, quam grave tempore minuti unius fecundi cadendo defcribit, eft ad 
dimidiam longitudinem penduli hujus in duplicata ratione circumferendac 
drculi ad diametrum ejus (ut indicavit etiam Hugenius) : ideoque eft pedum 
Parificnfium 15. dig. i. lin. i J : et propterea vis qua luna in orbe fuo retine- 
tur, ft dcfcendatur in fupcrficiem terras, xqualis evadit vi gravitatis apud nos, 
ideoque eft ilia ipla vis quam nos gravitatem dicere folemus. 



lure diftantiis. Nam cum gravitas non diverfa fit a vi centripeta Sbctio 
Ittnari, hacc vero fit reciproce proportionalis quadrato diftantiaei «^tia. 
diminuetur et gravitas in eadem ratione. 
^ Progrediamur jam ad planetas reliquos. Quoniam revolutiones 

primariorum circa folem et fecundariorum circajovem et Saturnum 
funt phenomena generis ejufdem ac revolutio lunae circa terram, 
quoniam porro demonftratum eft vires centripetas primariorum 
, dirigi verfiis centrum folis, fecundariorum verfiis centra Jovis et 
Satumi, quemadmodum lunae vis centripeta verfiis terrse centrum 
dirigitur; adhaec, quoniam omnes illas vires fimt reciproce ut 
quadrata diftantiarum a centris, quemadmodum vis lunae eft ut 
quadratum diftantiae a terra : concludendum erit eandem efle na<- 
turam univerfis. Itaque ut luna gravitat in terram, et terra vi- 
cifiim in lunam^fic etiam gravitabunt omnes fecundarii in primarios 
fiios et primarii vicifiim in fecundarios ; fie et omnes primarii in 
folem> et fol vicifiim in primarios. 

Igitur fol in planetas univerfos gravitat et univerfi in folem. 
Nam fecundarii dum primarios fuos comitantur, revolvuntur in- 
terea circum folem una cum primaiiis« Eodem itaque argumen- 
to, utrhifque generis planetas gravitant in folem, et fol in ipfos. 

Solis virtutem attradlivam quoquoverfum propagari ad ingen- 
tcs .ufque difliantias, et fefe difFundere ad fmgulas circumjedi fpatii 
partes, apertifiime coUigi poteft ex motu cometarum s qui ab im« 
menfis intcrvallis profe6ti feruntur in viciniam folis, et nonnun- 
quam adeo ad ipfum proxime accedunt, ut globum ejus, in peri- 
heliis fuis verfantes, tantum non contingere videantur. Horum 
theoriam ab aftronomis antehac fruftra quaefitam, noftro tandem 
feculo feliciter inventam et per obfervationes certiflime demonftra- 
tam, praeftantiflimo noftro auftori debemus. Patet igitur come- 
tas in fe£tionibus conicis umbilicos in centro folis habentibus mo- 
veri, et radiis ad folem dudlis areas temporibus proportionales de- 
fcribere. Ex hifce vero phaenomenis manifeftum eft et mathe- 
matice comprobatur, vires illas, quibus cometae retinentur in or- 
bitis fuis, refpicere folem et efie reciproce ut quadrata diftantia- 
rum ab ipfius centro. Gravitant itaque cometae in folem : atque 
adeo folis vis attradtiva non tantum ad corpora planetarum in da- 

I tis 




Sbctio tis diftantiis et in eodem fere piano collocata, fed etiam ad come« 
tas in diverftflimis cselorum regionibus et in diverfiflimis diilantiis 
pofitos pertingit. 

Condufiones pnecedentes huic innituntur axiomati, quod a 
nuiiis non recipitur philofophis ; efie^hium fcilicet ejufdem gene«- 
riS) quorum nempe quae cognofcuntur proprietates esedem funt, 
eafdem' effe cau(as et eafdem efle proprietates quae nondum cog<- 
nofcuntur. Quis enim dubitat, fi gravitas fit caufa deiccnfus la^ 
pidis in Europa^ quin eadem fit cauia defcenfiis in America^ Si 
gra^tas mutua f uerit inter lapidem et terram in Europa \ quis ne^ 
gabit mutuam efie in America ? Si vis attrafliva lapidis et terras 
componatur, in Europa^ ex viribus attraflivis partium; qois nc^ 
gabit fimilem efife compofitionem in America^ Si attradtio terrs 
ad omnia corporum genera et ad omnes diftantias propagetur in 
Europay quidni pariter propagari dicamus in America? In hac 
regula fundatur omnis philofophia : quippe qua ' fiiblata nihil 
afiirmare poffimus de univerfis. Conftitutio rerum fingularum 
innoteidt per obfervationes et experimenta : inde vero non nifi 
per banc regulam de rerum univerfarum natura judicamus. 

Jam cum gravia fint omnia corpora, quae apud terram vel in 
ccelis reperiuntur, de quibus experimenta vel obfervationts in* 
ftituere licet ; omnino dicendum erit^ gravitatem corporibus uni- 
verfis competere. Et quemadmodum nulla c6ncipi debent cor- 
pora, quae non £nt extenfa, mobilia et impenetrabilia ; ita nulla 
concipi dcbere, quae non fint gravia. Corporum extenfio, moUli- 
tas, et impenetrabilitas non nifi per experimenta, innotefcunt ; eo- 
dem plane modo gravitas innotefdt. Corpora omnia de quibus 
obfervationes babemus, extenfa fimt et mobilia et impenetrabilia : 
ct inde concludimus corpora univerfa, etiam ilia de quibus obfer- 
vationes non habemus, extenfa efie et molulia et impenetrabilia. 
Ita corpora omnia funt gravia, de quibus obfervationes habemus : 
et inde concludimus corpora univerla, etiam ilia de quibus obfer- 
vationes non habemus, gravia efle. Si quis dicat coipora ftellamm 
ioerrantium non ciTc gravia^ quandoquidem eorom gravitas non^ 




dam eft obfervata; eodem argumento dicere licebit neque extenfa Sbcti» 
effe, ncc mobilia, nee impenetrabilia, cum h« fixaram afFedliones 
nondum fint obfervatse. Q^d opus eft verbis ?. inter primarias 
(^ualitates corporum univerforum vel gravitas habebit locum > vel 
extenfio, mobilitas, et impenetrabilitas non habebunt. £t natura 
reriim vel refte explicabitur per corponlrai gravitatem, vel non 
re£fce explicabitur per corporum exten^onem, mobilitatem, et im« 
penetrabilitatem • 

Sunt qui jgravitatem praeter naturam efTe dicunt, et miraculum 
perpetuum vocant. Itaque rejiciendam efTe volunt, cum in phyiica 
pFctematurales caufae locum non habeant. Huic ineptas prorfus 
6bje£tioni diluendas^ quae et ipfa philofophiam Aibruit univerfam, 
vix operas pretium eft immorari. Vel enim gravitatem corporibus 
omnibus inditam efTe negabunt : quod tamen dici non poteft : vel 
CO nomine praster naturam efTe affirmabunt» quod ex aliis coipo- 
rum afFeAionibus atque ideo ex caufis mechanicis originem non 
habeat. Dantur certe primarias corporum affedtiones ; quas quo- 
niam funt primariae^ non pendent ab aliis. Viderint igitur annon 
tt has omnes fint pariter praster naturaiUf eoque parlter rejiciendas : 
Yiderint Vero qualis fit deinde futura philofophia. 

NonnuUi funt quibus base tota phyfica cceleftis vel ideo minus 
fdacet, quod cum Cartefii dogmatibus pugnare et vix conciliari 
pofle videatur. His ftia licebit opinione frui; ex asquq autemi 
agant oportet : non ergo denegabunt aliis eandem li^)crtatjein quam 
fibi concedi poftulant. Newtonianam itaque philofophiam, 
quas nobis verior habetur, retinere et ample<9:i licebit, ^t caufas 
fequi per phasnomena comprobatas, potius quam fi6las et nondum 
comprobatas. Ad veram philofophiam pertinet^ rerum naturas 
ex caufis vere exiftentibus derivare : eas verb leg^p quasrere, qui« 
bus voluit fummus Opifex hunc mundi pulcherriraum ordinem 
ftabilire; non eas quibus potuit, fi ita vifum fuiflbt. Rationi enim 
confonum eft, ut a pluribus caufis, ab invicem nonni^iil diverfis, 
idem poffit effeflus proficifci : hasc autem vera erit caufa, ex qua 
verd atque a6tu profidfcitur > reliquac locum non habent in philo- 

I z fophia 




Tertia Sophia veri. In horologiis automatis idem indicis horarii motus 
vel ab appenfo pondere vel ab intus conclufo elatcrc oriri poteft. 
Qucxl fi oblatum horologium revera fit inftruftum pondere ; ride- 
bitur qui fingit elatcrem, et ex hypothefi fie pi-aepropere confi6ta 
motum indicis explicare fiifcipiet : oportuit enim interaam machi- 
nae fabricam penitius perfcrotari, ut ita motus propofiti principium 
veram exploratum habere poffet. Idem vel non abfimile feretur 
judicium de philofophis illis, qui materia quadam fiibtilifiima CCD-^ 
los cfle repletos, banc autem in vortices indcfinenter agi volu- 
erunt. Nam a phsnomenis vel accuratifiime fatisfacere poflrat 
ex hypothefibus fiiis; veram tamen philofophiam tradidifle, et ve* 
ras caufas motuum coeleftium invenifife nondum dicendi funt ; nifi 
vel has revera exiftere, vel faltem alias non exiftere demonftrave'- 
rint. Igitur fi oftenfiim fuerit, univerforum corporum attra6Ho- 
nem habere veram locum in rerum natura ; qtrinetiam oftenfiim 
fuerit, qua ratione motus omnes coeleftes abinde fi>lutionem re- 
cipiant % vana fuerit et merito deridenda ob]e£^io» fi c|ais. dixerit 
eofdem motus per vortices explicari debere, etiamfi' id fieri pofle 
vel niaxime c^onceiferimus. Non autem concedimus: nequeunt 
enim illo pa6lo phaenomena per vortices explicari; quod ab autftore 
noftro abunde quidem et clarifiimis rationibus evindtur; ut fom- 
nis pills a;quo indulgeant oporteat, qui ineprifiimo figmento ce^ 
. farciendo, novifque porro commentis omando infeficeia operam 

Si cotpora planetarum et cometannn circa fblem deferantur a 
vorticibils j dportet corpora delata et vorticum partes proxime am- 
bienies'eideifh Vtldcitate eademque cursus determinatione moveri, 
et eandem habere denfitatem vel eandem vim inertiae pro mole 
materia. ^ 'Cbriftat ver6 planetas et cometas, diim verfantur in iif- 
dem regionibiis ccelorum, velbcitatibus varils variac^e cursus de^ 
terminatione moveri. Neceffario itaque fcquitur, ut fiuidi coeleflis 
partes illae, quae funt ad eafdera diftantias a fole, revolvantur eo- 
dem tempore in^ plagas diverfas cum diverfis velodtatibus : etenim 
alia opus erit dire^Hone et velocitate, ut tranfire pollint planetas.; 



alia, ut tranfire poflint cometae. Quod cum explicari nequeatj Sbctio 
velfatendum erit, univ€rfa corpora cceleftia non deferri a materia 
vorticis; vel dicendum erit, eorundem motus repetendos effe non 
ab uno eodemque vortice, fed a pluribus qui ab invicem diverfi 
fint, idemque fpatium foli circumjeftum pervadant. 

Si plures vortices in eodem fpatio contineri, et iefe qautuojpene- 
trare motibufque diverfis revolvi ponantur 5 quoniam Id motus de- 
bcnt effe conformes dclatorum corporum motibus, qui fimt fum- 
me regulares, et peraguntur in feftionibus conicis nunc valde ec- 
centricis, nunc ad circulorum proxime formam accedentibus ; jure 
quaerendum erit, qui fieri pof&t, ut iidem integri confbrventur nee 
^ a£tionibus materia occur(anti» per ;tQt ioecul^ quicquam pertur- 
bentur. Sane fi motus hi fi6titii funt magis compoiiti et. di£Bc^Hus 
expHcantur, quam veri iUi motus plaaetarum et cometarum ; 
fruftra miki videntur in philofophiam recipi : omnis enim caufa 
debet efle tStSin fuo fimplicion Conceila fabularum licentia, 
^rmaverit aliquis planetas omnes et cometas ciccuoictngi atmof- 
l^seri^y'ad inftar telluris noftra^; quas quidem hypothefis rationi 
magis confentanea videbitur quam hypothefis vorticunu Afiirma- 
verit deinde has atmofphaeras, ex natura fiiaj ci];c^ folem moved 
et ieftiones conicas dcfcribere; qtlL fane motus n>ult6 laciliiis con- 
d{n poteft, qu^m confimilis motus vort^Qum • f<r invicem per- 
meantium. Denique planetas ipfos et cometas circa folem deferri 
ab atmofphaeris fuis credendum effe ftatuat, et ob repertas jtnotuum 
coeleftitim caulas triumphum agat. Quifquis 9u^^ hanc fabulam 
rejickndam effe putet, idem et alteram fabulam cejlciet : nam ovum 
^tiofiicft ovo fiooilius, quam hypothisfis atmofpha^^m hypothefi 
▼orticum* ^' , 

Summa rei buc tandem redit : cometarum ingens eft numerus ; 
motus eorum-funt fumme regulares, et eafdem leges qxixn planetar- 
rum motibus obfervant. M oventur in orbibus cooicis/ hi orbes 
funt vald^ admodum eccentrici. Feruntur undique in omnes cob- 
• idrum pa^es, et planetarum regiones liberrime pertranfeunt, et 
iaepe contra fignorum ordinem incedunt* Hasc phapnomena cer- 



fer«^ dfliiii^ coofinDKUitiir ex ohferrado^ 

CCS i m yjriint cxplkari. Imo, ne quidem cum vorddbus pUmetm- 
mm confiilcrc pofibnt. Cometanim motibus ommno kcos noil 
crit; nifi materia ilia fiditia penitus e aclis amoveatur. 

Si enim planetas circum fblem a vorddbus devcfauntor; vorti« 
com partes, quae proximo amlnunt unumquemqoe planetam, ejul^ 
dem denfitatis erunt ac planeta; ud fupra difhim eft. Itaqoe 
materia ilia omnis quae condgua eft orbis magni perimetro, parem 
habebit ac tellus denfitatem : quae ver5 jacet intra orbem magnum 
atque orbem Satumi, vel parem vel majorem habdnt. Nam ut 
conftitudo vordds permanere poffit, debent partes minus deniae 
centrum occupare, magis denlie longius a centro abire. Cum enim 
planetarum tempora periodica fint in radcme iefquiplicata diftan- 
darum a fole, oportet pardum vordds periodos eandem rationem 
iervare. Inde vero fequitur, vires centrifiigas harum partium 
fore redproc^ ut quadrata diftandarum. Qjiae igitur majore in* 
tenrallo diftant ^ centro, nituntur ab eodem recedere mtnore vi : 
unde ft minus deniae fuerint, neceile eft ut cedent vi majori, qua 
partes centro propiores afcendere conantur. Afcendent ei^go den* 
fiores, defcendent minus denfa?, et locorum fiet invicem permu* 
tatio ; donee ita fuerit difpofita atque ordinata materia fluida todus 
vorticis, ut conquieicere jam poffit in aequilibrio conftituta. Si 
bina ftuida, quorum diveria eft denfitas, in eodem va(^ contin^i- 
tur ; utique Aiturum eft ut fiuidum, cujus major eft denfitas, ma- 
jore vi gravitads infimum petat locum : et radone non al^mili 
omnino diccndum eft, denfiores vordds partes majore vi centrifiiga 
petere fupremum locum. Tota i^tur ilia et mult6 maxima pars 
vorticis, quae jacet extra telluris orbem, denfitatem habebit atque 
^idcb vim inertix pro mole materiae, quae non minor erit quam 
denfitas et vis inerdae telluris : inde vero comeds traje^tis orietur 
ingens re(iftentiat et valde admodum fenfibilis; ne dicam, que 
motum eorundcm penitus fiftere atque abforbere pofie merito vi- 
deatur. Conftat autem ex motu cometanim prorsus regulari, 
nullam jp(bs refiftentiam pad quae vel minimum fentiri poteft; 



atque adeo neutiquam in materiam ullam incurfare, cujus aliqua Sbctio 
fit vis refiftendi, vel proinde cujus aliqua fit denfitas feu vis Tbrtia. 
inertias. Nam refiftentia itiedionim oritur vel ab inertia materiae 
iBiuidas> vel a defe£^u lubricitatis. Quae oritur a defe6lu lubricitar 
lis, admodum exigua efi: ) et fane vix obfervari poteft in fluidis 
vulgb notis, nifi valde tenacia fuerint ad infiiar olei et mellis. Rer 
fiftentia quas fentitur in aere, aqua> hydrargyro, et hujufmodi flui- 
dis non tenacibus fer8 tota eft prioris generis ; et minui non poteft 
per ulteriorem quemcunque gradum fiibtilitatis, manente. fluidi 
denfitate vel vi inertias, cui femper proportionalis efl base refiftentia. 
Corpora progrediendo motum fuum fluido ambienti paulatim 
communicant, et communicando amittunt, amittendo autem re- 
tardantur. Eft itaque retardatio motoi commumcato proportion 
nalis ; motus vero communicatusi ubi datur corporis progredien^ 
tis velocitas, eft ut fluidi denfitas i ergo retardatio feu refiftentia 
erit ut eadem fluidi denfitas i neque \illo pa£lo tolli poteft^ nifi a 
fluido ad partes corporis pofticas recurrente refiituatur motus a- 
mifliis. Hoc autem dici non poterit, nifi imprefiio fluidi in corpus 
ad partes pofticas a^ualis fuerit impreflioni corporis in fluidiun ad 
partes anticas, hoc eft, nifi velocitas relativa qua fluidum irruit in 
corpus ^ tergo, asqualis fuerit velocitati qua corpus irruit in fluidum^ 
id eft, nifi velocitas abfoluta fluidi recurrentis duplo major fuerit 
quam velocitas abfoluta fluidi propulfi ; quod fieri nequit. Nullo 
igitur modo tolli poteft fluidorum refiftentia, quae oritur ab eorun-* 
dem denfitate et vi inertiae. Itaque concludenduin erit ; fluidi 
ccsleftis nuUam efle vim inertise, cum nulla fit vis refiftendi : nul« 
km efle vim qua motus communicetur, cum nulla fit vis inertias : 
nuUam efle vim qua mutatio quaelibet vel corporibus fingulis vel 
phiribus inducatur, c^m nulla fit vis qui motus comtiiunicetur j 
nullam efle omnino eflicaciam, cum nulla fit f Acuhas ^mutationem 
quamlibet inducendi. Quidni ergo banc hypodiefin, quae funda« 
mento plane deftituitur, quaeque naturas rerum expUcandae ne 
minimiim quidem infervit, ineptifiimam vocare liceat et philofopho 
prorsus indignam. Qui coelos materii floid^ repletos dfe volunt^ 



SiCTio hanc vero non inertem effe ftatuunt : hi verbis toUunt vacuum, re 
ponunt. Nam cum hujufmodi materia fluida ratione nulla fecerai 
poflit ab inani fpatio ; difputatio tota fit de reram nominibus, non 
de naturis. Qucxl fi aliqui fint adeo ufque dediti materiae, ut 
fpatium a corporibus vacuum nullo pafto admittendum credere 
velint ; videamus quo tandem oporteat illos pci-venire. 

Vel enim dicent hanc, quam confingunt, mundi per omnia pleni 
conftitutionem ex voluntate Dei profeftam effe, propter eum finem, 
ut operationibus naturae fubfidium prefens haberi poflet ab aethert 
fubtiliilimo cundla permeante et implente ; quod tamen dici non 
poteft, fiquidem jam oftenfum eft ex cometarum phasnomenis, 
nullam efle hujus aetheris efficaciam: vel dicent ex voluntate Dei 
profeflam effe, propter finem aliquem ignotum ; quod neque dici 
debet, fiquidem diverfa mimdi conftitutio eodem argumento pari* 
ter ftabiliri poffet : vel dehique non dicent ex voluntate Dei pro- 
feftam effe, fed ex neceffitatc quadam naturae. Tandem igitur de- 
iabi oportet in faeces fordidas gregis impuriffimi. Hi funt qut 
fomniant fato univerfa regi, non providentia ; materiam ex necefli- 
tate fua femper et ubique extitiffe, infinitam effe et aetemam. Qui- 
bus pofitis ; erit etiam undiquaque uniformis : nam varietas for- 
marum cum neceffitate omnino pugnat. Erit etiam immota : nam 
fi neceffarib moveatur in plagam aliquam determinatam cum de« 
terminata aliqua velocitate ; pari necefCtate movebitur in plagam 
diverfam cum diverfa velocitate, in plagas autem diverfas, cum di* 
verfis velocitatibus, moveri non poteft ; oportet igitur immotam 
effe. Neutiquam profefto potuit oriri mundus, pulcherrima for- 
marum et motuum varietate diftin£his, nili ex Uberrima voluntate 
cun£la providentis et gubemantis Dei. 

Ex hoc igitur fonte promanarunt illae omnes quae dicuntur natu- 
rae leges : in quibus multa fane fapientiflimi confilii, nulla neceilh- 
tatis apparent veftigia. Has proinde non ab incertis conje^hiris 
petere, fed obfervando atque experiendo addifcere debemus. Qui 
vere phyficae principia legefque rerum, fola mentis vi et intemo 
rationis lumine fretum, invenire fe poffe confidit s hunc oportet 

2 vel 



vel ftatuere mundum ex neceflitate fuiffe, Icgefque propofitas ex Sectio 
eadem neceflitate fequi; vel fi per voluntatem Dei conftitutus fit Tr^nA. 
ordo naturae,, fe tamen, homuncionem mifellum, quod optimum 
faftu fit perfpeftum habere. Sana omnis et vera Philofi^phia fun* 
datur in phaenomenis rerum : quae fi nos vel invitos et relu6lantes 
ad hujufmodi principia deducunt, in quibus clarifllme cernuntur 
confilium optimum et dominium fummum fapientiflimi et poten- 
tifiimi Entis ; non erunt haec ideo non admittenda principia, quod 
quibufdam forfan hominibus minus grata funt futura. His vel 
miracula vel qualitates occultae dicantur, quae difplicent : verum 
npmina malitiose indita non funt ipfis rebus vitio vertenda ; nifi 
illud fateri tandem velint, utique debere philofophiam in atheifmo 
fundari. Horum hominum gratia non erit labefa£landa philofo- 
phia, fiquidem rerum ordo non vult immutari. 

Obtinebit igitur apud probos et aequos judices praeflantifiima 
philofophandi ratio, quae fundatur in expcrimentis et obfervationi- 
bus. Huic vero, dici vix poterit, quanta lux accedat, quanta 
dignitas, ab hoc opere praeclaro illuftriffimi noftri audloris ; cujus 
eximiam ingenii felicitatem, diflicillima quaeque problemata eno- 
dantis, et ad ea porro pertingentis ad quae nee fpes erat humanam 

mentem aflfurgere potuifife, merito admirantur et fufpiciunt quicun- 
que paulo profundius in hifce rebus verfati funt. Clauftris ergo 

referatis, aditum nobis aperuit ad pukhprrima rerum myfteria. 
Syftematis mundani compagem elegantifllmam ita tandem patefe- 
cit et penitiiis perfpedlandam dcdit; ut nee ipfe, fi nunc revivi fee- 
ret, rex Alphonfus vel fimplicitatem vel harmoniae gratiam in ea de- 
fideraret. Itaque naturae majeftatem propius jam licet intueri, et 
dulcifllmacontemplationefrui, Conditorem vero ac Dominum uni- 
verforum impenfiiis colere et venerari, qui fruflus eft philofophiae 
multo uberrimus. Caecum efle oportet, qui ex optimis et fapi- 
entiflinxis rerum ftrufturis non ftatim videat Fabricatoris omnipo- 
tentis infinitam fapientiam et bonitatem : infanum, qui profiteri 





Revo hat ur corpus in ellipji: requiritur lex vis eentripet(e 

tendentis ad umbilicum ellipfeos. 

Ta». VI, Efto ellipfis umbilicus 5. Agatur SP fecans ellipfeos turn dia- 
*°' ^ ' mctram D iC in £, turn ordinatim applicatam ^ in x, et com- 
pleatur parallelogrammum ^PR. Patet EP aequalem cfle fe- 
miaxi majori A C, co quod, afta ab altero ellipfeos umbilico H 
linea HI ipfi E C parallela, ob aequales CSj C H aequentur E 5^ 
Ely adeo ut fiP fcmifumma fit ipfaruih PS^PI, id eft (ob pa- 
rallelas H/, PRj et angulos acquales IPR^ HPZ) ipfarum PSy^ 
PHj quae conjunftim axcm totum 2j4C adaequant [*]^ Ad SP 
demittatur peq)endicularis ^7V ct ellipfeos latere refto principali 

(feu i^^^) difto i, erit ix^^ 

eft, ut PE feu AC ad PCi ct L%Pv ad GvP ut L ad Gv,* et 
G i;P ad ^ quad, ut PC quad, ad CD quad, et (per corol. 2. lem^ 
VII.) ^ y«^j^. ad §lx quad. pun£lis ^et P coeuntibus eft ratia 
aequalitatis ; et S^jc quad, feu ^ quad, eft ad ^quad. ut EPquad. ad 
PFquad. id eft ut C^ jri^^i. ad PFquad. five { ut CD y//^/^. ad CB 
quad. Et conjunftis his omnibus rationibus> ["] £x^/2 fit ad 
^quad. utACxLy^PCqxCDq feu aCBqxPCqxCDq ad PCx 
GvxCDqy^ CBq, five ut 2PC ad Gt;- Sed punftis ^etP coeuntibus 
aquantur 2P C et G v. Ergo et his proportionalia L x ^R et ^Tquad. 


[t] 74. Eft El=i SI, IPzz ^ ' ^'^/^ y unde EI+IPzJ^±^-Aa 

[*] 75* Conjungantur Rationes Ly.^R 


tt&tLx^R:^* i: JC^LxPC:GvxCB*::2BC*xPC:GvxCB*^ 

: : 2 PC: Gv. 

* Ham. Con. Seft. L. I. P. xxxi. Cor. i. J Ham. L. IV. P. i. 

LxPv : ijiC :PC 
GvxPv : : L : Gv 
^* : : PC* : CD* 
^r* : : CD* : CB* 


aquantur. Ducantur haec aequalia in -—^^ et fiet Lx^SPq aequale Tert*! 

y P ^' Ergo (per coroL i. et 5. prop, v.) vis centxipeta red- 

proce eft ut Ly^SPq^ id eft, reciproce in ratione duplicata 
diftantiae SP. Q^.l. 

Idem aliter. 

Cum vis ad centrum ellipfeos tendens, qua corpus P in ellipfi 
ilia revolvi poteft, fit (per corol. !• propu ix.) ut €P diftantia 
•corporis ab ellipfeos centro C; ducatur CE parallela ellipfeos tan- 
^enti PjR; et vis, qua corpus idem P circum aliud quodvis ellip- 
feos punfhim S revolvi poteft, fi CE et PS concurrant in £, erit 

P E ctih 

Ut -™ — .* (per coroU 3. propu vi. [''j:) hoc eft, fi pun6him S 
fit umbilicus ellipfeos, ideoque PE detur, ut SPq reciproce. 

Eadem brevitate, qua traduximus problema quartum ad para- 
bolam, et hyperbolam, liceret idem hie facere: verum ob digni- 
tatem problematis, et ufum ejus in fequentibus non pigebit cafus 
<:aeteros demonftratione confirmare. 


[^ 76. Nam fi vires abiblutas In centris C ct S taks efle fupponantur, ut 
tempora periodica circa haac centra aequalia fint, erit (per prop. vi. cor. g.) 
vis tendens ad centrum C, vel C P, ad vim tendcntem ad fbcum S^ ut 
X^P%SP\ ad cubum lineas duds \ centro C ad tangentem, parallelas di- 
ftantiae SP^ fecuhdo centro virium 5, quae linea aequalis eft P £ : unde 

ms tendens ad focum eft "^^cT^TJP *^5P^* 

77. Lem. ChcHda curvaturae PF quae per focum -dlipfcos tranfit Tab. VI. 
«quaEseft-^^. Nam fit PO diameter curvaturae, ob fimilia triangula 

PEP, PVO, erit PE.PF ::P0 (vt\ L^\ py=^y^. 

78. Prop. xiii. Aliter. lifdem pofitis, demittatur ST perpendicukris a 
foco S in tangentem, et ob fimilia triangula SPT^ EPF^ cft ST : SP :i 

PF-.PE. ideoq«sr. = i£^4|^. mxi'/'=*£li^fi£e.*, 

K 2 unde. 




Mcveatur corpus in hyperbola : requiritur lex w centripet^e 

tendentis ad umbilicum Jigur^e. 

Tab.vl Sunto C^, CB femiaxes hyperbolae; PG^ KD diamctri aliJt 
^•«-55- conjugatac; PF perpendiculum ad diametnim KDi ttS^p ordi- 
nadm applicata ad diametnim GP. Agatur SP fccans cum dia- 
metrum DKm E^ tum ordinatim applicatam ^k: inx, ct com* 
pleatur parallelogrammum ^RPx. Patet EP aequalcm cfle fe- 
miaxi tranA^erfo ACy eo quod, a^ ab altero hyperboix wnbilico 
H linea HI ipfi £ C parallela, ob aequales CS^ CH aequcntor £ 5, 
£/; adeo ut EP femidifferentia fit ipfanim P5, P I^ id eft (ob 
parallclas //f, PR ct angulos aequales IPR^ HPZ) ipfanim PS^ 
P Hy quanim differentia axem totum 2AC adxquat. Ad SP de- 
mittatur perpendiculaiis ^T. £t hyperboix latere redo prind- 

pali (feu ^-j^)diaoJ:,critJ:x^UadjLxPt;ut^RadPv,feu 

Px ad Pv, id eft (ob fimilia triangulaPxc,P£ C) utP£ad PC, feu 
-rfCad PC. Erit etiam ixP^ ad GvxPvutXr ad Gr J et (exna- 
tura conicomm) refiangulum G r P ad ^ juaJ. ut PCqzA CDqi 
et (per corol. 2. lem. vii.) ^ quad, ad ^x quad, punctis i^et P 
coeuntibus fit ratio xqualitatis ; et ^x quad, feu ^ qmd. eft ad 
^q ut EPq ad P Py, id eft, ut CAq ad PFq^ fiveut CDq ad 
CBq: et conjunftis his omnibus rationibus Xx^JSfit ad ^r^ 
ut ACy^LxPCqxCDqy feu 2CBqxPCqxCDq zdPCxGv 
xCDqy^CBqy five ut 2 PC ad G^^. Sed punftis P et ^coeunti- 

unde,(^ dau 2 C2)*xPP% ctP£3, eft vb centripeta rcoproce mSPK 

L79] ^^ accurariflimis Tychoois Brahcx oblcrvadonibus invcnit Kcpkrus, 
plaoecas non in orbitis drcularibus, led ellipdcis dcferri, folemque in cUipfeos 
ibcorum akenitro verlari : et cz hkr propoodone conicquinir cos igitur red- 
neri in <Hinds fuis viribus centripeds, quae in inverla duplicau latioQe di- 
fiandirum a bUt varianiur. 


bus aequantur zPC ttGv. Ergo et his proportionalia X» x ^ 2? Sectio 
ct ^q aequantur. Ducantur haec aequalia in -^-^, et fiet LxSPq 

^quale — ^^^ ^ . Ergo (per corol. 5. prop, v.) vis cen- 

tripeta reciproce eft ut LxSPq^ id eft, reciproce in ratione dupli- 
cata diftantiae SP. QJE. I. 

Idem aliter. 

Inveniatur vis, quae tendit ab hyperbolae centro C. Prodibit 
haec diftantiae CP proportionalis. Inde vero (per corol. 3. prop, 

VT.) vis adumbilicum S tendens erit ut -— - — ^, hoc eft, ob 

S P q 

datam PE reciproce xxtSPq. QJE. I. 

Eodem modo demonftratur, quod corpus hac vi centripeta in 
repullivam verfa movebitur in hyperbola oppolita. 


Perpendiculumi quod ab umbilico parabolte ad tangentem 
ejus demittitur^ medium eft proportionate inter dijiantias 
umbilici a punEio contaSius et a vertice principali figurtB. 

Sit enim AP parabola, S umbilicus ejus, A vertex principa- 
lis, P pun6lum contadhis, PO ordinatim applicata ad diametrum p^oj}?* 
principalem, P M tangens diametro principali occurrens in Af, et 
5iV linea perpendicularis ab umbilico in tangentem. Jungatur 
AN et ob aequales MS et SP [y], MN, et iVP, MA et AO pa- 
rallelae erunt reftae^iVet 0P\ etinde triangulum 5-^iVreftan- 
gulum erit ad /f, et fimile triangulis aequalibus SNM^ SNP: 
ergo P 5 eft ad SNut SN ad SA. (X^E. D. 


[y] 80. Sumatur y^^ipfi-/f ^aequalis, ct ducatur linea ^R pcrpendicularis Tab. VI. 
ctPR parallela ipfi MO^ ob A^tt JSy MA ti AO [Ham. L. I. P. xLVii.] Fic. 54.* 
sequales, aequantur etiam MS^ ^0 5 ob ^O vcro aequalcm P -R vcl 5 P, un- 
dem aequales erunt MS^ SP. 


SiCTio Corel I. PSq^HzdSNq \xtPS2dSJ. 

Tf ETiA. Corel. 2, Et ob datam SA eft SNq ut P 5- 

Corol. 3. Et concurfus tangentis cujufvis P Maim rcfta 5iy, 
qua? ab umbilico in ipfatn perpendicularis eft, incidit in refiani 
AN^ quae parabolam tangit in verticc principal!. 


Moveatur corpus in perimetro parabohe : requiritur lex vis 
centripeta tendentis ad umbilicum bujus jigum. 

Ta». vl Maneat conftruftio lemmatis^ fitque P coqnis in perimetro pa- 

'^* '*' rabolae, et a loco ^, in quem corpus proxime movctur, age ipfi 

SP parallelam ^R et perpendicularem ^T, necnon ^ tangenti 

parallelam, et occurrentem turn diametro PGxxvv^ turn diftantias 

^P in X. Jam ob fimilia triangula P x ^;, SPM^ etaequaliau- 
nius latera SM^ SP, aequalia funt altenus latent Px (eu ^R et 
P V. Sed ex conicis quadratum ordinatas ^ xc^udlc eft rc^an« 
gulo ftib latere redlo et fegmento diametri Pv J, id eft reflangulo 
^PSxPvy feu 4P5x^jK; et punftis P et ^coeuntibus, ratio 

^v ad ^x (per corol. 2. lem. vii.) fit ratio aequalitatis. Ergo 

^ quad, eo in cafu a^uale eft re£Ungulo ^PSx^R. Eft autem 

(ob fimilia triangula ^"t, SPN) ^xq ad ^q ut PSq ad SNq^ 

hoc eft (per corol. 1. lem. xii.) ut PS adSA, id eft, ut 4. PS 

^^R ad 4 SAx^Jiy et inde (per prop« ix. lib. v. dem.) ^^q et 

4SAx^R aequantur. Ducantur haec aequalia in -— ^t et fiet 

— i^^—l^vLzltSPqx^SA: etpropterea (per coroL i. et 5. 

prop. V.) vis centripeta eft reciproce ut SPqx^SA, id eft, ob 
datam 4, SA reciproce in duplicata ratione diftantiac SP. 
QJE. I. [•]. 

TA..VI. ^^• 

Fig. 52. C'l ^^* Lem. In omni feftione conica eft radius drculi cuFvaturae Pr 

Lye S P 3 
aqualis -jjjrj-. Eftenim in dlipfi CD%PF^€JxCB [Hamilton 

X HamU Coa. Se&. L. U. P. i. 

L". IV. 



Corol. I. Ex tribus novlflimis propofitionibus confequens eft, Sbctxo 
quod fi corpus quodvis P fecundum lineam quamvis reftam P R **'*''^' 
quacunque cum velocitate exeat de loco P, et vi centripeta, quae 
lit reciproce proportionalis quadrato diftantiae locorum a centro, 
fimul agitetur; movebitur hoc corpus in aliqua feftionum conica- 
rum umbilicum habente in centro virium > et contra. Nam datis 
nmbilico, et punfto contaftus, et pofitione tangentis, defcribi 
poteft feftio conica, quae curvaturam datam ad punftum illud 
habebit. Datur autem curvatura ex data vi centripeta, et veloci- 
tate corporis : et orbes duo fe mutuo tangentes eadem vi centri- 
peta eademque velocitate defcribi non poffunt [•]. 


L. IV. P. I.] unde CD^zn — yj=z — » ^^ -p^ [^^1 ^^] = /Tpi— » <* 

fimilia autem triangula PFE, SPT, PF : PE:: STiSP, et PPsz=i 

' gp^ ^ V^^ fubftituto, P^^ pE^si'^ ^ P^^ PE ^^^^ z^^^^= 

L%SF^ Eodcm mode dcmonftratur kmma in hyperbola. Crefccntc fi> 

conun diftantia in infinitum, abeat figura ellipdca in parabolam, manet 

o £x5P3 
Pr ni • 


82. Exinde prop. xiii. xiv. xv; breviter et generatim demonftrari po£^ 
font Nam eft vis ccntnpeta ut --—: =r— =: — -— — ^ ^ — 

? , hoc eft ob datum - ut -—^^ 

Lx^T^ L SP'' 

83. Ex calculo a clarifiimo Halleio inito, et quam plurimis obfervationi- 
bus aftronomicis comprobato> conftat cometas moveri circa folem in orbitis 
parabolicis, vet dlipticis excentricis ad formam parabolarum quam proxime 
accedentibus : et ex propontionibus noviflimis confequitur, vires quibus rcti- 
nentur in orbitis fuis variari in inversa duplicata ratione diftantiarum a ibie. 

[»] 84. Ob datas velocitatcm in pundko P, pofiuoncm tangentis P JT, et Tab.VI. 

vis centripctae quantitatem abfolutam, dantur ^T et ^-R, ideoque ^-_,ccu ^■^' 5^' 

l^tus Tcftum, Sumatur P E aequalis dimidio lateris refti •, ct ex punftis P 
ct E erigantur P If, £ J? perpendiculares ipfis P T^ P«S, quae occurrant in Jf ; 
crit punfhim K in axe feftionis, (Ham. feft. con. L. ii. P. xxvii.) et pro- 
inde linea S K pofitio axis : ducatur jam P F» iu ut angulus FPy fit squa- 




Si corpora plura revohantur circa centrum commune^ et vis 
antripcta Jit reciproca in dupUcata ratiom diJlantiiB loco- 
rum a centra ; dico quod orbium later a re&a principalia 

. funt in duplicata ratione arearum^ quas corpora radiis 
ad centrum duel is eodem tempore defcribunt. 

Nam (per prop. xiii. xiv. xv.) latus rechim L xquale eft 
Fio, 57. ' quantitati ^^-^, quae ultimo fit, ubi coeunt puncla P ct ^ Scd 

linea minima ^ R dato tempore, eft ut vis centripeta gencrans, hoc 

lis angulo SP T\ linea S K utrioque produda vcl occurret lineac PF in loco 
quodam P\ vcl huic lincac parallcla crit, vcl ci occurret ad alteram panem 
pundi S : in primo cafu orbita ellipGs ell, cujus fod tunc S et Fi in iecundo, 
parabola ; in tertio hyperbola : hi vcro orbica?, focis, axis poHcione, ct la- 
tere n:6ko princtpali datis, delcribt poflbnt. Patet corpus qiKxlvis in orbitis 
hoc nrxxlo conirrudis moveri pof&, fi vis centripeta fit reciproce ut quadra- 
turn diftantia? : et patet corpus hoc nullam aliam orbitam dcfcribere pofie, ex 
eadem ratiodnandi methodo^qua ufi fumus in nou (61.) ad hunc cafum appii- 
Tab. Vf. g j^ Prob. Exeat corpus aliquod dc loco dato P data cum velocitate fecun- 
'^'' dum datam politione reftam PTj et fimul urgeatur a vi centripeta tendente 
^ centrum datum Sj quae in kx:o quidem P innotefcat, aliis vero in locis fit 
reciproce ut quadrau diftantiarum ab hoc centro. Quaeritur fedbo conica 
quam motu fuo dcfcripturum eft hoc corpus. Cum tangat refta ZP7*figu- 
nun quasfitam in loco P, et cum detur pofidone refta SP per umbilicorum 
alterum 5 tf'anfiens, dabitur pofitione xe&zPHj qua; per alterum figuras 
umbiUcum H tranfibit, et cujus inventa longitudo folvet problema. 

Sit igitur a zdbut data velocitas in orbita, ad velocitatem qua circulus 
ddcribitur in eadem diftantia, quae etiam dabitur ex datis vi et diftantia : at- 
que his quidem datis dabitur et forma et pofitione trajeftoria quasfita : erit 
enim 2 bb^aa : aa : : SP : PHj inter quas femiaxis tranfverfus medius eft a- 
rithmeticus ; ct fi in tangentem Z P 2" demittantur perpendiculares ST^ HZ^ 
exit etiam ibb^aa : aa : : S T : HZj inter quas femiaxis conjugatus me- 
dius eft gcometricuf . Dem. Efto enim umbilicus alter //, quaecunque un- 
dtm fuerit longitudo P//; et cum fe&iones omnes conicae ad ellipfin referri 
poffunt, ponamus fedionem quasfitam ellipdcam eflie; et quadratum iemi- 

ajcis conjugati xqualc erit et redangulo SP + PH x -f et rcdangulo S T 



eft (per hypothefin) reciprcKe ut SPq. Ergo ^^-^ eft ut ^Tq TirtII 

xSPq, hoc eft, latus re6him Lin duplicata ratione areas ^TxjSP. 
(^E. D. 

CoroL Hinc ellipfeos area tota, eique proportionale reftangulum 
fub axibus eft in ratione compofita ex fubduplicata ratione lateris 
refti, et ratione temporis periodici. Namque area tota eft ut area 
^Tx S Pj qu3B dato tempore defcribitur, dufla in tempus periodi- 


Ttfdem pofitis^ dtco quod tempora periodica in ellipjibus funt 

in ratione fefquiplicata majorum axium. 

Namque axis minor eft medius proportionalis inter axem majo* 
rem et latus redlum, atque ideo redlangulum fub axibus eft in ra- 

X HZ (Ham. L.H. P.xxL) crgoSP + P/Zx - = SrxHZ: fed ob fi^ 
milia triangula SPT, HPZ, erit HZ = Srx ~^, et ST^HZzz ST^ x 
j~ i quare eft 5P + Pif X - = 5r» X ^i quare SP + PHy. j^- 

^ Scd velocitas in omni orbita ad altitudinem quamvis SP eft in fub- 


duplicata ratione "^ ^^^ — (i8), ct in conica feftione L = ^^'^ ^^ P^^- 

terea ^R dato tempore eft ut ^^, unde fit L proportionale ^T^ x 5Ps 
quo fubftituto eft velocitas in conica feftione recijwoce in fubduplicata ratione 

longitudinis -=-, vel ^-= — : ergo eadem velocitas eft etiam reciproce in fub- 


duplicata ratione longitudinis SP + PH x ^-^ Ergo velocitas corporis in 

circulo revolventis ad altitudinem primam 5 P eft ad velocitatem corporis c 

^ p 

loco fuo primoP exeuntis, in fubduplicata ratione SP + PH x p-^ad 



sicTio tione compofita ex fubduplicata radone lateris re£ti et fefquipU- 

Tftl.Ti A. 

cata radone axis majoris. Sed hoc reflangulum (per coroL prop. 
X \' I.) eft in radone compofita ex fubduplicata radone lateris nGd 
et ratione periodici tcmporis* Dematur utrobique fubduplicata 
rado lateris recti, et manebit fefquiplicata rado majoris axis ea« 
dem cum ratione periodici temporis. QJ£. D. (^), 


s p 

SP + SP X ^, vd in fubduplicata radone SP + PH zdiPH. Eft 

ergo ^» ad j* ut SP + PH ad 2P//; 2i» ad ii* ut 2SP + iPHad 
2PH\ vel ut SP + PH ad Pfl, et dividendo 2**— ^i* ad^i* ut 5P ad 
P // vel ut 5 r ad HZ. Q^E. D. 

86. Car. i. Orbita defcripta ellipfis erit, vel parabola, vel hyperbola, prouc 
quantitas a * minor foerit, vel acqualis, vel major quam 2 ^ *. 

• 4. S T^ 

87. Cor. 2. Si parabola fit, crit bujuslatus reftum p - per Lem. xii. 

et etiam ex folutione hujus problematis ; et axis per S tranfiens erit reda ipli 
PH parallcla. 

88. Cor. 3. Si ellipfis fit vel hyperbola, erit ellipfeos femiaxis 5P x — ^^ ^ 

et femiaxis hyperbolae 5 P x — —. Porro femiaxis conjugatus in cafu 

priore crit 5 2" x j — f , in pofteriorc SY % J f . 

89. C^r. 4. Itaque fi detur velocitas, et vis centripeta ad aldtudinem quam* 
vis SPy idem erit axis tranfverfus quicunque fiierit angulus SPjTzd eandem 
altitudinem; et axis conjugatus erit ut finus anguli iftius SPT. 

^ 90. Contra, pofito quod tempera periodica in ellipfibus diverfis circa centrum 
idem defcriptis varientur in ratione lefquiplicati mediocrium dillantiarum^ 
erunt vires in mediis illis diftantiis ut difiantiarum quadrata inverse. Sit enim 
y! femiaxis major, M femiaxis minor, et P tempus periodicum, erit ex hypo- 
thefi P ut j4i ; quoniam vero tempora periodica funt in ratione arearum toca« 
rum direde, et arearum datis temporibus delcriptarum inverse, erit in ellipfi 

Pvelyf4ut^A^,unde eft ^rx5P ut^, vel ^r»x5P*ut^, 

qua eft ut L, vel ut ^^-j^i unde eft ^, vel ci proportionalis vis centripeta, 

inverse ut diftantias mediocris quadratum. 

91. Hinc fcquitur, conce&a rationum harmonic quam invenit Keplerus in- 
ter temporum pcriodicorum quadrau ct mediarum diftantianim cubos, quod 




Corol. Sunt igitur tempora periodica in ellipfibus eadem ac in skctio 
circulis, quorum diametii aequantur majoribus axibus ellipfeon. Tertia- 


lifdem poptis^ et aSiis ad corpora lineis reSiisy quce ibidem 
tangant orbitas^ demiJIifque ab umbilico communi ad has 
tangent es perpendicularibus : dico quod velocitates cor- 
porum funt in ratione compofita ex ratione perpendiculo- 
rum inverfe^ et fubduplicata ratione laterum re&orum 
principalium direSie. 

Ab umbilico S ad tangentem PR dcmitte pcrpendiculum ST^ Tab. vii. 
et velocitas corporis P erit reciproce in fubduplicata ratione quan- ^'^- 57- 

titatis —Jl. Nam velocitas ilia eft ut arcus quam minimus P ^ 

in data tcmporis particula defcriptus, hoc eft (per lem. vii.) ut 
tangens PR^ id eft, ob proportionales PR ad ^ et SP ad STy ut 

?JLl3i, five ut 5 r reciproce ttSPx^ direfte j eftque SPx^ 


ut area dato tempore delcripta, id eft (per prop, xvi.) in fubdu- 
plicata ratione lateris refli. Q^E. D. J 

CoroL 1. Latera re6la principalia funt in ratione compofita ex 
duplicata ratione perpendicidorum, et duplicata ratione velocita- 

CoroL 2. Velodtates corporum, in maximis et minimis ab um- 
bilico communi diftantiis^ funt in ratione compofita ex ratione 


vires acceleratrices, quibus planetac omnes primarii in folem urgentur, funt 
inter le inverse ut mediarum illarum diftantiarum quadrata. 

92. Hinc edam, fi ex obfervationibus aftronomicis diametri orbitarum quas 
cometae defcribunt, accurate determinari poflint, tempora reditiis definire Bce- 
rct ; et vice vcrsi, tcmporibus rcvoludonum conceflis, axes illorum majores, 
maximxque a fole vel tellure excurrendum diftantis, calculo fimpliciilimo in- 
veniri pofiunt. 

X Patct etiam e demonftratione problemads (85). 



Sectio diftantiarum inverfe, et fubduplicata ratione laterum reftoram 
'*^*^ principalium direfte. Nam perpendicula jam funt ipfe diftantiac. 

Corol. 3. Idcoque velocitas in conica feftione, in maxima vel 
minima ab umbilico diftantia, eft ad velocitatem in circulo in ea- 
dem a centre diftantia in fubduplicata ratione lateris redli princi- 
palis ad duplam illam diftantiam. 

Corol. 4« Corporum in ellipfibus gyrantium velocitates in medio- 
cribus diftantiis ab umbilico communi funt exdem, quas corpo- 
rum gyrantium in circulis ad eafdcm diftantias ; hoc eft (per corol. 
6. prop. IV,) reciproce in fubduplicata ratione diftantiarum. Nam 
perpendicula jam funt femi-axes minores, et hi funt ut mediae 
proportionales inter diftantias et latera refia. Componatur haec 
ratio inverfe cum fubduplicata ratione laterum reftorum direfte, 
ct fiet ratio fubduplicata diftantiarum inverfe (^). 

Carol. 5. In eadcm figura, vel etiam in figuris diverfis, quarum 
latera refta principalia funt aequalia, velocitas corporis eft recipro- 
ce ut perpendiculum demiffum ab umbilico ad tangentem (*). 

Corol. 6. In parabola velocitas eft reciproce in fubduplicata ra- 
tione diftantiae corporis ab umbilico figuraej in ellipfi magis varia- 
tur, in hyperbola minus quam in hac ratione. Nam (per corol. 2. 
lem. XII.) perpendiculum demiffum ab umbilico ad tangentem 
parabolae eft in fubduplicata ratione diftantiae. In hyperbola per- 
pendiculum minus variatur> in ellipfi magis.:{; 

Corol. 7. 

(«) 03. Patet (per 85). velocitatem in fe(5Uone conica efle femper ad vcloci- 

Tab. VI. tatem in circulo ad eandem diftantiam, in fubduplicata ratione diftantias PH 

5^* ab altero foco, ad femiaxcm majorcm, eft enim a » : i* : : 2 FHiSP + PH 

SP -4- PH ' 

: :PH: — : in media vero diftantia cA PH aequalis femiaxi majori. 

04. Hinc fequitur, (i vires quibus planetae in folcm urgentur fint inverfe ut 
diftantiarum quadrata, quod eorundem velocitates forent in ratione diftantia- 
rum mediocrium fubduplicata inverse^ quod ab aflronomorum obfenrationibus 
comprobatum invenimus. 

(^) 95. Ob motum in cUiptica orbit& confeftum patet tellurem vclocius fcrri 
tempore brumali, quam tempore aeftivo : tempore enim brumali tcllus in pcri- 
hclio vcrfatur, 

j; Ham, Con. Sec. L. 11. P. lucxi. Con II. 



. Corol. 7. In parabola velocitas corporis ad quamvis ab umbilico Sectio 
diftantiam eft ad velocitatem corporis revolventis in circulo ad 
eandem a centro diftantiam in fubduplicata ratione numeri binarii 
ad unitatem ; in eliipfi minor eft, in hyperbola major quam in hac 
ratione. Nam per hujus corollarium fecundum velocitas in ver- 
tice parabolas eft in hac ratione, et per corollaria fexta hujus et 
propofitionis quartae fervatur eadem proportio in omnibus diftan- 
tiis (*). Hinc etiam in parabola velocitas ubique aequalis eft vet- 
locitati corporis revolventis in circulo ad dimidiam dift^antiam, in 
eliipfi minor eft, in hyperbola major (^). 

Corol. 8. Velocitas gyrantis in fedtione quavis conica eft ad ve- 
locitatem gyrantis in circulo in diftantia dimidii lateris redli prin- 
cipalis fe<5lionis, ut diftantia ilia ad perpendiculum ab umbilico ia 
tangentem feftionis demiflum. Patet per corollarium quintum; 

Corol. 9. Unde cum (per Cor.. 6. Prop^ iv.) velocitas gyrantis in' 
hoc circulo fit ad velocitatem gyrantis in circulo quovis alio re- 
ciproce in fiibduplicata re lone diftantiarum ; fiet ex aequo veloci- 
tas gyrantis in conica fedtione ad velocitatem gyrantis in circulo 
in eadem diftantia, ut media proportionalis inter diftantiam 
illam communem et femiffenf principalis lateris redi feflionis, ad 
perpendiculum ab umbilico communi in tangentem ieflionis de- 
inifliim (^). . 

(«) 96, Nam in parabola Pi^ sequafis eft axi majori: in eliipfi fcmper minor 
eft : in hyperbola major. Unde in parabola eft PH ad femiaxeni majorem ut 
2 ad I ; m eliipfi minor, in hyperbola major quam in YAc ratione : et velocitas 
eft ad velocitatem in circulo in ratione hujus lubduplicat^. 

(^) 97- Velocitas in parabola eft ad velocitatem in circulo ad eandem di- 
ftantiam ut v/ 2 ad I, velocitas in hoc circulo eft ad velocitatem in circulo ad 

^midiam diftantiam ut i ad v/ 2, componendo igitur has rationes, velocitas 
in parabola acqualis erit velocitati in circulo ad dimidiam diftantiam : in eliipfi. 
autem minor eft, et in hyperbola major, ex eo quod ratio velocitatis in eliipfi 

ad velocitatem in circulo ad eandem diftantiam minor eft quam v^'2 ad i, in 
hyperbola major. 

(«) 98. Confequitur etiam ex ipfa propofitione : eftenim velocitas in conr- 

ck kdxQtit ad velocitatem io circulo ut ^~ ad ■ /-^» , vel ut } ^ ■ 

01 or V 2. 



Tertxa. ^^^^y hoc eft ut media proportionalis inter — ct SP^ ad perpendiculum 


99. Omnia haec coroUaria fequuntur etiam ex eo, qucki velocitas in omni 
orbita eft ad velocitatem in circulo ad eandem diftantiam in fubduplicata ra- 
tione chords curvaturas per centrum virium tranfeuntis ad duplam dift^uitiam* 

100. In ellipfi velocitas F in pundto quovis P eft ad velocitatem v in media 
diftantia By in fubduplicata ratione PH diftantia: ab altero foco, ad P^ di« 
ftantiam a centro virium. Eft enim F^iv^ :: CB*: ST* iiST^HZ: ST^ 
(Ex Con- Ham. L. u. P. xxi.) i.HZ.STi : HP : SP. 

Tab. VII. 101* Velodtates angulares corporum, in orbitis quibufvis circa centrum 

F 1 0.57. commune revolventium, funt inter fe ut areas datis temporibus defcriptac di- 

refte, tt ut quadrata diftantiarum inverse. Nam fi linea perpendicularis ^X 

adeo parva efle fupponatur, ut pro arcu circuli haberi poffit, erit angulus 

^P ut^^ ; eft autem ^T* direfte ut area trianguli SP^ et inverse ut alti- 
P S 

tudo SPj unde angulus ^SP eft ut area ilia direfte et ut 5P* inverse. 

102. In conicis le6tionibus angulares velocitates funt in fubduplicata ratione 
laterum re£torum principalium diredle, et in duplicata ratione diftantiarum in- 
verse : funt enim latent redbi prindpalia in duplicata ratione arearum dads 
temporibus deicriptarum. 

1 03 . Ex his conlequ untur omnia ilia quas in ieptima fedtione Ne wtonus demon- 
ftravit de corporum afcenfu et defcenfu redkilineo, pofito quod vis centripeta fit re- 
dproce proportionalis quadrato diftantia; a centro virium : Nam eadem omnia, 
quas jam demonftrata lunt de velocitadbus et temporibus periodids in conids 
ledtionibus, obtinebunt, five latitudo orbitac deicriptse major fit, five minor, five 
nulla : et diminuendo latus reftum principale in infinitum, manente axe ma* 
jori, perimeter fedionis cum axe, et foci cum axis vertidbus ultimo coind- 
dunt. Re£ta vero in qua movetur corpus ufurpanda eft pro dlipfi evaneiccn- 
ds latitudinis, fi vdocitas in re£ta im fit ad velocitatem qua circulus defbibi- 

tur ad eandem diftandam in radone minori quam \/T ad 1 ; pro hyperbola 
autem, fi in ratione majori; et pro parabola, fi in ea ipfa radone. 
Tab. VI. ^^4- ^^^ pofitis, vdocitas corporis de loco quovis b verfus centrum 5 rcfta 

Fig. 51. defcendentis, ad altitudinem quamvis SP erit ad velocitatem corporis inter- 
vallo ^Pcirculum defcribentis in fubduplicata radone bPzdi Sh. Nam ve« 
lodtas in conic^ fe£done eft femper ad velodtatem in circulo in fubdupli* 
cata ratione diftandas ab altero foco, ad femiaxem majorem. 

105. Sit bPzz —^ et erit velodtas acquifita cadendo per iP aequalis ve* 

lecitad in circulo, Unde fi corpus illud ad diftandam aequalem — in circulo 

revolvens, furfum projidatur ea cum vdodtate qua circulum deicribit, afceodet 
ad duplam fuam a centro diftandam. 

106. Hinc 


106. Hinc fequitur, quod fi corpus in ellipfi revolvens, furfum projiciatur ea Sectio 
cum vdocitate cjua ellipfm defcribit, afcendct ad diftantiam a centro virium aequa- T* rti a. 
lem axi majori. Nam in media diftantia, in qua velocitas a^qualis eft veloci- 

tati in circiuo, afcendet ad duplam a centro diftantiam ; et per Prop. xii. ad 
eandem Temper altitudinem afcendet, fi a quovis alio pun£to oroitae projiciatur. 
Idem fequitur eCorollario 4to. Prob. C85.)nam fi direftio proje£tionis utcunque 
mutetur manehte Velocitate et vi centripeta ad datam diftantiam, idem erit 
axis tranfverius figure, et axis conjugatus erit ut finus anguli SPT: evaneC- 
ccntc hoc finu, projiciatur corpus redta a centro, et afcendet corpus in perime- 
tro fe^onis conicse evanefcentis cujus axis tranfverfus idem manet ac prius ; 
hoc eft re£ta per quam afcendit corpus ai^qualis eft axi tranfverib feftionis. 

107. Si velocitas proje<5):ionis ea fit qua parabola deicribitur> afcendet cor- 
pus in infinitum, neque unquam redibit. 

108- Si vdocitas projeftionis ea fit, quae fufficerctad defcribendam hyperbo- Tab, VL 
lam, corpus non modo afcendet ad altitudinem infinitam, led et motus fui partem Fig. 53. 
aliquam etiam tum retinebit : et velocitas uldma ad altitudinem infinitam erit 
ad velocitatem in loco quovis P ad finitam altitudinem, ut perpendiculum 
STj demiflum a centro S in tangentem PJT^ ad perpendiculum demiflTum a 
centro S in afymptotum. 

109. Corporis de loco dato b e quiete cadentis tempus totius defcenfus ad 
centrum S dimidium eft temporis periodici corporis in circulo revolventis ad 
diftantiam aequalem i S b. ' Corpus enim, re&z delcendens de loco b ad cen- 
trum Sj defcribit femiperimetrum ellipfeos latitudinis evanefcentis, et tempus 
defoenfus dimidium erit temporis periodici in ellipfi, cujus axis tranfverfus eft 

I ID. Hinc fi orbitas planetarum circulares efle fupponamus, ex datis tem- 
poribus peri.odicis inveniri poflunt tempora, quibus ad centrum motus fui de- 
kx^derent, fi motu omni revolutionis fublato, fola vi centripeta urgerentur. 
Nam tempus periodicum corporis circulum defcribentis ad diftantiam Sb t& 
ad tempus periodicum corporis circulum defcribentis ad diftantiam i Sb'm fef- 
quiplicatft ratione numeri binarii ad unitatem^yel ut 2 1 ad i, vel ut 2 x ^^ 

aid I ; unde eft tempus primum, ad dimidium temporis periodici in circulo ad 
diftantiam ^ Sb^ vd ad tempus re£tilinei defcenfus ufque ad centrum, ut 4 x 

\/'2 ad I. Exempli gratia cum tempus periodicum tcrrae fit dicrum 365, 

^5^5^ ct fit 4 X v/ 2 : I : : 365, 2565 : 64, ^699, tellus noftra (patio dierum 
64, 5699 reda ad folem caderet. £t ex fimili ratiocinio patet quod 

die : hor r 
Mercurius "^ f 15 • ^3 

Venus I I 39 : 17 

Mars > in folem caderet fpatio circiter < 121:11 

Jupiter j \ 7^7 ' 3 

Sacurnus J 1 1900 



8icri9 Flaoctanun drcuinkmalium. 

"T"^'*- die : hor 

Indmos T f o : 7 

Quamis j L ^ : 23 

Plaaecaram circumiaturaion^ 

o : 8 
Secundus I I o : 12 

Tcrtius VinSatumnmcadcret ^)atiodidta:< o : 19 
Quartus [ I 2 : 20 

Quintus J I 14 : 21 

Luna in ternun cadcret fpado cirdtcr 4 : 20 


Ope horum coroUarionim ezplicare ficet alternum aicenfum et deicenfum 
ptanetac in orbita ful Abunde quidem a praecedendbus conftat, corpus juT- 
xSl velocitate projedhun, (imulaue vi centripeta in inverfa duplicad ratione 
diftantis variante agitatum, dcfcribere pofle orbitam ellipdcam fbcum in oen« * 
cro ilk) habentem. Quoniam vero huic motui nihil finiile in corporibus ter- 
reftribus obfervare licet, ob vim prqjedilem prorfus contemnendam Fcipedu 
ad vim gravitatis in lineis parallelis agentem, quas citiffime detrahit corpora 
omnia in vicinio telluris proje6b^ permulti profitentur fe non condpere pofle, 
qua ratione corpus, cum femel ad virium centrum defcendete ccepit, ob eodem 
iterum afcendere poteft. Etenim aiunt, fi defcenfus a vi prsepollenti gravita- 
tis oriatur, qu6d magis rationi et experientise quotidians fbret confentaneum, 
ut propter au6fcam perpetuo vim gravitatis, diftanria diminut^ corpus ad mi* 
nores perpetud diftandas defcenderet, donee tandem ad centrum ipfum appel* 
lat. Hinc fane mirantur planetas, cum femel a fole rccedere coepiflent, ite-^ 
rum quaf] mutato confiiio ad folem reverti : cometafque in rapido fuo ad io- 
lem defcenfu, quando ipfam Iblis fuperficiem tedgiile videntur, quali metu per- 
citos in infinitum abire. 

Huic vero objeftioni facilis eft refponGo. Concedimus nimirum haec omnia 
accidere debere fi corpora hxcce in redds lineis moveantur : contendimus 
autem corpora omnia in gyros afta vi centrifuga gaudere ; et banc vim centri- 
fugam tam celeriter fsepiflime augeri, ut corpora jamjam ad centra ipfa de- 
Tab. VIL iccnfura, quafi repellere potis fit. Ha;c vero paulo accuradus confideranda fiint. 
Fig. 58. Fingamus corpus motu uniformi in linea AP^ quas perpendicularis ducitur 
linex ASj moveri-, defcribatur circulus radio SA^ patet hoc corpus cum ad P 
peryentum eft a centro reccfliflc fpatio RP, Sit linea AP quam minima in 
tenapufculo quodam defcripta, et vis qua corpus recedere conatur in pun&o A 



J , 


reprefentabitur per lineam RP: sequalis huic vi ponatur vis centripeta, et Sectio 
corpus hifce viribus in peripheria circuli femper retinebitur. Patet ob vim Tertia. 
centrifugam vi centripctae aequalem, corpus femper eandem a centro diftan- 
tiam fervare, vel, quod idem eft, circulum defcriberc. 

Vires autem centripetas atque centrifugas, in circulis femper «quales, in ca- 
dem ratione ad diverfas diftantias variari necefle eft ut circuli revera defcriban* 
tur ; hoc eft (per Corol. i. Prop, iv.) in ratione duplicata velocitatis drrcdte, et 
in fimplici ratione radiorum inverfe ; et proinde, datis vi centripeta et diftan- 
tia, inveniri poteft certa ilia et invariabilis velocitas quae neceflaria eft ad cor- 
pus in circulo retinendum (3'4). 

Si velocitas igitur corporis projefti, diftantia cadem manente, minor fit hac 
velocitate circulari, confpicuum eft, corpus arcum arcui circulari interiorenl de- 
fcriberc deberc, hop eft, ad minorem diftantiam defcendere. Si, velccitate et 
vi iifdcm manentibus, augeatur diftantia, ex eo quod haec velocitias minor eft 
velocitate quae requiritur ad corpus in circulo retinendum, corpus iterum ar- 
cum quendam arcui circulari interiorem defcribcret. Eadem mcthodo fequi- 
tur, fi augeretur velocitas, vel minueretur diftantia, vi centripeta eadem ma- 
nente, corpus arcum arcui circulari exteriorem defcribere-, vel quod idem eft, 
a centro recedere. Et proinde ex his concludcre licet, fi vis centrifiiga fit 
aequalis vt centripetae, corpus in linea perpendiculariter du(5ta ad diftantiam 
projedhim, in peripheria circuli femper rctinerij fi major fit, a centro recedere; 
fi minor, ad centrum accedere debere. 

His praemiflis, perpetuam illam ofcillationem corporis inter apfides orbirae 
nuUo fere negotio explicare licet, vel pofito quod motus perficiatur in orbi- 
ta elliptica circa focum fecundum hypothefes in Prop. xiii. ex motUs illius na- 
tura, et ex indole figurae in qua • perficitur motus, luculenter oftendere, hunc 
motum a vi projedUli et vi gravitatis in inverfa duplicata ratione diftantiae va- 
riantis oriri poflc, Fingamus corpus vl projcftili et vi gravitatis agitatum 
circulum defcribere ad diftantiam maximam ellipfis, pofito centro viriuni 
in umbilico figurae,et corpus aliud circa idem virium centrum areas tempori- 
bus proportionales in ellipfi ilia ex quacunque demum caufa defcribere. Aber- 
ratio corporis projefti a tangente eadem fieri poteft quae in eodem tempufculo 
in orbita elliptica conficitur, fi vel augeatur vis gravitatis vel diminuatur vis 
projeftilis. Diminuatur velocitas corporis projefti, donee velocitati corporis 
alterius in vertice figurae ellipticae tandem fiat aequalis ; ob legem gravitatis, 
areafque a corporibus utrifque defcriptas aequales, eadem erit utriufque fcmita, 
(61) eademque velocitatis variatio, Quoniam vero velocitas in orbita elliptica 
crefcit in majori quam inversa fubduplicata ratione diftantiarum ; hoc eft, in 
majori ratione quam variantur velocitates corporum circulos defcribentium ad 
eafdem diftantias : velbcitas corporis projefti perpetuo ad velocitatem corporis 
in circulo appropinquabit ; quandoque femel ad diftantiam a centro a[?qualem 
diftantiae mediae corporis in elliptica orbita revolventis pervenerit, velocitas ejus 
velocitati in circulo erit aequalis per €0^4. Prop, xviii. Quaeret forfan quif- . 

Eiam utrum corpus hoc vi projeftili et vi gravitatis agitatum, poftguam ad 
anc diftantiam pervenerit, in circulo jamferretur vel in orbita elliptica moveri 

M per- 


Sectio perfcvcraret. Refponfio facilis eft -, perpendenti enim facillime innotefcit, cor- 
Tertia. pus ob angulum projeftionis in hoc loco rcfto minorem propius ad cen- 
trum defcendere, et ob caufas pra^diftas in ellipfi etiamnum retineri : nee uUus 
conceditur dubitandi locus, utrum ab hac orbita defledteret, donee ad diftan- 
-tiam minimam perveniat. Poftquam vero corpus ad diftaritiam asqualem 
diftantise minimse in orbita elliptica pervencrit, velocitas ejus major eft veloci- 
tate quae requiritur ad corpus in circulo retincndum -, ex eo quod ex naturi 
ellipfeosjvelocitates corporis ex media ad minimam diftandam tranfeuntis cele- 
rius crefcunt quam velocitates quae requiruntur ad corpora in circulis retinenda 
ad eafdem diftantias, modo vires centripetae fmt <liftantiarum quadratis in- 
veHe proportionalcs, Patet igitur corpus projedtum lineam circulo exteriorem 
defcribere. Simili argumento concluditur quod velocitatibus et viribus jam dc- 
•crefcentibus iifdem qulbus modo cre(cebant gradibus, corpus in afcenlu fuo in 
femieUipfi fimili et arquali ei quam in deicenfu defcripierat ferretur et ad di- 
ftantiam priorem redirct, ficque inter aplides fuas^ fi non obftaret medii re- 
iiftentia, in aeternum ofcillarctur. 


De corpomm fpbaericorum viribus attraEiivis, 

P R O OE M I U M. 


>^f Ji.^ Ex praecedcntibus abunde conftat gravitationis principium a terrae fuperficie 
ufque ad lunam extendi, a primario unoquoque ad fatellites fuos, ct a centro 
fdis ad omncs planetas, cum primarios turn fecundarios -, et per legem motus 
tertiam confequitur hofce omnes viciflim in folem gravitare : praeterea vis, qua- 
cum urgentur, legem determinatam in diverfis diftantiis obfervat, rationem 
nempe diftantiarum a centro duplicatam inverfam. 

Priufquam vero fyftema mundanum penitus explicari poffit planctarumque 
fingulorum materia^ quantitates ut et denfitates virefque gravitationis inveniri -, 
necefle eft ut pauca quaedam de univerfalitate aliifque hujufce principii pro- 
prietatibus praemittantun Progredimur igitur oftenfuri in primo loco vim 
gravitationum vel motum ab ea generatum in a?qualibus a corpore centrali 
diftantiis proportionalem efle quantitati materiae in corpore attradto. Experi- 
mentis accuratillime fadlis invenit Newtonus corpora funependula cjufdem 
figuras atque magnitudinis, diverfae vero denfitatis aut conftitudonis internal, 
olcillationcs fuas in temporibus aequalibus peragere, pofita nimirum eadem fili 
longitudine eademque aeris refiftentia. Et cxinde concludit vires motrices vel 
^ravicantes variari in ratione quantitatis materiae in corpore attrafto*. Natura 
•autcni gravitatis in planetas eadem eft atque in terram. Elevari igitur fingan- 


* THEOREM A. ^antitatcs matm<e in corporihus funeftndulis^ quorum 
^intra ojcillationum a caUro fufpenfionis ^qualiter di/iant^ fuiJ in ratione campqfitd 



tar corpora terreftria ad u(que orfaem lunse, unaque cum luna motu omni pri- Sectio 
vata demitci, et quoniam in temporibus aequalibus fpatia aequalia cum luna Quarta. 
cadcndo defcriberent, quantitates materia^ in iifdem lunt ad quantitatem ma- 
teriae in luna ut pondcra eorum ad ipfius pondus. Similiter fatellites Jovis 
temporibus revolvuntur qua? funt in ratione fefquiplicata diftantiarum a Jovis 
cencro -, ideoque gravitates eorum acceleratrices funt in diverfis a Jovis centro 
diftantiis reciproce ut quadrata diftantiarum, in diftantiis vero asqualibus aequa- 
les : quare corpora quaelibet temporibus aequalibus ab altitudinibus sequalibus 
cadendo fpatia ajqualia defcriberent perinde ut fit gravibus in terram. — Eo- 
dem argumento planetae circumfolares ab aequalibus a fole diftantiis demifli 
defcenfu fuo in foleni fpatia a?qualia in temporibus aequalibus defcriberent. 
Pondera igitur eorum funt etiam ut quantitates materia? in ipfis. 

Haftenus probavimus vires, quibus corpora divcrfa vel planetx diverfi at- 
trahuntur ab eodem corpore centrali effe datis diftantiis ut quantitates materiae 
in corporibus atcraftis, reftat probandum vires planetarum diverforum in a?qua- 
lia corpora datis diftantiis exercitas efle in ratione quantitatis materiae in cor- 
pore trahente. Cum autem jam antea demonftratur gravitatem in quemlibet 
planetam feorfim confideratum efle reciproce ut quadratum diftantiae a planets 
iftius centro patet Veritas hujufce pofitionis ex Newtoni Prop. lxix. et Cor. 
fwis. t 

Quoniam vero gravitatio corpora omnia pervadere intelligitur nee variatur 
ob diverfam fuperficici texturam cftque femper in ratione quantitatis materiae, 


ex ratione fonderum et ratione duplicatd temporum ofcillationum in vacuo. 

Dem. Nam velocitas, quam data vis in data materia, dato tempore gene- 
rare poteft, eft ut vis et tempus direfte, et materia inverle. Quo major eft 
vis, vel majus tempus, vel minor materia, eo major generabitur velocitas. Id 

3uod per motus legem fecundam manifeftum eft. Jam vero fi pendula ejuf- 
em fint longitudinis, vires motrices in locis a perpendiculo asqualiter diftanti- 
bus funt ut pondera : ideoque fi corpora duo okrillando defcribant arcus ajqua- 
les, et arcus illi dividantur in partes a?quales -, cum tempora quibus corpora 
defcribunt fingulas arcuum partes correfpondentes fint ut tempora ofcillatio- 
num totarum, erunt velocitates ad invicem in correfpondentibus ofcillationum 
partibus, ut vires motrices et tota ofcillationum tempora direfte, et quantitates 
materiae reciproce : ideoque quantitates materiae ut vires et ofcillationum tem- 
pora direfte, et velocitates reciproce. Sed velocitates reciproce funt ut tem- 
pora ; atque ideo tempora diredte et velocitates reciproce funt ut quadrata 
temporum ; et propterea quantitates materiae funt ut vires motrices, et qua- 
drata temporum, id eft, ut pondera et quadrata temporum. Q^E. D. 

Cor. Ideoque fi tempora fint aequalia, quantitates materiae in finguJis corpo- 
ribus erunt ut pondera. 

t THEOREM A. Infyftemate cor forum plurium A, B,C, D, ^c. fi cor- 
pus aliquod A trabit cetera omnia B, C, D, Csfr. viribus acceleratricibus qua funt 
reciproce ut quadrata diftantiarum a trabente •, ^t corpus aliud B trahit etiam cetera 

Ml A,C,D, 


Si»cTio oritur gravitatio totius ex gravitatione partium. Exempli gratia, pondus mon- 
Quart A. tis oritur ex gravitatione partium mentis ad tellurem et ex fumma gravita- 
tionum componitur -, et fimiliter gravitatio telluris ad montem ex fumma gra- 
vitationum partium telluris ad montem conficitur-, extenditur igitur gravi- 
tatio pro ratione quantitatis materia? folidae ad unamquamque materia^ par- 
ticulam, legcfque quibufcum particulae componentcs fe inviccm trahunt, datis 
legibus quibufcum fphtJ^rx ex his particulis conflatae fefe attrahunt, jam funt 


A, C, D, fc?r. viribus qua funt reciprcce ut quadrata diftantiarum a trabente : 
^uni abfoluta corporum trakentium A, B vires ad inviccm^ ut funt ipfa corpcra 
A, B, quorum funt vires, 

Dem, Nam attraftiones acccleratrices corporum omnium B,C,2) verfus Ay 
paribus diftantiis, fibi invicem a^quantur ex hypothefi ; et fimiliter attra&io- 
nes acceleratrices corporum omnium verfus B^ paribus diftantiis, fibi invicem 
SBquantur. Eft autem abfoluta vis attradtiva corporis A ad yim abTolutam at- 
tra£)ivam corporis B^ ut attraftio acceleratrix corporum omnium verlus A ad 
attra£Uonem acceleratricem corporum omnium verfus J?, paribus diftantiis ; et 
ita eft attraftio acceleratrix corporis B verfus A^ ad attra£tionem acceleratri- 
cem corporis A verfus B. Sed attra6tio acceleratrix corporis B vcrfiis A eft 
.ad attra£tionem acceleratricem corporis A verfus By ut mafl& corporis A ad 
mafiam corporis B ; propterea quod vires motrices, quae funt ut vires accelera- 
trices et corpora attrafta conjunftim, hie funt (per motus legem tertiam) fibi 
invicem a^quales. Elrgo abfoluta vis attra£tiva corporis A eft ad abiblutam vim 
attra&iv^m corporis j5, ut mafia corporis A ad mafiam corporis B. Q^E. D. 

Cor. I. Hinc fi fingula fyftematis corpora Ay By C, 2), &c feorfim Ipe&ata 
trahant cactera omnia viribus ^celeratricibus, quae funt reciproc^ ut quadrata 
diftantiarum a trahente,; -erunt corporum illorum omnium vires abfcnutas ad 
invicem ut funt ipfa corpora. 

C#r. 2. Eodcm argumento, fi fingula fyftematis corpora Ay By C, D, &c. 
leorfim fpeftata trahant camera omnia viribus acceleratricibus, quae funt vel 
rcdproce, vel direfte in ratione dignitatis cujufcunque diftanriarum a trahente, 
^ua^e fecundum legem quamcunque communem ex diftantiis ab unoquoque 
trahente definiuntur -, conftat quod corporum illorum vires abfolutae lunc u( 





Si ad fphtericte fuperficiei punEla fingula tend ant vires (^\^Jta. 
aquales centripetce decrefcentes in duplicata ratt07ie di-- 
Jiantiarum a punEiis : dico quod corpufculum intra fu^ 
^erjidem conjlitutum his viribus nullam in partem at-- 

Sit HIKL fuperficies ilia fphaerica, et P corpufculum intus Vic'Ti^ 
conftitutum. Per P agantur ad banc fuperficiem linese duae HK^ 
ILy arcus quam minimos H/, KL intercipientes ; et, ob trian- 
giila HPIy LPK (per corol. 3. lem. vii.] fimilia, arcus illi erunt 
diftantiis HPy LP proportionales ; et fiiperficiei fphaericae par- 
ticulae quaevis ad HI et KL^ redtis per punftum P tranfeuntibus 
undique terminatae, erunt in duplicata ilia ratione. Ergo vires 
harum particularum in corpus P exercitae funt inter fe aequales. 
Sunt enim ut particulae direfte, et quadrata diftantiarum inverfe. 
Et hae duae rationes componunt rationem aequalitatis. Attrafti- 
ones igitur, in contrarias partes aequaliter faclae, fe mutuo deftru- 
unt. Et fimili argumento, attraftiones omnes per totam fphaeri- 
cam fuperficiem a contrariis attraftionibus deftruuntur. Proinde 
corpus P nullam in partem his attradtionibus impellitur. Q;E.D, 


lifdem poRtis^ dico quod corpufculum extra fphcericam fu^ 
perjiciem conjlitutum attrahitur ad centrum fphcerte^ vi 
reciproce proportionali quadrato dijlantice fuce ab eodem 

'Sint AHKBy ahkh aequales duae fiiperficies fphaericae, centris "Tab. m 
&j s, diametris ABy ab defcriptae, et P, p corpufcula fita extrin- 
fbcus in diametris illis produdtis. Agantur a corpufculis lineas 



Sect 10 PHKy PIL.phkypil, aufcrcntes a circulis maximis AHB, abb^ 
QuARTA. jgquales arcus HKy bk ct IL, il: Et ad eas demittantur perpen- 
dicula SD, sd', SE, se-, IR, ir-, quorum SDj J^fecent PL, pi 
in jF et/: Demittantur etiam ad diametros perpendicula /^, iq. 
Evanefcant anguli DPE, dpe: et ob aequales JD*S et ds^ES et es^ 
lineae P£, PF et pe^ pf et lineola £)F, df pro aequalibus habe- 
antur> quippe quarum ratio ultima, angulis illis DPE, dpe fimul 
evanefcentibus, eft aequalitatis. His itaque conftitutis, erit PI ad 
PF ut RIzA DFy et pf ad pi ut df vel DP ad r /; et ex aequo 
PI x//ad PFxpi ut P/ad r/, hoc eft (per corol. 3. lem. vil) 
ut arcus IH ad arcum ib. Rurfus PI ad PS ut I^ad SE, et 
ps ad pi ut se vel SE ad /y> et ex aequo PI xps ad PiS x/^/ ut 
I^ad i q* Et conjunftis rationibus PI quad, y^pf y^ ps ad pi quad. 
X PF X P5, ut /H X /^ad ib % iq-, hoc eft, ut fuperficies circu- 
laris, quam arcus IH convolutione femicirculi A KB circa diame- 
trum jiB defcribet, ad fuperficiem circularem quam arcus ib con- 
volutione femicirculi akb circa diametrum ab defcribet. Et vires,, 
quibus hae fuperficies fecundum lineas ad fe tendentes attrahunt 
corpufcula P et /, funt (per hypothefm) ut ipfae fuperficies diredle, 
et quadrata diftantiarum fuperficierum a corporibus inverfe, hoc 
eft, ut pfypi ad PP X P 5. Suntque hae vires ad ipfarum partes 
obliquas, quae (fa6ta per legum coroL 2. refolutione virium) fe- 
cundum lineas PS^ps ad centra tendunt, ut P/ ad P^ et // ad 
pq-y id eft (ob fmiilia triangula P/^ tt PSF, piq ttpsf) ut PS 
ad PF dps ad pf Unde, ex aequo, fit attraftio corpufculi hujus 

P verfus S ad attraftionem corpufculi / verfus j, ut ~ — — 

P w 

pfy P F X PS 
ad , hoc eft, ut / j quad, ad PS quad. Et fimili argu- 

mento vires, quibus fuperficies convolutione arquum KL, kl dc- 
fcriptae trahunt corpufcula, erunt ut ps quad, ad P S quad, inque 
eadem ratione erunt vires fuperficierum omnium circularium in 
quas utraque fuperficies fphaerica, capiendo femper sd aequalem SD 
ct se aequalem SE, diftingui poteft. Et per compofitionem, vires 
totarum fuperficierum fphaericarum in corpufcula exercitje erunt 
in eadem ratione. QJE. D. 






Si ad fph(er(Z cujufois punBa Jingula tendant vires cequales 
centripetcB decrefcentes in duplicata ratione dijiantiarum 
a punEiis ; ac detur tu?n fphcerce denjitasy turn ratio di^ 
ametri fphcercB ad dijiantiam corpufctdi a centra ejus: 
dico quod visj qua corpufculum attrahitur^ proportiona^ 
lis erit femidiametro fphcerce. 

Nam concipe corpufcula duo feorfim a fphaeris duabus attrahi, 
unum ab una et alterum ab altera, et diftantias eorum a fphaera- 
rum centris proportionales effe diametris fphaerarum refpeftive, 
fphaeras autem refolvi in particulas fimiles et fimiliter pofitas ad 
corpufcula. Et attraftiones corpufculi unius, fa6lae verfus fingu* 
. las particulas fphaerae unius, erunt ad attra6liones alterius verfus 
analogas totidem particulas fphaerae alterius, in ratione compofita 
ex ratione particularum direfle et ratione duplicata diftantiarunl 
inverfe (^). Sed particular funt ut fphaerae, hoc eft, in ratione tri- 
plicata diametrorum, et diftantiae funt ut diametri ; et ratio prior 
direfte una cum ratione pofteriore bis inverfe eft ratio diametri ad 
diametrum, Q^E. D. 

CoroL I. Hinc fi corpufcula in circulis, circa Iphaeras ex mate* 
ria aequaliter attraftiva conftantes, revolvantur \ fintque diftantiae 
a centris fphaerarum proportionales earundem diametris : Tempora 
periodica erunt aequalia. 

CoroL 2. Et vice verfa, fi tempora periodica funt aequalia; di- 
ftantiae erunt proportionales diametris. Conftant haec duo per 
corol. 3. prop. iv. 

CoroL 3. 

(•*) III. Corpufculum extra fphaericam fuperficiem, cujus pun6ta fingula vi 
tali centripeta urgentur conftitutum, attrahitur ad centrum vi quadrato diftan- 
tiae ab eodem centro proportionali per prop, ultimam \ concipe igitur fphseras 
hafce duas ex fuperficiebus fphasricis et conccntricis conflatas et patet Veritas 


Sizrii Ccr:!, ;. Si ad foridorum duorum quorumvis, fimilium et squa^ 

Qjiirj. j-j.^j. denlbrum, puncta fingula tendant vires sequales centripetae, 

decrefcentes in duplicata ratione diftantiarum a punctis; vires, 

qaibus corpufaila, ad folida ilia duo (imiliter fita, attrahentur ab 

iifdem, erunt ad invicem ut diametri folidorum ( ). 

( '] 112. Vires quibus corpufcula ad Cmilia ct homogcnea qua^vis ibiida 
firriKw poCta attrahunDjr, funt at diUznzix corpufculomm a punctis quifouf- 
vis firriliter pofitis, vcl ut folidcrum latcra qu^vis homologa ; pofito quod 
ad foluiomm puncta Gngula tendant vires a^quales centripetal decrelcentcs in 
duplicate ratione diftantiarum a pun&is. 

Ta» VII Dem. Refolvl ccncipiantur finiilia folida in fimiks cones PKLP^PHIPi 

fic.6i. vcl in funilia conorum frufta quorum vertices funt in corpufculo P; ct fint 
baics coram KL^ HI fupcrficies fphxricac quanim centra funt in P : erunt 
▼ires fimilium ct conccntricarum quarumvis fuperfidenim KI^ MN in cor- 
pufimlum P exercita? inter fe a^uales -, funt enim ut fuperfides iliac direde, 
ct quadrata diftantiarum inverse ; vel ut P K* ad P M^ direde, et PK^ ad 
P M^ inverse ; qua: rationes componunt ratioodtn xqualitatis. Toca; igitur 
vires fimilium (biidorum PKLPj PHIP erunt ut vis ilia data fuperficid cu- 
jufvis A/iV, et ut numerus fuperficierum, ex quibus folida ultimo conftant, 
vcl ut PK dd PH. Patct edam attradionem frufti cujufvis MKLN cflfc ut 
MK. Ex idem obtinet in fimilibus quibufvis folidis, quae ex fimilibus conis, 
vel fimilibus conoram fruftis, ulumo componi intelliguntur. 

113. Or. Sit PHaKjualis HK^ erit vis qua corpufoulum P verftis conum 
PHIP attrahitur, acqualis vi verfus fruftum HKLL Undc patet, quod fi 
vires particularum, ex quibus corpus trahens componitur, decreicant in receflii 
corpulculi attracti in duplicata ratione diftantiarum, attradio non mult6 &rtior 
erit in conta&u, quam cum attrahens et attraftum parvo intervallo feparantur 

m. ,r« ^ invicem. 

Fig. 62/ ^ ^^' Iifdem pofids corpufculum intra folidum genitum ex revdudonc an- 
nularis fparii a duabus fimilibus et concentricis ellipfibus HIKL^ bikl ter- 
minati, nullam in partem attrahitur. 

Dem. Sit enim P corpufoulum intra folidum conftitutum, et IPL reda 
per P tranfiens, et occurrcns extemx fuperficiei in punftis /, Z. ; intemae vero 
in iy /; intelligatur linea IL bifariam fecari In z, et ob fimiles fimiliterque 
poficas figuras 1 / bifariam etiam fecetur in z, et proinde eft // a^ualis L L 
Vires autem quibus corpufculum P attrahitur ad oppoCta folidi firufta li'bH^ 
KklLj quar inter eafdem reftas lineas IPL^ HP AT per P tranfeuntes con- 
tinentur, erunt (112) ut // 2A Llj hoc eft in ratione aequalitads : et fimiL' 
argumento attracUones omnes per totum folidum a contrariis attra&ionibus 





Si adfph(er(B alicujus datte punEia Jingula tendant cequales 
vires centripetca decrefcentes in duplicata ratione dijian- 
tiarum a punEiis : dico quod corpufculum intra fphceram 
conftitutum attrahitur vi proportionali dijiantica fu<B ab 
ipfius centra. 

In fphaera jiBCD, centre S defcripta, locetur corpufculum P; Tab, vii. 
et centre eodem S, intervallo SP, concipe fphaeram interiorem ^ic-^s- 
PiE^/'defcribi. Manifeftum eft, (per prop, xix.) quod fphaericae 
fuperficies concentricae, ex quibus fphaerarum differentia AEBF 
componitur, attradtionibus fuis per attraftiones contrarias dc- 
ftru£tis, nil agunt in corpus P. Reftat folaattraftio fphaerae in* 
terioris P£ ^P. Et (per prop, xxi.) haec eft ut diftantiaP5 (^). 


Superficies, ex quibus folida componuntur^ hie non funt pure 
mathematicae, fed orbes adeo tenues, ut eorum craflitudo inftar 
nihili fit ; nimirum orbes evanefcentes, ex quibus fphaera ultimo 
conftat, ubi orbium illorum numerus augetur et craffitudo minui- 


(^) 115. Pofitis quae in fig.62. vis, qua corpufculum/ intra fpheroidem in 
femidiametro C^ conftitutum ad totum folidum attrahitur, eft ad vim cor- 
pufculi ^in eadem femidiametro, ut diftantia Cp ad C^. 

Dem. Centre cnim C femidiametro Cp defcribi concipiatur fpha?rois Ulterior 
bipkl ipfi HI^KL fimilis ; attradliones exterioris folidi annularis contrariis 
attraftionibus deftruftar, nihil agunt in corpufculum p ; vires autcm quibus 
attrahuntur corpufcula />, ^, verfus folida bikl^ HIKLy funt ut lineae quaevis 
homology in his folidis (112), vel ut Cp ad Ci^ 

116. Si igitur fphaera vel fphasrois hujufmodi per centrum perforetur, cor- 
pora ex diverfis a centro fphasrae diftantiis in eodem tempore ad centrum pcr- 
venirent •, et pratterea, corpus per foramen tale libere decidens per centrum 
tranfiret, et in afcenfu fuo viribus iifdecn, a quibus defcendens accelerabatur, 
retardatum, ofcillationes perageret more penduli in arcu cycloidis moti. 



Sectio tur in infinitum. Similiter per pun£la» ex quibus lineae, fuper-' 
QuAETA. g^jgj^ gf foiida componi dicuntur, intelligendae funt particular 
3&quales magnitudinis contemnendae, 


lifdem pofithy dico quod corpufculum extra fpbteram con^ 
Jiitutum attrahitur vt reciproce proportionali quadrato 
dijiantice fuce ab ipjius centro. 

Nam diftinguatur fphsera in fupcrficies fphaericas innumeras 
concentricas, et attraftioncs corpufculi a fingulis fuperficiebus ori- 
undse erunt reciproce proportionales quadrato diftantias corpufculi 
U centro (per prop.xx.) Et componcndo fict fumma attraftio- 
num, hoc eft attraftio corpufculi in fphseram totam, in eadeni 
ratione. QJE. D. 

CoroL I. Hinc in asqualibus diftantiis a centris homogenearum 
fphaerarum attrafliones funt ut fphssrae. Nam (per prop, xxi.) 
li diftantiae funt proportionales diametris fphaerarum, vires eixint 
ut diametri. Minuatur diftantia major in ilia ratione > et, diftan- 
tiis jam faflls aequalibus, augebitur attra£lio in duplicata ilia ra- 
tione ; ideoque erit ad attraftionem alteram in triplicata ilia ratio^ 
ne, hoc eft, in ratione fphaerarum. 

CoroL 2. In diftantiis quibufvis attra^^iones funt ut fphaerae ap- 
plicatae ad quadrata diftantiarum. 

CoroL 3. Si corpufculum, extra fphaeram homogeneam pofitum, 
trahatur vi reciproce proportionali quadrato diftantise fuae ab ipfius 
centro, conftet autem fphaera ex particulis attraftivis \ decrefcet vis 
particular cujufque in duplicata ratione diftantiae a particula (^). 


( ' ) 117. Hinc colligere licet particulas ex quibus conflantur corpora folis, 
tcUuris, planetarumquc (Ingulorum cum primariorum turn (ecundariorum, fe 
inviccm attrahere vi diftantiarum fuarum quadratis reciproce proportionali. In 
propofitionibus noviffimis denntonftravit Newtonus fpha?ras a particulis confla- 
tas fe invicem crahentibus in inverfa duplicata ratione c^antiae fe in^cem tra- 





Si ad fpharce datce punEia Jingtda tendant vires (zquales 
centripetcB^ decrefcentes in duplicata ratione diflantiarum 
a purtSiis ; dico quodfpbcera quavis alia fimilaris ab ea- 
dem attrahitur vi reciproce proportionali quadrato di- 
fianti<B centrorufn. 

Nam particulac cujufvis attra6tio eft reciproce ut quadratum 
diftantiae fuae a centre fphaerae trahentis, (per prop, xxiii.) et 
propterea eadem eft, ac fi vis tota attrahens manaret de corpuf- 
culo unico fito in centro hiijus fphan^. Haec autem attradHo 
tanta eft, quanta foret viciffim attraftio corpufculi ejufdem, fi mo- 
do illud a fingulis fphaene attf a6te particulis eadem vi traheretur, 
qua ipfas attrahit. Foret autem ilia corpufculi attra6tio (per prop. 
XXIII.) reciproce proportionalis quadrato diftantia^ fuae a centro 
fphasrae s ideoque huic aequalis attradlio fphasras eft in eadem ra- 
tione. QJE*). D. 

CoroL I. Attraftiones fphacranim, verfus alias fpliaeras homoge- 
neas, funt ut fphaeras trahentes applicatae ad quadrata diftantiarum. 
centrorum fuorum a centris earum, quas attrahunt. 

CoroL 2. Idem valet, ubi fphasra attrafta etiam attrahit Nam- 
que hujus pun6la firigula trahent fmgula alterius eadem vi, qua 


here fecundum leKrn eandcm. Si igitur pofiti hac lege attradionis fphaera* 
rum particute ipfe fe inviccm non trahercnt fecundum hanc legem fingatur 
quaevis alia attradionis lex, et ratiocinia Newtoni ufumando luculenter confta- 
bit quod particula extra fuperficiem fphacricam vel Iphasram conftituta non 
attrahetur in inversa duplicata ratione diftantias. Quoniam igitur vires quibus 
attrahuntur particulse in diverfis diftantiis a fole vel quolibet planeta funt inter 
fc inverfe ut diftantiarum quadrata a corpore attrahente, patet a prasceden- 
tibus particulam unamquamque et in fole et in unoquoque planeta vi propria 
attradionis gauderc ita ut unumquodque corpufculum in fyftemate muncLino 
alia qusecunque attrahat vi diftantiarum quadrato reciproce proportionali. 


Sectio ab ipiis viciflim trahuntur; ideoque cum in omni attraftione ur- 
gcatur (per legem 3.) tam punftum attrahens, quam punftum 
attraftum, geminabitur vis attradlionis mutuae, confervatis pro* 

Corol. 3. Eadcm omnia, quae fuperius de motu corporum circa 
umbilicum conicarum fe6lionum demonftrata funt, obtinent, ubi 
fphaera attrahens locatur in umbilico, et corpora moventur extra 

Carol. 4. Ea vero, quae de motu corporum circa centrum coni- 
carum fedlionum demonftrantur, obtinent ubi motus peraguntur 
intra fphaeram. 


Si fphierte in progrejfu a centro ad circumferentiam [quoad 
fnateri(e denjitatem et vim attraSiivam) utcunque dif- 

Jimilaresy in progrejfu vero per circuitum ad datam om- 
nem a centro difiantiam funt undique fimilares \ et vis 

attraSiiva punEii cujufque decrefcit in duplicata ratione 
diJianticB corporis attraSii : dico quod vis tota^ qua hu- 

ju/modi fphcera una attrahit aliam^ fit reciproce propor- 

tionalis quadrato difiantite centrorum. 

Tab. VII. Sunto fphaerae quotcunque concentricae fimilares A By CDj E F, 

Fig. 64. 

&c. quarum interiores additae exteriorjbus componant materiam 
denfiorem verfus centrum, vel fubduftae relinquant tenuiorem ; et 
hx (per prop, xxiv.) trahent fphaeras alias quotcunque concen- 
tricas fimilares GHy IK^ LMy &c. fingulae fingulas, viribus re- 
ciproce proportionalibus quadrato diftantiac 5 P. Et componendo 
vel dividendo, fumma virium illarum omnium, vel exceffus ali- 
quarum fiipra alias ; hoc eft, vis, qua fphaera tota, ex concentricis 
quibufcunque vel concentricarum difFerentiis compofita AB^ tra- 



hit totam ex concentricis quibufcunque vel concentricaram dif- Sectio 
ferentiis compofitam GH-, eritin eadem ratione. Augeatur nu- 
merus fphaerarum concentricarum in infinitum fie, ut materiae 
denfitas una cum vi attraftiva, in progreflfu a circumferentia ad 
centrum, fecundum legem quamcunque crefcat vel decrefcat; et, 
addita materia non attraftiva, compleatur ubivis denfitas deficiens, 
eo ut fphaerae acquirant foimam quamvis optatam; et vis, qua 
harum una attrahet alteram, erit etiamnum, per argumentum fii- 
perius, in eadem ilia diftantiae quadratae ratione inverfa. QJE. D. 

CoroLi. Hinc fi ejufmodi fphaerae complures, fibi invicem per 
omnia fimiles, fe mutuo trahant ; attrafliones acceleratrices fingu- 
larum in fingulas erunt, in aequalibus quibufvis centrorum diftan- 
tiis, ut fphaerae attrahentes. 

Corol. 2. Inque diftantiis quibufvis inaequalibus, ut fphaerae at- 
trahentes applicatae ad quadrata diftantiarum inter centra. 

CoroL 3 . Attra6liones vero motrices, feu pondera fphaerarum in 
fphaeras erunt, in aequalibus centrorum diftantiis, ut fphaerae at* 
trahentes et attraflae conjun6tim, id eft, ut contenta fub fphaeris 
per multiplicationem produ(5la. 

CoroL 4. Inque diftantiis inaequalibus, ut contenta ilia direfte et 
quadrata diftantiarum inter centra inverfe. 

CoroL 5, Eadem valent, ubi attraflio oritur a fphaerae utriufque 
virtute attra6liva mutuo exercita in fpha?ram alteram. Nam viri- 
bus ambabus geminatur attraftio, proportione fervata. 

CoroL 6. Si hujufmodi fphaerae aliquae circa alias quiefcentes re- 
volvantur, fingulae circa fingulas; fintque diftantiae inter centra 
revolventium et quiefcentium proportionales quiefcentium diame- 
tris ; aequalia erunt tempera periodica. 

CoroL 7. Et viciflim, fi tempora periodica funt aequalia y diftan- 
tiae erunt proportionales diametris. 

CoroL 8. Eadem omnia, quae fuperius de motu corporum circa 
iimbilicos conicarum fedlionum demonftrata funt, obtinent; ubi 
fphaera attrahens, formae et conditionis cujufvis jam defcriptse, lo- 
catur in umbilico. 

CoroL 9. 


Sectio Corol. 9. Ut et ubi gyrantia funt ctiam fphaerae attrahcntcs, con- 

QtTART A. jiti^nis cujufvis jam defcriptae ( " ). 


(«*) 118. Ope propofitionum praxredentium invcniri ct inter fe compartri 
poHunt pondera corporam in diverios planetos. Pondera enim corporum sequa- 
lium circum planetas in circuUs revolventium Tunc (per Cor. 2. prop, iv.) ut 
diametri circulorum direfte et quadrata temporum periodicorum invcrfc j pon- 
dera autem ad fuperficies planetaruni aliafve quafvis a centro diftantias majora 
liint vel niinora (per hanc prop.) in duplicata ratione diftantiarum inverfe. 
Computam ftc ineundo invenit Newtonus pondera a^ualium corporum in folis, 
jovis, iatumi, ac terrs fuperficiebus efle ut 10000, 943, 529 et 435 refpedHve. 

119. Cor. 2. Innotefcit ctiam quantitas materia: in planetis fingulis; Nam 
quantitates materiae in planetis funt ut eorum vires in arqualibus diftantiis ab 

conim centris j id eft in fole, jove, faturno, ac terra ut i , — --• » ct -^ 

•^ 1067' 3021 169282 


120. Cor. 7. Innotelcunt ctaam dcnfitates planetarum. Nam pondera cor* 
porum aequaiium ct homogeneorum in fphaeras homogcneas iunt in fuper- 
ikiebus fphacrarum uc ^hserarum diamccri per prop, xxi, ideoque fpacra- 
ruro hcterogenearum dcnfitates funt ut pondera ilia ad fphserarum diamctfOs 
appiicata. Dcnfitates folis, jovis, faturni, ac terrae, funt ut 100, 94^, 67 et 
400. Eft igitur fol paulo denfior quim jupiter, ct jupiter quam (aturnus, et 
terra quadruplo denfior quam fol. 

121. Cor. 4. Deniiores igitur funt planctae qui funt minorcs, ceteris paribus. 
Sic enim vis gravitatis in eorum fuperficiebus ad asqualiutem magis acccdit. 
Sed ct denfiores funt planeta?, ca^teris paribus, qui funt foli propriores ; ut 
jupiter faturno, et terra jove. In divcrfis utique diftantiis a fole collocandi 
erant planeta?, ut quiiibct pro gradu denfitatis calore fdis majorc vel minore 
frueretur. Aqua noftra fi terra locaretur in orbe faturni ivgefceret, (i in orbc 
mercurii in vapores ftatim abieret. Eft enim lux folis, cui calor proportiona- 
lis eft, feptuplo denfior in orbe mercurii quam apud nos, et feptuplo folis 
ficftivi calore aqua cbullit. Dubium vero non eft quin materia mercurii ad ca- 
lorcm accomodetur, ct propterea denfior fit hac noftra, cum materia omnis 
denfior ad operationcs naturales obeundas majorem calorem requirat. 

122. Cor. 5. Gravitas pergendo a fuperficiebus planetarum deorfum decrel^ 
cit in ratione diftantiarum a centro quam proxime. Si enim materia unifor- 
mis eflet obtineret hasc proportio accurate per prop. xxii. Error igitur tantus 
eft quantus ab ina^uabili denfitate oriri pollit. 




Si ad ftngula fphararum punEia tendant vires cmtripttcR 
proportionates dijiantiis punEiorum a corporibus attroBis : 
dico quod vis compojita^ qua fphtene dutB fe mutuo tra- 
heniy efi ut dijlantia inter centra fphcerarum. 

Caf.i. Sit -^EjBF fphaera; S centrum ejus; F corpufculurn 
attradlum, PA SB axis fphaerae per centrum corpufculi tranfiensj Fic. 65/ 
E Fj ef plana duo, quibus fphaera fecatur, huic axi perpendicu- 
laria, et hinc inde aequaliter diftantia a centre fphaerae j G, g inter- 
feftiones planorum et axis ; et /sT punftum quodvis in piano E F. 
Punfti H vis centripeta in corpufculurn P, fecundum lineam P H 
exercita, eft ut diftantia PH\ et (per legum corol. 2.) fecundum 
lineam PGy feu verfus centrum 5, ut longitudo PG. Igitur punc- 
torum omnium in piano £ P, hoc eft plani totius vis, qua cor- 
pufculum P trahitur verfus centrum 5, eft ut diftantia P G multi- 
plicata per numerum punftorum, id eft> ut folidum quod conti- 
netur fub piano ipfo £P et diftantia ilia PG. Et fimiliter vis 
plani ef, qua corpufculum P trahitur verfus centrum S, eft ut 
planum illud du£lum in diftantiam fuam Pg, five ut huic ssquale 
planum EF duflum in diftantiam illam P^; et fumma virium 
plani utriufque ut planum E F dudum in fummam diftantiarum 
PG -^ Pgy id eft, ut planum illud du6him in duplam centri et 
corpufculi diftantiam P5, hoc eft, ut duplum planum JEF duflum 
in diftantiam P 5, vel ut fumma aequalium planorum EF-^ef 
dudla in diftantiam eandem, Et fimili argumento, vires omnium 
planorum in fphaera tota, hinc inde aequaliter a centro fphaerae 
diftantium, funt ut fumma planorum dufta in diftantiam PS, hoc 
eft, ut fphaera tota et ut diftantia PS conjunftim. (^ E. D. 

Caf. 2. Trahat jam corpufculum P fphaeram AEBF. Et eo- 

dem argumento probabitur quod vis, qua fphaera ilia trahitur, erit 

ut diftantia PS. Q^J). D. 

Caf. I. 


Sectio Caf. 3. Componatur jam fphaera altera ex corpufculis innumc- 

QuA»TA. p^ p . ^j. quoniam vis, qua corpufculum unumquodque trahitur, 
eft ut diflantia corpufculi a centro fphaerae primae et ut fphaera 
cadem conjunclim, atque ideo eadem eft, ac (i prodiret tota dc 
corpufculo unico in centro fphaerae ; vis tota, qua corpufcula om- 
nia in fphaera fecunda trahuntur, hoc eft, qua fphaera ilia tota 
trahitnr, eadem erit, ac fi fphaera ilia traheretur vi prodeunte de 
corpufculo unico in centro fphaerae primae, et propterea propor- 
tionalis eft diftantiae inter centra fphaerarum. Q;^. D. 

Caf. 4. Trahant fphaerae fe mutuo, et vis geminata proportio- 
nem priorem fervabit. Q;^. D. 

Caf. 5, Locetur jam corpufculum p intra (phaeram AEBF-, et 
Fio! 66. * quoniam vis plani ef in corpufculum eft ut folidum contentum 
fiib piano illo et diftantia pg\ et vis contraria plani EFxxt folidum 
contentum fub piano iilo et diftantia /G 5 erit vis ex utraque com- 
pofita ut differentia folidorum, hoc eft, ut fumma aequalium pla- 
norum du£la in femiffem differentiae diftantiarum, id eft, ut fum- 
ma ilia du6ta in pS diftantiam corpufculi a centro fphaerae. Et 
fimili argumento, attraftio planorum omnium £F, ef in fphaera 
tota, hoc eft, attra6tio fphaerae totius, eft conjunflim ut fumma 
planorum omnium, feu fphaera tota, et ut /^S diftantia corpufculi 
a centro fphaerae. QJS. D. 

Caf 6. Et fi ex corpufculis innumeris p componatur fphaera no- 
va, intra fphaeram priorem /fE -BF fita j probabitur ut prius quod 
attraftio, five fimplex fphaerae unius in alteram, five mutua utriul^ 
que in fe invicem, erit ut diftantia centrorum p S. QJE. D. 







Si fphara in progrejfu a centra ad circumferentiam fint 
utcunque dijimilares et inasquabilesy inprogreffu vera per 
circuitum ad datam omnem a centra diftantiam fint un- 
dique fimilares ; et vis attroBiva punBi cujufque fit ut 
difiantia corporis attroBi * dico quod vis tot a qua bujuf- 
modifpharee dmefe mutuo trahunt fit proportionalis di- 
fianti<e inter centra fphararum* 

Demonftratur ex propoiitione praecedente eodem modo, quo 
propofitio XXV. ex propofitione xxiv. demonflrata fuit. 

CoroL Quae fuperius de motu corponim circa centra conicarum 
feftionum demonflrata funt, valent ubi attra6tiones omnes fiunt vl 
corponim fphaericorum conditionis jam defcripts, et attra^la cor- 
pora funt Iphserse conditionis ejufdem. 



Sect,. SECTIO V. 


De motu corporum in orbibus mobilibusj dequt motu apfidunu 


Efficiendum efi ut corpus in traje&oria quacunque circa 
centrum virium revolvente perinde mover i poffit^ atque 
corpus aliud in eadem trajeBoria quiefcenU. 

Tai. vin. In orbe VPK pofitione dato revolvatur corpus P pergendo a V 
Fio.67. ygj.f^g j^^ ^ centro C agatur femper C^, qua fit ipfi CP aequa^ 

lis, angulumque FCp angulo FCP proportionalem conflituat ^ et 
area, quam linea Cp defcribit, erit ad aream FCP^ quam linea 
CP fimul defcribit, ut vtdocitas lineae defciibentis Cp ad velocita- 
tem linea defcribentis CP ; hoc eft, ut angulus FCp ad angulum 
FCPy (") ideoque in data ratione, et propterea tempori propor- 
tionalis. Cum area tempori proportionalis fit quam linea Cp in 
piano immobili defcribit, manifeftum eft quod corpus, cogente 
juftas quantitatis vi centripeta, revolvi poflit una cum pim£to p in 
curva ilia linea quam pun6him idem p ratione jam expofita de- 
fcribit in piano immobili. Fiat angulus FCu angulo PCp^ et 
linea Cu lineae CF^ atque figura uCp figura FCP squalls, et cor- 
pus in p Temper exiftens movebitur in perimetro figura revolventis 
uCpy eodemque tempore defcribet arcum ejus up quo corpus aliud 
P arcum ipfi fimilem et aqualem FP in figura quiefcente FPK 


Tai Vlir ^"^ '^3' ^^ trianguli ^BC duo latera jIB^ AC fint aequalia duobus latc- 

Fio. 68. ' ^^^ ahj ac trianguli abc\ erunt area: triangulonitn ut finus anguloram in- 

termediorum. Demiflis enim petpendiculis jSD, bd^ areas eonim funt ut 

AC X BD ad tf r X bd, vel ut BD ad bd\ id eft, pofito AB aut ab pro 

radio, ut finus anguli BAD ad finum anguli bad. 

Si igitur fit angulus VCp : VCP ::G:F,tt FCq :FC^: : G :F, tftpCq 
ad PC^in eadcm ratione. Scd PC =pCy et ^C = yC; ergo area triangufi 
pCq eft in ftatu nafcenti ad aream trianguli PC^ ut G ad r, vel in eadem 
. data ratione. 


defcribere poteft. Quasratur igitur, per corollarium quintum pro- 
pofidonis V, vis centripeta qua corpus revolvi poflit in curva ilia Sbctio 
linea quain punftum p defcribit in piano immobili> et folvetur ^*"^^* 
problema. ( *) Q^. F. 


Differentia viriutn^ quibus corpus in orhe quiefcente^ et 
corpds aliud in eodem orbe revohente aqualiter mover i 
poffunt^ efi in tripUcata ratione communis altitudinis 

Partibus orbis quiefcentis VP^ PK funto fimiles et aequales or- "^p^* YP" 
bis revolventis partes ufypi; et punftorum P, K diftantia intclli- 
gatur efle quam minima. A pun£to k in reftam / C demitte per- 
pendiculm kr, idemque produc ad m^ ut fit /»r ad i^r ut angulus 
FCp ad angulum FCP. Quoniam corporum altitudines PC et 

(*) 124. Fingatur corpus in trajcftoria quacunque revolvi vi tendente ad 
immobile punflum, areafque tempori proportionates defcribere •» in hoc cafu 
angularis velocitas radii vc^oris in inversll duplicata ratione diftantia: variabi* 
tur ( 1 o I ). Ut vero ea quae fequuntur facilios concipiantur, ponamus femitam cor- 
poris yPK rigefcere, vel motum eundem con6ci in linea phyfica craflkudinis 
contemnendar, interea dum hsc orbita motu tranf^rcrfo et angulari velocitate 
femper quadrato diftantia: corporis reciproce proportionali circa centrum 
virium C revolvatur-, hoc motu compofito linea quaedam Fpq m (patio ini- 
mobili defcribetur) et angularis velocitas radii vedtoris Cp ha^ic lineam defcri- 
bentis erit aequalis fummis angularium velocitatum corporis in orbita moventis 
et orbita: ipfius, hoc eft inverse ut quadratum diftantise, et proinde area hoc 
motu defcripta in eadem ratione ac in orbita immobili variabitur ^ area autem 
in orlnta immobili eft tempori proportionalis, ergo in orbita motu hoc compofito 
defcripta erit etiam area tempori proportionalis. Ponamus jam corpus in fpatio 
non refiftente hoc modo moveri, tendetque vis centripeta ad punctum immo- 
bile circa quod area: ills defcribuntur. Temperari fingamus impulfus vis cen- 
tripeta:, ita ut corpus movens fecundum legem prsedifitam in hac linea femper 
inveniatur, et eadem erunt phcenomena, vis, et motus proje£tilis, utrum primo- 
fingamus corpus revera banc lineam circa punAum immobile defcribere, vel in 
trajeAori^ data revolvi, interea dum hsec trajeftoria motu tranfverfo circa cen- 
trum virium revolvltur. 



Sectio pC^ KC tt kC femper aequantur, manifeftum eft quod linearam 
Qri>TA. pQ ^^ pC incrementa vel decrementa femper fint sqnalia, ideo- 
que fi corporum in locis P tt p exiftentium diftinguantur motus 
finguli (per legum corol. 2.) in binos, quorum hi verfus centrum, 
five fecundum lineas PC, pC determinentur, et alteri prioribus 
tranfvcrfi fint, et fecundum lineas ipfis PC, pC perpendiculares 
diredlionem habeant; motus verfiis centrum erunt iequales, et 
motus tranfverfiis corporis p erit ad motum tranfverfiim coqx>ris 
P, ut motus angularis linear pC ad motum angularem lineas PQ 
id eft, ut angulus FCp ad angulum FCP. Igitur eodem tempore 
quo corpus P motu fiio utroque pervenit ad pundlum Jf, corpus 
p sequali in centrum motu aqualiter movebitur a p verfiis C, 
ideoque completo illo tempore reperietur alicubi in linea mkr, 
quae per pun6Vum k in lineam / C perpendicularis eft ; et motu 
tranfverfo acquiret diftantiam a linea p C, quae fit ad diftantiam 
quam corpus alteram P acquirit a linea PC, ut eft motus tranf 
verfiis corporis p ad motum tranfirerfiim corporis alterius P. 
Quare cum kr aequalis fit diftantiae quam corpus P acquirit a 
linea PC, fitque mr ad kr ut angulus FCp ad angulum FCP, hoc 
eft, ut motus tranfirerfiis corporis p ad motum tranfirerfiim corpo* 
ris P, manifeftum eft quod corpus p completo illo tempore repe* 
rietur in loco m. Haec ita fe habebunt ubi corpora p ttP aequa- 
liter fecundum lineas /C et PC moventur, ideoque aequalibus pa- 
ribus fecundum lineas illas urgentur (**). Capiatur autem angu- 
lus p Cn ad angulum p Ck ut eft angulus FCp ad angulum FCP, 
fitque n C aequalis k C, et corpus p completo illo tempore revera 
reperietur in n-, ideoque vi majore urgetur quam corpus P, fi mo- 
do angulus ;; Cp angulo k Cp major eft, id eft fi orbis upk vel mo- 


( >* ) 125. Corpora P, p aequalibus viribus fecundum lineas PC,pC moven- 
tur, quae lineae initio motifs funt ipfae aequales ; diflantise tamen completo illo 
tempore non crunt sequales, nee p in loco n reperietur ; manifeftum enim efl, 
quod corpora cum diverfis velodtatibus ab codem pundlo projefta non aequaliter 
a rcdlo tramite deflcctant ni vires centripctae augeantur vd diminuantur; fit 
igitur motus tranfverfus corporis p major vel minor quam corporis P, corpora 
ilia non eandem acquirent diftantiam^ ni motui corporis f addatur vel fub* 
ducatur vis qusdam mn. 


vctur in confequentia, vel movetur in antecedentia majore celeri- Sectio 
tate quam fit dupla ejus qua linea CP in confequentia fertur ; et ^*'*'^^" 
vi minore fi orbis tardius movetur in antecedentia ('^). Eftque 
virium differentia ut loconim intervallum mn^ per quod corpus 
iilud p ipfius adtione, dato illo temporis fpatio, transferri debet. 
Centro C intervallo Cn vel Ck defcribi intelligatur circulus fecans 
lineas mr^ mn produ6las in s et /, et erit redlangulum mriY^mt 

aequale reftangulo mky. ms^ ideoque mn aequale . Cum 


autem triangula/C^, pCn dato tempore dentur magnitudine, funt 

ir Qtmr^ earumque differentia /»i& et fumma ms reciproce ut alti- 

tudo/C, ideoque reftangulum mk%ms eft reciproce ut quadra- 

tum altitudinis / C. Eft et w/ direfte ut^mt^ id eft, ut altitudo 

p C. Hae funt primae rationes linearum nafcentium s et hinc fit 

— , id eft lineola nafcens mn^ eique propoitionalis virium dif- 
ferentia reciproce ut cubus altitudinis / C. Q/E. D. (') 

Corol. r, 

(^) 126. Quoniam eft wr ad *r ut VCp ad VCP^ prout VCp major eft, 
vel minor, vel scqualis VCP^ erit mr major vel minor vel aequalis ipfi kr-^ et 
mn pofitiva, negativa, vel evanefcens. Si orbis upk movcatur in confequentia, 
patet m r majorem effe quam k r ; ideoque vis altera priori addenda eft, qu4 
corpus p defcribat tnn. Si Orbis upk in antecedentia moveatur cum celeritatc 
<iupla ejus qua linea CP in confequentia fertur, erit angulus VCu asqualis du- 
plo VCP J et VCp aequalis VCP s corpufque in oppofitam partem movens, 
defcribet orbem fimilem et aequalem ipfi VPK: fi orbis in antecedentia mo- 
vetur majori vel minori velocitate, patet mr majorem efle vel minorem quam 
^r, et vim w« in uno cafu addendam efle, in altero fubtrahendam. Si orbis 
in antecedentia movetur eadem celeritate qua CP fertur in confequentia motus 
tranfverfus deftruetur, corpufque p inter apfides movens refta linea afcendet 
defcendetque viciffim. 

(') 127. THEOREMA. Vis ccntrifuga, quas a motu circular! oritur, 
eft in omni orbita, in qua aequales arta^ acqualibus temporibus defcribuntur 
in reciproca triplicata ratione diftantiae. 

Caf. I . Sit enim primo direftio P /? ad radium SP pcrpendicularis. Corpus P Tab. Vlir. 
duabus agitatum viribus accedet vel recedet a centro cum vi qua? eft differentia Fig, 70. 
virium centripetarum et centrifugarum : defcribatur circulus PB cum eadem 
angular! velocitate qua orbita P^, fi corpus acccdat, vel Pq^ fi corpus recedat a 
centro virium > et erit ^B acceflTus corporis ad centrum in priori cafu, et y S 



SicTio CcroL I. Hinc difFerentia virium in locis P et^, vel IC et il, eft 

Quint A. ^j ^j^ ^^^ corpus Hiotu circulari revolvi poffit ^ RzA K eodem 

tempore quo coq)us P in orbe immobili defcribit arcum PJf, ut 

lineola nafcens mmA (inum verfum arcus nafcentis PK^ id eft ut 

^d —7-5; vel ut /^ii X w J ad rk quadratum; hoc eft, fi ea- 
rn/ zkC^ ^ 


teceOus a centre in altero. Sunt igitur ^fi, qB diflFercntias inter vires centri- 

pctas R SIj, Rq tt vires centrifugas in orbitis P^, Pq refpe£tive; et proinde 

vires centrifugae in his orbitis experimentur per quandtates R^— ^B et 

Rf + qB, quse sequales funt vi RB qua circulu3 cum e^m angular! ve- 

locitate dcfcribitur. Vires autem R B uint Temper ut quadrau arcuum fimul 

defcriptorum direfte, et ut radii inverse ; et ob areas aequaks femper areis fimul 

defcriptis in orbitis P^^ Pq^ et proinde aequales inter fe, erunt femper arcus 

inverse ut radii, et vires inverfe ut cubi radiorum. Q^E. D. 

Tab. VIII. ^/ ^' ^^^ J^^^ direftio Pr ad^SP obliqua: ob duedionem proje£tionis 

J^ic.71. * defenur corpus propius ad centrum quam prius per fpauum Rr^ et ob vim 

attra£tivam corporis S defcribit praeterea fpatium r ^: eft autem B^ acceflus 

nempe corporis verfus centrum, aequalis difierentiac inter R ^ totum motum 

, corporis verfus centrum et vim ccntrifugam ; et proinde manet vis centrifuga 

aequalis vi RB qua circulus defcribitur, ut in priori cafu. 

128. Cor I. Ex demonftradone fequitur, quod fi areas non fint temporibus 
proportionates, vires centrifuge erunt in duplicata ratione arearum fimul de- 
icriptarum direfle, et ut cubi diftantiarum inverse : nam arcus circulorum funt 
Hf, area: defcriptae diredle et diftamias inverfe *, et proinde quadrata arcuum per 
diftantias divifa erunt ut quadrata arearum divifa per cubos diftandarum. 

120. Cor. 2. Sequitur edam quud vis centrifuga fit ad vim centripetam, ut 
chorda ilia curvaturac quae per centrum virium tranfit ad duplam difi^ntiam i 
nam vis centrifuga eft vis qua circulus eadem angulari veloeitate defcribitur, 
et haec vis eft ad vim in orbita P ^ direfte in duplicata radone velocitatum, 
et inverse ut chordae curvaturae (42 ), i. e. ob aequales velocitates, ut chordas 
illae inverse. 

130. His pofitis. Prop. xxix. fie demonftrari poteft aliter. Quoniam corpora 
per hyp. aequaliter verfus centrum accedunt vet recedunt, erit differentia virium 
eentripetarum et centrifugarum in mobili orbita aequalis differentiae virium in 
immobili : et proinde diSrentia virium centrifugarum erit aequalis differentiae 
gravitatum. Sit angulus FCp ad angulum VCP in dati ratione G ad P, erunt 
areae dads temporibus defcriptae et areae totae in e^dem radone ; vis centrifuga 
in mobili orbita eft ad vim in immobili, data diftand^ CP, ut G^adP*(i28)^ 
et proinde differentia virium erit ad vim centrifugam in immobili orbita in dati 
ratione GG — PPad PP*, vires autem centrifugae in immobili et in mobili 
orbita variantur in diverfis diftantiis in reciproca triplicate ratione diffamtiarum 
(127)*, et proinde differentia virium centrifugarum, cique aequalis differentia 
gravitatum, erit in eadem ratione. Q. £. D. 


piantur datas quantitates F, G in ea ratione ad inmem quam ha« Sbctio 
bet angulus rCP ad angulumrc^ utGG—FF ad FF. Et *^'"''' 
propterea» fi centre C intervallo quovis CP vel Cp defcribatur fee- 
tor circularis aequalis areae toti FPC^ quam corpus P tempore 
quovis in orbe immobili revolvens radio ad centrum du£i:o de- 
fciipiit ; differentia virium, quibus corpus P in orbe immobili et 
corpus p in orbe mobili revolvuntur, erit ad vim centripetam, qua 
corpus aliquod, radio ad centrum dufto, fe6torem ilium eodem 
tempore, quo defcripta (it area FPC^ uniformiter defcribere po* 
tuiffet, ut GG— FF ad FF. Namque feftor ille et area pCk funt 
ad invicem ut tempora quibus defcribuntun ( • ) 

Corol. 2. Si orbis VPK ellipfis fit umbilicum habens C et apfi*. 
dem fummam Vi eique fimilis et asqualis ponatur ellipfis up k^ ita 
ut fit femper pC aequalis PC^ et angulus VCp fit ad angulum 
VCP in data ratione G ad F; pro altitudine autem PC vol pC 
fcribatur A, et pro ellipfeos latere re6lo ponatur 2 R : erit vis, qua 

corpus in ellipfi mobili revolvi poteft, ut -^-^ H t—^ 

A A A cub* 

et conti*a. Exponatur enim vis qua corpus revolvatur in immota 

FF . FF 

ellipfi per quantitatem •^— , et vis in V erit -—^ j. Vis autem 

qua corpus in circulo ad diflantiam C F ea cum velocitate revolvi 
poflct quam corpus in ellipfi revolvens habet in V^ eft ad vim qua 
corpus in ellipfi revolvens urgetur in apfide V^ ut dimidium lateris 


rc6li ellipfeos ad circuli femidiametrum CV^ ideoque valet ^r^^ — --: 

et vis quae fit ad banc ut GG— FF ad FF, valet ^^f^T"?^^^ ; 
^ Cl^ cub. 

eftque haec vis (per hujus corol. i.) differentia virium in ^qui- 
bus corpus P in ellipfi immota VPK^ et corpus p in ellipfi 


(•) 131. Aliter. Quoniam vis centrifuga fit vis qua circulus eadem angulari 
velocitate dcfcribitur, erit per 130. differentia virium ad vim qua corpus motu 
circular! revolvi poffit ab /2 ad iC eodenl tempore quo corpus P in orbe im- 
mobili dcfcribit arcum PK^ in data ratione GG — FFad FF. 

132. Cor. 2. et 3. in Cor. 4C0, includuntur, et eadem demonltrantur methodo. 


sicTio mobiH upk revolvuntun Unde cum (per banc prop.) difierentia 
QviMTA. m^ ^ ^^^ quavis altitudine A fit ad fapfam in altitudine CFvn 

ad ^777 — p, eadem difierenda in omni altitudine A valebit 

A cub. CVcub.' 

RGG — RFF T -^ J • FF i- ^. 

^ — - — 7 . Igitur ad vim -^-^j qua corpus rcvolvi poteft m 

ellipfi immobili VPK^ addatur cxceffus , j ct com* 

. _ FF . RGG— RFF \ -,. ^ 

ponetur vis tota -^-j H -r — 7 qua coq[>us m eUipu mo- 

AA A cub. 

bili upk iifdem temporibus revolvi poflit. 

Corol. 3. Ad eundem modum colligetur quod, (i orbis immobi- 
lis VPK ellipiis lit centram habens in virium ccntro Cj eique 
fimilis, a&quidis et concentrica ponatur ellipfis mobilis upk ; fitque 
2 R ellipfeos hujus latus re^um principale, et 2 T latus traniver* 
fum five axis major, atque angulus VCp Temper fit ad angulum 
VCP ut G ad F ; vires, quibus corpora in ellipfi immobili ct 


mobili temporibus aequalibus revolvi poflimt, erunt ut = — -r ct 

FFA , RGG — RFF r xv- 

7^^ — -r 4- ;r — T relpechve. 

1 cub. A cub. ^ 

Corol. 4. Et univerfaliter, fi corporis altitudo maxima CF no- 

minetur T, et radius curvaturae quam orbis FPK habet in F^ id 

eft radius circuli sequaliter curvj, nominetur R, et vis centripeta, 

qua corpus in trajeftoria quacunque immobili FPK revolvi pp- 

teft in loco Fy dicatur -■ , atque aliis in locis P indefinite dica« 

tur X, altitudine CP nominata A, et capiatur G ad F in data ra- 

tione anguli FCp ad angulum FCP : erit vis centripeta, qua cor- 

pus idem eofdem motus in eadem traje6loria upk circulariter 

mota temporibus iifdem peragere poteft, ut fiimma virium X + 

VRGG — VRFF .,. 

A cub. ^ ^' 

Corel. 5. 


(0 '33- Aliter. Vis ccntrifuga in loco F eft ad vim centripetam -^r^ , ut 

chorda curvaturac ad duplam diftantiam ( 1 3^)} vel ut R ad Tj ct proindc sequalis 

eft ' 


CoroL 5. Dato igitur motu corporis in orbe quocunque immo- Sectio 
bill, augeri vel minui poteft ejus motus angularis circa centrum "*''^^* 
virium in ratione data, et inde inveniri novi orbes immobiles in 
quibus corpora novis viribus centripetis gyrentur. 

CoroL 6. Igitur fi ad re6lam CF pofitione datam erigatur per- tab. viir. 
pendiculum FP lohgitudiniis indeterminatae, jungaturque CP, et f**^-?^. 
ipli aequalis agatur Cp, conftituens angulum FCp^ qui fit ad an- 
gulum FCP in data ratione -, vis, qua corpus gyrari poteft in cur- 
va ilia F^ quam pun6lum p perpetuo tangit, erit reciproce ut 
cubus altitudinis Cp. Nam corpus P per vim inertiae, nulla alia 
vi urgente, uniformiter progredi poteft in re£la FP. Addatur ^s 
in centrum C, cubo altitudinis CP vel Cp reciproce proportio- 
nalis, et (per jam demonftrata) detorquebitur motus ille redlili- 
neus in lineam curvam Fp k. 


Orbium qui funt circuits maxime finititni requirunlur tno^ 

tus apfidum. 

Problema folvitur arithmetice faciendo ut orbis, quem corpus 
in ellipfi mobili (ut in propofitionis fuperioris corol. 2. vel 3.) re- 
volvens defcribit in piano immobili, accedat ad formam orbis cu- 
jus apfides requiruntur, et quserendo apfides orbis quem corpus 



eft —^;-— i differentia virium c ^\ > ut GC — FF 


ad Fl\ et protnde sequalis eft ^i ' ^"™ ^^^^"^ ^^^ ^'^ ^ ^'^* 

ferentiam in alia quavis altitudinc Ay ut /f 3 ad 7*3, differentia in omni 

V R f^ r^ — . VR FF 
altitudinc A vakbit ^1 • ^ ^'"^ 'S'*"'' ^» *1"^ corpu$ re- 

volvi poteft in immobili orbita, addatur exceffus -j^ , ct com'- 

„ VRGG—VRFF . , . • xv •* • 

. ponctur VIS tou X H ^5 qua corpus ui eadem trajettona cir- 

cularitcr mota iifdem tcmporibus revolvi poflit. 



Sect 10 \\\yj^ \xi plano immoMli defcribit ("). Orbcs autem candem ac- 


quirent formam, li vires centripetae quibus dcfcribuntur, inter fc 
collatae, in aqualibus altitudinibus reddantur proportionales (^), 


(tt) 134. In orbitis fimilibus et sequalibus, vires, fi fumantur sequales diP- 
tancias et correfpondenccs, vel aeauales func, vel datam ad fe rationem femper 
confervant rper hadtenus demonftrata) : hinc fi orbita detur vi auacunque def- 
cripta, et nngatur vis ad centrum aliud tendens, qua? ad eandem diftandam 
a centro fuo vel asqualis eft vel in data ratione ad vim priorem, pofllbile 
erit, ob vim in utroque cafu in eadem ratione variantem, tali velocitate et tali 
dircftione corpus projicere, ut orbitam fimilcm et asqualem priori defcribat ; 
fi vero in hac orbita erui poteft apfidum motus angularis, eruetur etiam in 

(t) '35- Fingatur corpus revoM in ellipfi revolvente, et orbita motu 
compofito in (patio immobili defcripta circularis non evadet fi orbita ellipdca 
excentrica fit, et fumma vel difierenda virium in nulla certa et determinata 
ratione diftandae variabitur *, quo vero propius appropinquat orbita revolvens 
ad formam circularem, orbita in fpatio immobili defcripta eo propius accedet 
ad formam circularem, et lex in qu^ variatur fumma vel differentia virium 
eo propius accedet ad quandam determinatam legem diftantiae; etenim, fi or- 
bita revolvens fiat circdaris, orbita in fpatio immdinii etiam fkt circulus di« 
verfa velocitate ahgulari defcriptus, et lex in qua variatur fumma vel diffe- 
rentia virium ea evadet (vel fractionalis vel Integra) ad quam antea perpetuo 
accedebat. Si enim orbita fit revera circularis, propter diftantias a^uales 
fummas vel differentias virium quantitas erit invariabilis, et proinde banc quan- 
titatem fingere licet in dat& qualibet vel diredS vel inverll ratione diftandas 
variari : ergo, orbita jamjam abitur^ in circulum angular! motu regulari deicri- 
bendum, fingere Ucet unamquamque orbitam propemodum circularem defcribi 
motu corporis in ellipfi revolvente moventis, motumque in hac orbita a vi va- 
riante in quadam certa lege diftantia: vel fi^dtionali vel int^ra oriri, ex eo quod 
difierenda per quam I tali orbita abludat minor fumi poteft [quantitate ulla 
quae affignari poteft, faciendo nimirum ut orbita ad orbitam circularem per- 
petuo appropinquet. 

136. Detur orbita utcunque anomala et vi tendente ad punAum immobile 
defcripta *, capiantur diftantias maximas et minimas quae fe invicem immedia- 
te fequuntur, et defcribatur ellipfis fumm^ harum diftantiarum pro axe, et 
dimidio differentiae pro excentricitate ; ita temperari poteft motus hujufce ellip- 
fis, ut corpus in ilia revolvens femper in orbita data inveniatur, in hoc cafu for- 
fan motus non fit neceffario fecundum legem propofidonis 29 temperatus ^ 
quoniam vero corpus in ellipfi mobili revolvens orbitam quamlibet datam 
defcribere poteft ; et quoniam, fi orbita defcripta fit circularis, haec orbi- 
ta defcribi poteft a corpore in orbita circulari revolvente, interea dum haec ipfa 
orbita rcvolvetur, fequitur quod perpetuo acce0u orbitae datae ad ror- 
mam circularem, motufque angularis ad motum conftantem^ orbita per- 


Sit pun6lum V apfis fumma, et fcribantur T pro altitudine Sect 10 

maitima CV^ A pro altitudine quavis alia CF vel Cpy et ^^^^^' 
X pro altitudinum differentia CF-^CP; et vis, qua cor- 
pus in ellipfi circa umbilicum fuum C (ut in corol. 2.) revolven- 

1 . ,FF. RGG — RFF ,. 
te movetur, quaeque m coroL 2. erat ut t-t+ — r — 7 , id 

^ FFA -f-RGG— RFF r t /%•. 1 ^^ xr « 

eft ut X — T > lubftituendo T — X pro A, erit 

RGG— RFF-f-TFF — FFX „ . ^ . ... ^ . 

ut :: — T . Reducenda nmiliter eft vis 

alia quaevis centripeta ad fraflionem cujus denominator fit A cut. 
et numeratores, fafta homologorum terminorum coUatione, fta- 
tuendi funt analogi. Res exemplis patebit. 
Exempl. I. Ponamus vim centripetam uniformem effe, ideoque 

ut . ^^ , i five (fcribendo T — X pro A in numeratore) ut 

Tr^*.— STTXh-sTXX— Xr«^. ,, . 
A — b' * ^' coUatis numeratorum 

terminis correfpondentibus, nimirum datis cum datis et non datis 
cum non datis, fiet RGG— RFF+TFF ad T cub. ut— FFX 
ad — 3TTX-H3TXX — X cub. five ut — FF ad — sTT-f- 
3TX — XX (*). Jam cum orbis ponatur circulo quam maximc 


petuo appropinquet ad formam orbitse quse ab ellipd revolvente fecundum 
leges prop. 29. defcribi poteft, donee tanctem ab orbita tali quantitate minori 
ulla quae aflignari potell abludat *, in hoc cafu orbitas evadere ponantur fimi* 
les et aequales, et exinde vires proportionales : quoniam vero ope quantitatum 
vi centripetas in ellipfibus proportionalium erui poteft: ellipfis motus, erue- 
tur etiam aplidum motus in orbit^ qua?, comparatione virium^ orbitae defcrip- 
tas ab ellipfi mobili reddetur fimilis et aequalis. 

(«) 1 37. 5/ ^uantitates dua a + x ^/ b + y componantur ex partibas datis a ^/ b, 
et ex part thus -non datiSjJtmul tamen nafcentibusy vel Jimul evanefcentibusy xety^ 
fuerit autem a + x ut b + y ; erit jfemper xady ut siadh. Dem. Cum 
enim ponatur a + x ut b +y, erit temper tf+^ad^+^in dat| radone : 
nafcentibus autem vel evanefccntibus x et ^, eft <a + x ad ^ + j, ut « ad ^ ; 
quare ^ + x erit Temper ad ^ + jr, ut a^db-j ideoque x erit ad y Temper ut 
a Bd b. 

Alitcr. Eft a + x:b + y :: m : nex hypothefi : Rt x tt jf cotemporanea 
finita incremeata vel decrementa x tty^ et erit a+x + x:b +y +y ::m:n 

P 2 ex 



Si!CTio finitiraus, coeat orbis cum circulo i et ob fa£las R, T aequales, 
QyiNTA. atque X in infinitum diminutam, rationes ultimae erunt RCG 

ad T cui. ut — FF ad — 3TT, feu GG ad TT ut FF ad 3 TT, 
ct viciffim GG ad FF ut TT ad 3 TT, id eft, ut i ad 3 ; ideo- 
que G ad F, hoc eft angulus FCp ad angulum FCPy ut i ad 
%/ 3. Ergo cum corpus in ellipfi immobili, ab apfide fumma ad 
apfidem imam defcendendo conficiat angulum FCP (ut ita di- 
cam) graduum 180; corpus aliud in ellipfi mobili, atque ideo 
in orbe immobili de quo agimus, ab apfide fumma ad apfidem 

imam defcendendo conficiet angulum FCp graduum -j- : id i- 

deo ob fimilitudinem orbis hujus, quem coi^pus agente uniformi 
vi centripeta defcribit, et orbis illius quem corpus in ellipfi re- 
volvente gyros peragens defcribit in piano quiefcente. Per fupe- 
tiorem terminorum coUationem fimiles redduntur hi orbes, non 
univerfaliter, fed tunc cum ad formam circularem quam maxime 
appropinquant. Corpus igitur uniformi cum vi centripeta in 

orbe propemodum circulari revolvens, inter apfidem fummam 

et apfidem imam conficiet femper angulum — ^ graduum, feu 

103 ^r. ssm. Z'^fec. ad centrum; perveniens ab apfide fumma 
ad apfidem imam ubi femel confecit hunc angulum, et inde ad 
apfidem fummam rediens ubi iterum confecit eundem angulum; 
et fie deinceps in infinitum. 

Exempl. 2. Ponamus vim centripetam efl!e ut altitudinis A dig- 

nitas qu3elibet A^'^ feu — : ubi n — 3 et n fignificant dignitatum 

indices quofcunque integros vel fraftos, rationales vel irrationa- 


ex hypothcfi; ergo ii + x + x : i+y +y :: a + x: b +y\ ttab + bx 
+ bx-^ ay+yx +yx = ab+ay + ay + bx + xy + xy ^ tt b x + y x 
=, ay + xy\ atque idcirco x * y '.: a -^ x : b ^ y i: m: n. Si vero cotem- 
poranca incrementa vel decremcnta quantitatum duarum, quas fimul exiftere 
incipiunt, femper vel acqualcs fint vel in eadem ratione, quantitatcs ipfae vel 
ascjuales erunt, vel in hac ratione •, hoc eft, crit y:j^::^ + x:^+jfin omni 
Ciilii, ttbx+yxzzay+yxjwdbxzzay^ atque idcirco x:y:ia: b. 


les, affirmativos vel negatives. Numerator ille A* feu T — X|* Sectio 
in feriem indcterminatam per methodum noftram ferierum con- ^^^'^^' 

vcrgentium redu£la, evadit T" — n XT*~' + ^fH? x X T*"^ &c. 


Et coUatis hujus terminis cum terminis numeratoris alterius 

RGG— RFF+TFF— FFX, fit RGG— -RFF+TFF ad T' ut — 

F F ad — « T--' + —"11^ XT*^ &c. Et fumendo rationes ulti- 


mas ubi orbes ad formam circularera accedunt, fit RGG ad T* 
ut — . FF ad — »T^S feu GG ad T-" ut FF ad ;y T*-', et vi- 
ciffim GG ad FF ut T«-' ad n T*"' id eft ut i ad n; ideoque G 
ad F, id eft angulus FCp ad angulum FCP, ut i ad v^ n. 
Quare cum angulus FcPy in defcenfu corporis ab apfide fumma 
ad apfidem imam in ellipfi confe£tus, fit graduiun 1 80 ; confi- 
cietur angulus FCpy in defcenfu corporis ab apfide fdmma ad ap- 
fidem imam, in orbe propemodum circulari quem corpus quod- 
vis vi centripeta dignitati A"^ proportionali defcribit, aequalis 

angulo graduum — ^ ; et hoc angulo repetito corpus redibit 

ab apfide ima ad apfidem fummam, et fie deinceps in infinitum. 
Ut fi vis centripeta fit ut diftantia corporis a centro, id eft, ut A 

feu -^ ) erit n aequalis 4 et v/ ^ aequalis 2 ; ideoque angulus inter 

apfidem fummam et apfidem imam aequalis — gr. feu 90 gr. 

Completa igitur quarta parte revolutionis unius corpus perveniet 
ad apfidem imam, et completa alia quarta parte ad apfidem 
fummam, et fie deinceps per vices in infinitum. Id quod etiam 
ex propofitione ix. manifeftum eft. Nam corpus urgente hac vi 
centripeta revolvetur in ellipfi immobili, cujus centrum eft in 
centro virium. Qu(>d fi vis centripeta fit reciproce ut diftantia, 

I A* 

id eft diredle ut x feu ^j, erit n aequalis 2, ideoque inter apfidem 



Quint A. fummam et imam angulus erit graduum -y feu 127 gr. 16 m. 

/^Sfec. & propterea corpus tali vi revolvens, perpetua anguli hu- 
jus repetitione, vicibus alternis ab apfide fumma ad imam et ab 
ima ad fummam perveniet in aetemum. Porro fi vis centripeta 
fit reciproce ut latus quadrato-quadratum undecimae dignitatis 

altitudinis, id eft reciproce ut A^\ ideoque dirc£lc ut -^^ feu ut 

^ erit n aequalis j, et — gr. aequalis 160 gr. et propterea corpus 

de apfide fumma difcedens et fubinde perpetuo defcendens, per- 
veniet ad apfidem imam ubi comple^dt revolutionem integram, 
dein perpetuo afcenfu complendo aliam revolutionem integram, 
redibit ad apfidem fummam : et fie per vices in sternum. (^) 

Exempt. 3 . Aflumentes m tX.n pro quibufvis indicibus dignita- 
tum altitudinisi ^b^c pro numeris quibufvis datis^ ponamus vim 


* (0 138. Sit vis centripeta ut altitudinis dignitas^ qualibet cujus index efi 
n — 3* ^oritur angulus inter apfidem fummam et apfidem imamfe^undum fy- 
fcthefin corellarii tertii ubi nimirum centrum virium coincidit cum centre communi 

Secundum hanc hypodiefin, adhibita notadone Newtoniana^ vis centripeta 
eft ut -rp-- + Scribatur i proSTvcIiZjCtvis centripeta jam erit 

_ G*^F* . F»yf4-u^» — F* 
utF»^ + ^^--^,hoceftut ^ ^3 ^- Eftautcm^4 = , _ 

4X8CC. ct F* A^ zz F^ — j^F^ Xj &c. quarc vis centripeta efl ut 

F^^^F^X + G^^ F^ . ^G^^4F*X 

J. , vcl ut —^ \ ponitur autem vis centripeta 


ut Ar^ '^^'yh} ^^^ -^ eft ut G» — 4 F» JT: fed ^ = i — » Z, &c. qua- 
rcG* — 4i^-ycftuti— »-jrj undc eft G* ad i, ut 4 F* ad » ; undc G»* 2 F 

X » = 4 J?**, et (?* = - — ^ ct G = — ;s. Scd in hac hypothcfi eft F 90 Grad. 

^ s/n 

cum fit 90 Grad. angulus inter apfidem fummam et apftdem imam in ellipli 

quiefcente : Quare angulus inter apfidem imam, ubi vis centripeta eft ut A"*^^ 

erit —=.9 idem nimirum qui prodit ex hypotheli corollarii fccundi. 


ccntripetam cue ut — — -^ — , id eft, ut ; L qwikta, 

^ A cui. A cub. 

feu (per eandem methodum noftram ferierum convergentium) ut 
*T-+cT'— w^XT-'— «rXT' 'H-^^^2?^XXT-"4^^rXXT« &c. 

A cui. 
ct coUatis numeratorum terminis, fiet RGG — RFF-HTFF 

ad ^T-+^T-, ut — FF ad— /^i^T^'— ^cT— + 2LIll^^XT- 


;^« — ^n 

cXT^ &^c. Et fumendo rationes ultimas quae prodeunt 

ubi orbes ad formam circularem accedunt, fit GG ab ^T""*-|- 
rT— S ut FF ad miT'^' +ncT'-\ et viciffim GG ad FF ut 
^T"*' -t- rT*"' ad miT*^' + ncT^\ Qjiae proportio, expo« 
nendo altitudinem maximam C^feu T arithmetice per unitatem 

(«) fitGGadFFut^+c ad >»^H-»r, ideoque ut 1 ad^*"*"^^ 

Unde eft G ad F» id eft angulus VCp ad angulum VCP^ ut i ad 
^ ^f "^^^> Et propterea cum angulus VC P inter apiidem lum- 

mam et apfidem imam in ellipfi immobili fit 180^. erit angulus 
FCp inter eafdem apfides, in orbe quern corpus yi centripeta 

quantitati . f — proportionjdi deferibit^ aequalis angulo gra^ 
duum 180 v/— 7 • Et eodem argumento li vis centripeta fit 

A A * — r A * 

Ut — 7 > angulus inter apfidcs invenietur graduum 280 

A CUum 

(*) 139, Ratio fubduplicata quantitatum iST*** + ^f *•* ad mbT'^^ + 
nc T'^' fetnper exprimec rauonem G ad jP, fubftituendo queoilibet numenim 
pro altitudine maxima T: R numerus fubftituatur unitate major vel mi- 
nor, quantitates t^^^ et 7**"' non erimt fibi invicem acquales, ct proinde ra- 
tio G ad F non exprimetur in terminis quantitatum i + c ctmi + nc: po- 
nendo vero T unitati apqualem, 2**^' et y""* crunt fibi invicem a^uales, et 
ratio praedida b ^"^* + c T'^^ ^mb T*"^ +nc 7*"*% Temper exprimens ra- 
nem G* ad F^, hac methodo eruta prodibit ratio t + c admb + nc. 


sbctio / • ^g^ jfjj^yg refolvctur problema in cafibus difiiciliori- 

bus, Quantitas, cui vis centripeta proportionalis eft, refolvi fern- 
jper debet in feries convergentes denominatorem habentes A cui. 
Dein pars data numeratoris qui ex ilia operatione provenit ad ip- 
fius partem alteram non datam, et par« data numeratoris hujus 
RGG — RFF-f-TFF — FFX ad ipfius partem alteram non da- 
tam in eadem ratione ponendae funt : Et quantitates fuperfiuasde- 
lendo, fcribendoque unitatem pro T, obtinebitur proportio G ad F. 
Corol. I . Hinc fi vis centripeta fit ut aliqua altitudinis dignitas, 
invehiri poteft dignitas ilia ex motu apfidum ; et contra. Nimi- 
rum fi motus totus angularis, quo corpus redit ad apfidem ean* 
dem, fit ad motum angularem revolutionis unius, feu graduum 
360, ut numerus aliquis m ad numerum alium n, et altitudo no- 

minetur A : erit vis ut altitudinis dignitas ilia A*" > cujus in- 
dex eft — -r- 3. Id quod per cxeropla fecunda manifeftum eft ('). 

Unde liqjiet vim illam in majore quam triplicata altitudinis ra- 
tione, in receffu a centro, decrefcere non poffe ( ^ ). Corpus tali 


(*) 140. Per exempla fecunda manifeftum eft, quod motus totus angularis 
quo corpus redit ad apfidem eandem fit ? — =, pofito quod vis centripeta fit 

ut altitudinis ^dignitas quselibet ^^S cujus index efl:^.-*.3 ; in hoc corolla- 

• •*» ^ Ml ^ 760m ^^ . . 360 m 060 
no expnmitur motus me per ^ j fit igitur ^ -. J—, et per rcfolu- 


tioncm aequationis fit p — 3 = -- — 3, quo fubftituto, eft vis centripeta ut 



altitudinis dignitas ilia J 

(^) 141. Hoc eft, orbita qua movetur corpus cum vi, quae in rcceflli a 
ccritro decrefdt in majori quam triplicata ratione altitudinis, non defcribi 
poceft motu corporis in peripheria ellipfeos, dum cllipfis rcvolvitur circa focum 


fuum: patct enimquantitatem ^*«""' non exprimere majorem quam in- 

vcrfam triplicatam diftantiae rationcm, ni ponatur — negativa, in hoc cafu 


fit motus apfidum 360 x y/ , quae eft jquantitai impofllhilis. 


vi rcvolvens deque apfide difcedens, fi coeperit defcendere nun- Sicno 
quam perveniet ad aplidem imam feu altitudinem minimam, fed ^^''^^^ 
defcendet ufque ad centrum, defcribens curvam illam lineam de 
qua egimus in coroL 6. prop, xxix (•). Sin coeperit iilud, de 
apfide difcedens (^), vel minimum afcendere; afcendet in infini- 
tum, neque unquam perveniet ad apfidem fummam. Defcribet 
enim curvam illam lineam de qua a£tum eft in eodem 
corollario. (*) Sic et ubi vis, in receffu a centre, decrefcit 


(^) 142. Si enim vis gravitatis fit in apfide ilia major quam vis centrifuga, 
quoniam in e^em variatur ratione, eric Temper major, corpufque verfus cen- 
trum perpetuo defcendet : et contra fi minor fit, corpus afcendet in ijifinitunf), 
neque ad maximam altitudinem unquam perveniet. Idem patet ex exemplo 
fecundo hujus problematis ; nam fi vis centripeta variatur in inversa triplicata 
ratione diftantiae, in quantitate A'^\ Gtnznoi et motus angularis ab apfide 

ad apfidem erit — , quae eft quantitas indefinite magna. 

(^) 143. Si corpus non de apfide difcedat, ad apfidem pcrvenire poteft. Tab.VIIL 
Sit enim Vpk curva de qua aftum eft in Cor. 6. Prop. 29, manifeftum eft Fiq.jz. 
quod corpus p^ non ab apfide difcedens, movere poflit a punfbo p verfus ^ 
ea lege, ut fit Icmpcr Cp apqualis CPj et angulus FCp ad angulum FCP in 
data ratione : corpus p hac lege movens, perveniet ad apfidem imam Fy et 
poftea afcendet in infinitum. 

(«) 144. Quoniam enim vis centrifuga variatur in inversS triplicata ratione 
altitudinis, et vis gravitatis in majore quam in hac ratione, patet, quod fi vis 
centrifuga in apfide ilia major fit quam vis gravitatis, vim centriAigam in mi« 
nori decrefcentem ratione femper majorem efle, et corpus afcendere in infini« 
mm. Et contra, fi vis centrifuga minor fit quam vis gravitatis, quoniam in 
acceflu corporis ad centrum minus augeatur, erit (emper minor, corpufque ver« 
fus centrum defcendet. Quo major eft dignitas diftantiae cui vis gravitatis eft 
reciproce proportionalis, eo citius corpus ad centrum defcendet : fi vis gravi- 
tatis fit in inversa triplicata ratione altitudinis, corpus non nifi infinitis revolu« 
tionibus ad centrum perveniet: fi vis fit reciproce ut quadrato-cubus altitudi- 
nis, et corpus jufta projiciatur velocitate, defcendet in circulo ir4 cujus periphe- 
ria eft centrum virium per Cor. i. Prop, iv -, et fi velocitas projeftionis fit ad 

velocitatem in circulo ad eandem diflantiam ut i ad \/T, corpus in centrum 
decidet poft quartam partem revolutionis : fi vis gravitatis fit reciproce in aua« 
druplicata ratione diftantiie, et corpus projiciatur cum velocitate quas£ft ad 

velocitatem quacirculus defcribitur ad eandem diftantiam, ut \/2 ad v/ 39 de* 
fcribet coipus illud epicycloidcm, et poft dimidiam revolutionem in centrum 
decidet : fi gravitas fit reciproce ut dignitas diftantias cujus indeK eft » +3» et 

Q^ vclocitai 


StcTto in majore quam triplicata ratione altitudinis, corpus de apfi- 
Quint A. j^ difccdcns, pcrindc ut cccperit defcendere vel afcendere, vel 
defcendet ad centrum ufque vei afixndet in infinitum. (^) At ii 
vis, in receflu a centro, vel decrefcat in minore quam triplicata 
ratione altitudinis, vei crefcat in altitudinis ratione quacunque ; 
corpus nunquam defcendet ad centrum ufque, fed ad apfidem 
imam aliquando perveniet : et contra, fi corpus de apfide ad apfi- 
dem alternis vicibus defcendens et afcendens nunquam appeliat 
ad centrum ; vis in receffu a centro aut augebitur, aut in minore 
quam triplicata altitudinis ratione decrefcet : et quo citius corpus 
de apfide ad apfidem redierit, eo longius ratio virium recedet a 
ratione ilia triplicata. Ut fi corpus revolutionibus 8 vei 4 vel 2 
vel 1 1: de apfide fumma ad apfidem fun;imam alterao defcenfu et 
aicenfu redierit s hoc eft, fi fuerit /» ad ;i ut 8 vel 4 vel 2 vel i^wi 

1, ideoque — — 3 valeat^— .3 vel A— 3 vcU — 3 vel^. — 3 : 


ytlocicas prc^dionis fitad velodcatem qua circulus defer ibitur ad ea&dem di- 
ftantiam ut i ad v^ i + -, corpus in centrum deddet poft partem revokitio- 

nis quae eft ad totam ut — ad i. (Vid. Mac. FI. Art. 437.) 

(^) 145. Si gravitas variatur in minore quam triplicata ratione ^diflantiae 
patet qu6d fi major fit quam vis centrifiiga in fu|)eriori parte orbits, tardius 
tamen in acceflii ad centrum auda, minor erit quam vis centrifiiga in inferiori 
parte orbita?, et corpus ad priorem diftandam recedet. Si gravitas fit in mr 
vers^ triplicati ratione diftancias corpus ab apfide fumm^ diicedens ad jf^fidem 
imam nunquam penreniet. Si gravitas fit in inversa duplicate nitioQe difian^ 
tiae, corpus in femiellipfi defcendens in dimidil revolutione ad apfidem imam 
perveniet. Si gravitas fit in reciproc4 qu^am ratione diftantiae, quae miaor 
tA quam triplicata, major autem quam duplicata, corpus ad apfidem perveniet 
poft partem revoludonis plufquam dimidiam ; vis enim centrifuge diffidlius 

Sravitatem fuperabit. Contra, fi gravitas fit in minore qulm du{dicat& ratione 
ftantiae, vis centrifiiga citius gi^vitatem fuperabit, et corpus ad imam apfi- 
dem in minore quam dimidiarevclutione defcendet* Patet igitur^ fi gravitas St 
in inversa duplicata ratione diftantiae, ^fides quiefcere, fi in majori quim in hie 
ratione, ferri in confequentia^ fi in minori, in antecedentia, et contra, Unde^ 

3>ftdibus planetarum motu lentiffimo et fere infenfibili progredientibus^ con- 
udimus virium centripctanun proportiones baud multum aberrare ab inversa 
duplicftta diftanciarum. 


critvis ut A"""^ vel A"^^""' vel A ''^ "^ vel A'^"'^ id eft reciproce ut q^ivtI, 

A '**"" vel A """^ vel A^"^"*^ vel A'""^* Si corpus fingulis revo- 
lutionibus redierit ad apfidem eandem immotam ; erit madnuti 

ad I, ideoque A*« dsqualis A feu j-j. ; et propterea decre-^ 

A A 

mentum virium in rationc duplicata altitudinis, ut in praeceden- 

tibus demonftratum eft. Si corpus partibus revolutionis unius vel 

tribus quartis, vel duabus terdis, vel una tertia, vel una quarta» 

ad apfidem eandem redierit ; erit mzdnxxt ^ vel 4. vel 4. vel ^ ad 

—^9 j-i. p^ 9—1 16— I 

I, ideoque A** aequalis A * "" vel A"'^ ' vel A vel A ; 

ct propterea vis aut reciproce ut A ^ vel A ^, aut direfte ut A • 
vel A ' ^ Denique fi corpus pergendo ab apfide fumma ad apfidem 
fummam confecerit revolutionem integrams etpraetereagradustres^ 
ideoque apfis ilia fingulis corporis revolutionibus confecerit in con- 
fequentia gradus tres ; erit f» ad « ut 3 63 ^r. ad 3 6o^r. five ut 1 2 1 ad 

ad 120, ideoque A** erit aequale A "" ; et propterea vis 

» 95*11 ^ 4 4 

centripeta reciproce ut A " ♦*** feu reciproce ut A '^'^ proxime; 

Decrefcit igitur vis centripeta in ratione paulo majore quam du- 
j)licata> fed quae vicibus 59 1 propius ad duplicatam quam ad trie 
plicatam accedit. 

CoroL 2. Hinc etiam fi corpus, vi centripeta quae fit reciproce ut 
quadratum altitudinis, revolvatur in ellipfi umbilicum habente in 
centre virium, et huic vi centripetae addatur vel auferatur vis alia 
quae^ cxtraneas cognofei poteft (per exempla tertia) motus 
apfidum qui ex vi ilia' extranea orietur: et contra (^). Ut fi 


(s) 146. Vi variant! in inversa duplicata ratione diftantias addatur pcrpetup 
vis in triplicata radone ejufdem diftandac, et fumma non variabitur fecundum 
ullam difiandae l^em determinatam ; quo vero pro[Hus accecfit orbita ad for- 
mam circularem eo propius accedit lex vis compofitas ad legem quandam du« 
plicatam inter et triplicatam diflantiaS) ita tandem ut in orbita propemodum 
circulari fumma revera variabitur fecundum determinatam quandam diftan- 
tia? legem. Auferatur a vi in duplicata inversa variante vis ipfi diftantiae-pro^ 

Qji portionalis 


<iv"TA. vis qua, corpus revolvitur in ellipfi (it ut -t-t, et vis cxtranca ab- 

lata ut rA, ideoque vis reliqua ut —^ = — ; crit (in exemplis 

A cud. 

tertiis) 6 asqualis i^m aequalis i,et » aequalis 4, ideoque angulus revo- 

I *"^C 

lutionis inter apfides sequalis angulo graduum 180 \/ . 

Ponamus vim illam extraneam eflc 357. 45 partibus minorem quam 
vis altera qua corpus revolvitur in ellipfi, id eft c effc t4-74t> ex- 

iftente A vel T aequali i, et 180 v/ ^ ^ evadct 180 v/ 4.' * ♦» 

feu 180. 7623, id eft, 180 gr. 45 m. 44/ Igitur corpus de apfide 

fumma difcedens, motu angulari 180 gr. 45 m. j^f. perveniet ad 

apfidem imam, et hoc motu duplicato ad apfidem fummam redi- 

bit: ideoque apfis fumma fingulis revolutionibus progrediendo 

conficiet i gr. 31 m. 2^ fee. Apfis lunae eft duplo velocior cir- 



pordonalis, et refiduum quoque in orbita propemodum drculari fccundum 
determinatam quandam diftantiae legem variaoicur. Fingatur igttur vim, 
compoficam ex vi crefcente in inversa duplicate et vi addidda creicente in 
inversa triplicaca, variari in eadem ratione ac vis, compofica ex vi crefcente in 
inverse duplicad et vi abladda diftantias proportionali, et quoniam motus 
apfidum ex variatione vis in majori vel minori radone quam inversi duplicate 
dUlantiae pendet, idem erit in utroque cafu eomndem motus. 

( ^ ) 1 47. Jnventantur propordo vis abladdae ad vim addiddam, et earundem 
quantiutes per calculos a Newtoni principiis pendentes; et, fubtrahendo fum- 
mas virium additidarum a viribus ablatidis, inveniatur excefliis vis abladdae 
fupra vim addiddam ; ponatur hunc exceflum, fublato motu regreflivo, agere 
per totam orbitam lunarem, et apfidum motus hinc oriundus dimidium erit 
mot&s ab aftronomis obfervati. Probavit verp Newtonus hunc motum dinii- 
diatum neceflario oriri ex quandtate ill^ data vis abladda?, et proinde cau&m 
motfis illius dimidiad re£te exponit ex priQci|dis hujufcei fedionis ; altera vero 
pars hujufee moti^ ab excentricitate orbitae lunaris, motu in tangente variabiD, 
motu ipfius telluris, aliiique caufis^ de quibus in hac leftione nulla habetur 
ratio, petenda videtur. 




V- /* 



SECT 10 VI I'crio 


De motu corporum viribus centripetis fe^mtuo petentium^ 

Haftenus expofui motus corportim attraftorum ad centrum 
immobile, quale tamen vix extat in rerum natura. Attraftiones 
cnim fieri folent ad corpora ; et corporum trahentium et attrafto- 
rum aftiones femper mutuae flint et aequales, per legem tertiam : 
adeo ut neque attrahens poffit qoiefcere neque attradhun, fi duo 
fint corpora, fed ambo (per legum coroUarium quartum) quafi 
attraflione mutua, circum gravitatis centrum commune revolvan- 
tur : et fi plura fint corpora, quae vel ab unico attrahantur, et 
idem attrahant, vel omnia fe mutuo attrahant ; haec ita inter fe 
moveri debeant, ut gravitatis, centrum commune vel quiefcat, vel 
uniformiter moveatur in direftum. Qua de caufa jam pergo mo- 
tum exponere corporum fe mutuo trahentium, confiderando vires 
centripetas tanquam attraftiones, quamvis fortaffe, fi phyfice lo- 
quamur, verius dicantur irapulfus. In mathematicis enim jam 
yerfamur : et propterea, miflis difputationibus phyficis, familiari 
utimur fermone, quo poffimus a leftoribus mathematicis facilius 


Corpora duo fe invicem trahmtia defcribunt^ et circum 
commune centrum gravitatis^ et circum fe mutuo^ figuras 

Sunt enim diftantiae corporum a communi gravitatis centro re- 
ciproce proportionales corporibus ; atque ideo in data ratione a4 
invicem, et componendo in data ratione ad diftantiam totam iur 
ter corpora. Feruntur autem hae diftantiae circum terminum 
fuum communem aequali motu angulari, propterea quod in di- 



^ rscrm in-^cz %ic^nzs son mctant xcclinatioam ad fe mutoo. 
Ltzat T~grr: r^cjc, q::x iunt in daa ntioac ad inrican, et zqiiali 
Eisc^:: inguliTi circum tcnninos foos fcnmtiir, figans dream coC- 
dem tcn&iiiG-s in pianis, cfos nna cmn his tcnninis ¥cl qiiiiefiniii^ 
Tt! sstooi quos'ii cmi angolari mcnrcntar, dcfinbont amnino find- 
Ics. Prcindc fimifes fimt figorx, qua: his cfiffamtns ciituiuftis 
ddcribantur ( ). QJS.D. 


♦.< I 

Si corpora duo virikus quihufim Je mutuo trabtmt^ tt in- 
urea revohuniur circa graoitatis cttitntM coumuou: 
dic9 quod figurisy quas corpora fie mota d^riitaU cir- 
cum Je mutuo, potefi figura fimilis et teqmoBsy etrcum 
corpus alterutrum immotumy viribus iifdem d^crihi. 

TA9.I3L Revolvantur corpora 5, P circa conmnme gr avi t atis centnun 
f<6'74< C, pei^gendo dc S ad T, deque P ad i^ A dato pundo s ipfis 


(^ ) 148. PrcQkiantar corpora 5, 7* in contrariis dirrfHonibns ita at cen* 
ITas. IX. XTum gravitatis C quiceicat ; ct fi in dato tempore corpus T'ad pundom rper- 
'^^' 7h vcniaty et agttur ic^ eric corpus alterum in linca ilk produda; et diftantia 
gut Cs art ad C/, ut ouandtas materiae corporis T ad quandtamm mattrise 
corporis 5, hoc eft, ut Co ad CT^ per natuiam centri gravitatis; ct proiiide» ob 
anguhim SCs aequalem anguk> T€ij erant figurae SCs^ TCij dica commune 
cencrum gravitatis deicripta^ fimiles. Pkseteiea, corpora j; 9* defcribuot edaoi 
circa fe mutuo figuras et fimilcs inter ic, et finiUes etiam %uris dica puni^ 
Cdefoipcis: cofpus enim 7* per arcum 7*/ movens ddcrioec dita qmefcens 5 
anfi;ulum TSi^ moveat interea S per ^patium Ss^ et ddbribetnr pij e ttfta an- 
guTus aequalis angulo Sis^ qui duo anguli fimul lumpti gqnalrs iunt cxtemo 
anguloT'C/: codem modo c^endi poteft corpus S deJcribete drca T angulum 
aequalem angulo SCs : unde, quoniam per natunun centri gravitatis, totae in- 
fer corpon mftantiae funt, et inter fe, et ad diftantias a centro gi avita t is Cin 
data ratione, ie^tur quatuor illas figuras fimiles efle; 

Projiciantur jam corpora Sy T itz ut corpora ilia cum centra C quidcente 
non jaceant in e^m reda, turn moveUtur centrum illud unifbrmiter in di- 
ledum, et motus corporum inter fe itdem enint ac fi centrum iSiid qinelceret 
(Cor. 6« 1^. mot) ^ ideoque figura: fimiles fimt vi pnus. 


SP, T^ aequales et parallelae ducantur femper spy sq; et curva Sicna 
fqvy quam pun£tum p revolvendo circum punclum immotum s 
defcribit, crit fimilis et aequalis curvis, quas corpora jS, P defcri- 
bunt circum fe mutuo: proindeque (per theor. xxi.) fiimlis cur- 
vis ST ct P^Fj quas eadem corpora defcribunt circum com- 
mune gravitatis centrum C: idque quia proportiones linearum 
SQ CP, et 5P vel sp ad invicem dantur. 

Caf. I. Commune illud gravitatis centrum C, per legum corol- 
larium quartum, vel quiefcit, vel movetur uniformiter in direftum. 
Ponamus primo, quod id quiefcit, inque j et / locentur corppra 
duo, immobile in j, mobile in /, corporibus 5 et P fimilia et 
aequalia. Dein tangant reftae PR et /r curvas P^ctpq in P et /, 
et producantur C^et jy ad 22 et r. Et ob limilitudinem figura- 
nun CPR^y sprq erit R^dArq ut CP ad sp^ ideoque in data 
ratione. Proinde fi vis, qua corpus P verfus corpus 5, atque ideo 
verfus centrum intermedium C attrahitur, effet ad vim, qua cor- 
pus p verfus centrum s attrahitur, in eadem ilia ratione data ; has 
vires aequalibus temporibus attraherent femper corpora de tan- 
gentibus P 22, / r ad arcus P^ / q per intervalla ipfis proportio- 
nalia 22^, rq^ ideoque vis pofterior efficeret, ut corpus p gyrare- 
tur in curva/ J' i;, quae fimilis effet curvae P^J^j in qua vis prior 
efficit, ut corpus P gyretur; et revolutiones aifdem temporibus 
complerentur. At quoniam vires lllx non funt ad invicem ia 
ratione CP ad ^/, fed (ob fimilitudinem et a^ualitatem corporum 
iS et /, P et /, et aequalitatem diflantiarum SP^ sp) fibi mutuo 
esquales} corpora aequalibus temporibus sequaliter trahentur de 
tangentibus : et propterea, ut corpus pofterios p trahatur per in- 
tervallum majus rq, requiritur tempus majus, idque in fubdupli* 
cata ratione intervallorum ^ propterea quod (per lemma decimum) 
fpatia ipfo motus initio defcripta funt in duplicata ratione tem- 
porum. Ponatur igitur velocitas corporis p effe ad velocitatem 
corporis P in fubduplicata ratione diftantiae sp ad diftantiam CP^ 
€o ut temporibus^ quae fint in eadeoi fubduplicata ratione, defcri- 




bantur aims /y, P^. qi£ fimt in rzaooc intcjra ' *" ; : 
P, / riribus arqnaSbns fcap er arrraL^ dcfcibcnr cnum mir.if 
qirrfcmtia C c: j %cra£ fenfks P^J^^ /F^r qiannxs jiuBr'lar 
/y-r firf}^V^v eft cT agyisTJt fignnt, qoam ccpirpas P £l:r.LnTi xa 
mabik 5 ddciibst. Q^^. D- 

Ctf/I z. Foaamns jam quod commimt g;ailLalj£ rfffniami^ 
cum ^do in quo co!q»n morcDSsr ir ler ^ 
mrtcx in direSnm ; ct {per kgnm corDllarazm facmn^ 

w • •• « 

^ <»•••«•■& «i M m«« 

4 -*i •!« 

ne5 in hoc (patio p a j gcnm r m piius, kkoqor cacpuui 

circum fe mtitao fignras caidcci ac piiiis, ct piujpici g ai £gmx /f 9 

£ffli!rs ct a»]ua]n. Q^E. D. 

C9nl. I. Hinc c ofp o r a duo Tinbos cfiftantsae fiae propoRiflBi. 
libus fe matoo trahenfia, ddbibmit (per prop, ix.) cr 
commune graritatb cailnm u ct dxrom St 


eentrkas ( ); ct Tice reifi^ fi tales fignne 
diftuxtic proportiooalcs* 


t -ft • »• »■ 1 »- 


• •(I •• tr ft I 

• (') 149. S i^noics 'm P ec • fberiflt b 
cofpora P ttp dcKjibcDC aicoi fiiialfi Id 

dapbcaia ilia noiooe ; ec fi r rl wiiitfi io ^ctf fbcxiot a 

ob fimilinidmcm arcooni at %/CPad ^sp^ ovpoia P ft f pagem 

fr"<^ in conporifaas propoitinnaBhiw dcicribcre. Yideanas ago 

tates in ^cta fint ad innocm in hie laMoe. Angofi CP^ ct j/y ob S- 

mHitudincoi nt&s oofporan P tt fin conns fiauEfans 

ueuuipctx oiubus luK oorpora in fincas conras dem ^ 

csuttiir. Sed viies aqmlcf fimiliw a|mliiaije ▼docicttcs 

pfopoftJop aies ; ergo incremeata Td dccicuicnta trine if Jimo in bcii 9 ttf 

fiint ut v/CP ad \/^ Addanmr hjcc inatmenoird fubdacwGor docre* 

menu Tdodtadbos inPtt f qoc fint cdam ut ^CPmA ^ if^ ct pradi- 

bunt trloriiatct in ^ ct y ctiam in c adem iBa iatioDc> Sunt ergo ^dodiaics 

in Jocis omnibus fimOibos at %/CP ad y/Tf. 

(1) 150. Deicribat coqns 7* lineam 7*/ ; cc n t nin i oititg circa S defcripoe 
cm in ipfi> corpore S ; ddoibat intcrca S fineam Ssi ct centra arcunm om- 
fuom cp^to nunimonun, cjuos oofpus 7* dica 5 defcribit, inTcnicntur perpenM) 
in finca Ssi completa ig^ur cod revolatkMiCy ipla orfaita axporis 5 locos ciit 
oni aiam centroiam ; ct centrum ejus C omtram erit todus orfaitr a corpcic 
7* circa 5 deicripcx. Eodem nx)do patct, centrum orbits quam corpus f drca 


Corol. 2. Et corpora duo, viribus quadrato diftantiae fuae red- Sect 10 
proce proportionalibus, defcribunt (per prop. xiii. xiv. xv.) et 5**^^* 
circum commune gravitatis centrum, et circum fe mutuo, feftio- 
nes conicas umbilicum habentes in ccntro, circum quod figurae 
defcribuntur. Et vice verfa, fi tales figurae defcribuntur, vires 
centripetae funt quadrato diftantiae reciproce proportionales. 

Corol. 3. Coipora duo quae vis circum gravitatis centrum com- 
mune gyrantia, radiis et ad centrum illud et ad fe mutuo du6lis, 
defcribunt areas temporibus proportionales. 


Corporum duorum S et P, circa commune gravitatis cen- 
trum C revolventium^ tempus periodicum ejfe ad tempus 
periodicum corporis alterutrius P, circa alterum immo- 
turn S gyrantisy et Jiguris^ quce corpora circufnfe mutuo 
defcribunt^ Jiguram Jimilem et tequalem defcribentis^ in 
fubduplicata ratione corporis alterius S, adfummam cor- 
porum S -I- P. 

Namque, ex demonftratione fuperioris propofitionis, tempora, 
quibus arcus quivis fimiles PS^ttpq defcribuntur, funt in fubdu- 
plicata ratione diftantiarum CP ct SP vel spy hoc eft, in fubdu- 
plicata ratione corporis S ad fummam corporum S+P. Et com- 
ponendo, fummae temporum quibus arcus omnes limiles P^et 
pq defcribuntur, hoc eft, tempora tota, quibus figurae totae fimiles 
defcribuntur, funt in eadem fubduplicata ratione. Q^E. D. 






Si corpora duo S et P, viribus quadrato difiantice fuce re- 
ciproce proportionalibus^ fe mutuo trahentia^ revohuntur 
circa gravitatis centrum commune: dico quod ellipfeos^ 
quam corpus alterutrum P hoc motu circa alterum S de-- 
fcribitj axis principalis erit ad axem principalem ellip- 
feos^ quam corpus idem P circa alterum quiefcens S eo- 
dem tempore periodico defcribere pojfet^ ut fumma corpo- 
rum duorum S-i-F ad primum duorum medie propor^ 
tionalium inter banc fummam et corpus illud alterum S. 

Nam ii defcriptae ellipfes cflent fibi invicem oequales, tempora 
periodica (per theorema fuperius) forcnt in fubduplicata ratione 
corporis S ad fummam corporum 5-1- P. Minuatur in hac ratio- 
ne tempus periodicum in ellipfi pofteriore, et tempora periodica 
evadent aequalia; ellipfeos autem axis principalis (per prop, xvii.) 
minuetur in ratione, cujus haec eft fefquiplicata, id eft in ratione^ 
cujus ratio 5 ad 5-f-P eft triplicata j ideoque erit ad axem princi- 
palem ellipfeos aiterius, ut primum duorum medie proportiona- 
lium inter iS+P ct 5 ad5-t-P. Et invcric, axis principalis ellip- 
feos circa corpus mobile dcfcriptx erit ad axem principalem de- 
fcriptae circa immobile, ut 5 -f- P ad primum duorum medie pro- 
portionalium inter 5 + P et iS ( "» ) . Q^j: . D. 


(«) 151. Cum 7**:/* : : 54-P:.S perprop. xxxiii; et 7** :/» :: ^3 : ifs, 
(pofitis nempe Atx, X pro axibus ellipfium defcriptarum) per prOp. xvii ; erit 
S +P : 5 : : yf 3 : A3. Sed cum quatuor quantitates geometrice proportionales 
fint, prima eft ad quartam, ut cubus primae ad cubum fecundae ; ergo duobus 

mediis proportionalibus inter S + P et S fumptis, eft 5 + P ad 5 ut 5 + P ad 
cubum primi horum duorum, ideoque 5 + P ad primum illud ut yf ad X. 
Tai IX. ^5^- Methodus media dua proportionalia invcniendi hasc fit. Sint £ ct P 

Ficl 75.' rcftae duse lincae longitudinis cujufcunque, ct a punfto J ducantur lincae J B 





Si corpora duo viribus quibufvis fe mutuo trahentia^ neque 
alias agitata vel impedita^ quomodocunque fnoveantur\ 
tnotus eorum perinde fe habebunt^ ac fi non traherent fe 
tnutuo^ fed utrumque a corpore tertio in communi gravi-- 
tat is centro conjiituto viribus iifdem traberetur : Et vj-^ 
rium trahentium eadem erit lex refpe&u difiantice cor- 
porum a centro illo communi atque refpe&u aijlantice 
totius inter corpora. 

Nam vires illae, quibus corpora fe mutuo trahunt, tendendo ad 
corpora, tendunt ad commune gravitatis centrum intermedium ; 
ideoque eaedem funt, ac fi a corpore intermedio manarent. Q;^. D. 

Et quoniam datur ratio diftantiae corporis utriufvis a centro 
illo communi ad diflantiam inter corpora, dabitur ratio cujufvis 
poteftatis diftantiae unius ad eandem poteftatem diftantiae alterius ; 
ut et ratio quantitatis cujufvis, quae ex una diftantia et quantita- 
tibus datis utcunque derivatur, ad quantitatem aliam, quae ex al- 
tera diftantia, et quantitatibus totidem datis, datamque illam di- 
ftantiarum rationem ad priorcs habentibus fimiliter derivatur, 
Proinde fi vis, qua corpus unum ab altero trahitur, fit direftc vel 
inverfe ut diftantia corporum ab invicem ; vel ut quaelibet hujus 


ct AC ad invicem perpendiculares. Fiat parabola ADGy cujus axis eft AB 
cujufque latus reftum aequatur linear £, ducaturque alia parabola ADHy cu- 
jus axis eft AC cujufque latus reftum lineas i^aequalis eft. Hae parabola 
fefe interfeccnt in punfto A et demiflis perpendiculis DC, D 5, eft E: BD:: 
BD : BA (Ham, Con. Seft. L, II. P. i.) et BD : DC vel BA.iDC vel 
BA : F. Ergo £, -SD, BA et F funt quatuor geometrice proportionalcs. 

153. Hinc inveniri poflunt diametri principales orbium'quos planeta: dc- 
fcribunt. Capiendae funt enim in ratione fubfefquiplicata temporum periodi- 
corum per prop, xvii, et deinde flgillatim augendaein ratione fumm£ maflarum 
folis ct planetae cujufque revolventis ad primum duorum medie proportiona- 
iium inter banc funimam et folcm. 

R 2 


Sectio diftantiae poteftas ; vel denique ut quantitas quaevis ex hac diftantia 

Sejcta. ^^ quantitatibus datis quomodocunque dcrivata: erit eadem vis, 

qua corpus idem ad commune gravitatis centrum trabitur, direfte 

itidem vel inverfe ut corporis attrafti diftantia a centro illo com- 

muni, vel ut eadem diftantiae hujus poteftas, vel denique ut quan* 

titas ex hac diftantia et analogis quantitatibus datis fimiliter deri- 
vata. Hoc eft, vis trahentis eadem erit lex rcfpe6hi diftrantias 
utriufque ("). Q^E, D. 


Viribus quibus corpora fe mutuo trahunt crefcentibus in 
fimplici rat tone dijiantiarum a centris : requiruntur mo- 
tus plurium corporum inter fe (^). 

Tab. IX. Ponantur primo corpora duo T et L commune habentia gravi- 
'c- 76. jj^|.jg centrum Z). Defcribent haec (per coroUarium primum theo- 
rematis xxii.) ellipfes centra habentes in £>. 


* ( " ) 1 54^ Movcantur duo corpora 5 et P circa commune gravitatis centrum 
C, ct nominetur S P, ^, et CP, 2 ; ct ponantur corpora «S et P aequalia, ita ut fit 
xzn 2z\ exponamus denique vim centripetam qua corpus S trahit corpus P 
per quantitatem aliquam compofium, quails eft jix + 5x*, habitis A tiB 
pro quantitatibus quibuflibet datis, et fi exponatur lex^^ + Bx^ perpotefta- 
tcs ipfius z evadet 2/1z-\'j^Bz^\ vel pofitis ^ et ^ pro lA vel 4^, lex vis ccri- 
tripetae ad commune centrum C tendentis fiet az + bz^\ et quantitas ^z+^z* 
femper erit ajqualis quantitati Ax + Bx\ Statuatur jam corpus aliquod m 
communi centro C, quod trahat corpus P vi centripeta az + bz^^ corporc 5 
jam deftrufto -, et corpus P jam trahetur ad corpus in centro C conftitutum 
omnino pariter ac prius, tum quoad diredionem, turn quoad quantitatem vis 

* ( * ) ^55' L EM M A. Si feratur corpus aliquod L circa centrum D cum vi 
centripeta quae fit ut ^ x DL, tempus periodicum erit reciproce in fubduplicati 
ratione quantitatis A. Nam (per Cor. 2. Prop, ix.) tempus periodicum idem 
erit ac fi corpus L circulum defcriberet circa centrum D ad diftantiam quam- 
vis DL: dcfcribat ergo; et fi tempus periodicum vocctur 7*, erit AxDL ut 

^YT (pc^ Cor. 2. Prop, iv) ; undc erit 7** ut ^ et 7* ut -y=» Q^K. D. 

156. Pofitts 


Trahat jam corpus tertium S priora duo STet L viribus accelera- |kctio 
tricibus S% SL^ et ab ipfis viciffim trahatur. Vis 57* (per legum 
corol. 2.) refolvitur in vires 52), DT-, et vis SL in vires 5Z), DL. 
Vires autem DTyDL, quae funt ut ipfarum fumma 7X, atque ideo 
ut vires accelcratrices quibus corpora 7* et L fe mutuo trahunt, ad- 
ditae his viribus corporum T et i, prior priori et pofterior pofte- 
riori, componunt vires diftantiis DT ac DL proportionates, ut 
prius, fed viribus prioribus majores; ideoque (per corol. i. prop. 
IX, et corol. i. et 8. prop, iv.) efficiunt uf corpora ilia defcribant 
ellipfes ut prius, fed motu celeriore. Vires reliquae accelcratrices 
SD ct SDy aftionibus motricibus SDxTctSDxLj quae funt 
ut corpora, trahendo corpora ilia aequaliter et fecundum lineas 
Tly LKy ipfi DS parallelas, nil mutant fitus eorum ad invicem, 


156. Pofitis aua; in hac prop, trahat corpus unumquodque corpora reli- 
qua cum vi acccleratrice, quae fit ut corpus trahcns et diftantia corporum at- 
traftorum conjunftim •, et exponctur vis qua corpus T trahit corpus L per 
quantitatem T x ^Ly cumque lit L ad 9" ut 7*2) ad 2? L, erit {componendo) 

7* + L ad 7* ut TL ad DL •, undc T %TL aequalis erit T + L% DL : tra- 
hitur ergo corpus L ad centrum commune D, pcrinde ac fi corpus T toUeretur 
ct aliud corpus 7*+ Z* in communi centro D immotum conftitucretur ; et tem- 
pus periodicum corporis L circum 2> erit ad tempus pcriodicum corporis L 
circum T immotum, in fubduplicata ratione corporis 7* ad fummam corporum 
*r+L (155.) Accedat jam corpus tertium 5,ct vis qua cor pus S trahit corpus 2* 

exponctur per 5 x 57*, aequalis viribus SxTD + S%S D. Sim iliter vis qua 

corpus S trahit corpus L asqualis erit viribus SxLD + S xSD: quare fiim- 

ma virium, qua corpus 5 trahit corpora T et L, eft S x TD + S x DL -+- 

Sx2SD\ fed vis 5X25 D minime pcrturbat motum fyftcmatis ut demonftrat 

Newtonus -, et vi 7* + L x DL, qua corpus L trahebatur ad centrum D ante 
acceflum corporis 5, jam add itur vis S x DL^ ita ut vis tota qua corpus L 

trahitur ad centrum D jam fit 5 + 7* + L x DL •, minuitur ergo tempus pe- 
riodicum corporum 7* et L circa commune ipforum gravitatis centrum D per 
acccffum corporis 5 in fubduplicata ratione 5 + 7'+Lad7'4-L5 et corpus 
alterutrum, puta L, trahitur ad centrum D perinde ac fi corpora 5 et 7* hib- 
movcrentur, et corpus 5 + 7* + L in communi centro D collocaretur. Simili- 
ter fi accedat corpus quartum V^ trahetur corpus L ad centrum D perinde ac 
fi corpora ^, 5, T fubmoverentur, et corpus ^4-5 + 7'+Lin centro D col- 
locaretur, et tempus periodicum acceflu corporis y minuetur in fubduplicata 
ratione ;^+ 5 + r+L-ad 5 +7'-J- L. 



Sectio fed faciunt ut ipfa acqualiter accedant ad lineam IKi quam du6tam 

concipe per medium corporis 5, et linear DS perpendicularcm. 

Impedietur autem ifte ad lineam IK accelTus faciendo ut fyflema 

corporum T ct L ex wna parte, et corpus S ex altera, juftis cum 

velocitatibus, gyrentur circa commune gravitatis centrum C. Tali 

motu corpus 5, eo quod fumma virium motricium SD x T' et 

SDxL, diftantiae CS proportionalium, tendit verfus centrum C, 

defcribit ellipfin circa idem C; et punftum X), ob proportionalcs 

CiS, CD, defcribct ellipfin confimilem e regione. Corpora autem 

T'et L viribus motricibus SDxTttSDxL, prius priore, pofte- 

rius pofteriore, aequaliter et fecundum lineas parallelas TlctLK^ 

ut diclum eft, attracla, pergent (per legum coroUarium quintum 

et fextum) circa centrum mobile D cllipfes fuas defcribere, ut 

prius. QJE. I. 

Addatur jam corpus quartum ^, et fimili argumento conclude- 

tur hoc et pundtum C ellipfes circa omnium commune centrum 


Hsec funt phflcnomcna motuum binorum quorumcunque corporum circa 
commune ipforum gravitatis centrum. Videamus jam pha?nomena motuum 
rcfpedhi reliquorum centrorum C ct B. Co rpus S trahitur ad corpus T vi 

ccntripeta T-a TS aequali viribus TxTD + T x SD ; fi mili ter vis, q ua cor- 
pus S trahitur ad corpus L, scquatur viribus L x LD + Lx i>D\ qu arc 
lumma viriu m quibus co rpus trahitur a corporibus T ct L^eAT xTV + 

L X LD + 5r+L xSD. Scd vires T% TD ct L x LDy cum fint sequales 
ct contr ariac, ex natura ccntri gravitatis fc mutuo dcftruunt ; manct itaque vis 
T+L xSD qua corpus trahitur a corporibus 7* et L, paritcr ac fi corpora 
ilia 7* ct L in unum coalefcerent, ct in communi centro D locarentur. Porro 
cum fint ex natura ccntri gravitatis .9 ad 7*+ L ut CD ad CS^ ct compo ncndo 

S + T+LsdT+LutSDadSCjCritT + L^SD = S + r+L xSCi 

ergo corpus S trahitur ad commune centrum C cum yi S + T + L x SC. 
Acccdat rur fus corp us quartum ^, ct vis qua F trahitur ad S erit SxFS^ 
S X SC + Sxy Cj et vis qu a corpus V trahitur a corporibus 7* et L erit 

T+LxCD + T+Ly^ VC^ uti ante difhim eft ; quarc vis tota qua corpus 

^trahitur a corpori bus g, r , L, eft 5 x 5C + T+L xCD + S +T+L x FC. 
Scd vires iSx5Cct7*+Lx CD fe mutuo dcftruunt ut prius ; quarc vis qui 

corpus y trahitur a corporibus 5, 7*, L eft S + T+L x ^C : eft autem F ad 
S + T'+Lut^Cad FBy ct componcndo /^+ 5 + 7*+ L eft ad 5+7^4-^ 



gravitatis 5 defcriberc; manentibus motibus priorum corporum Sectio 
% L et S circa centra D et C, fed acceleratis. Et eadem metho- s«*ta. 
do corpora plura adjungere licebit, Qj^. L 

Haec ita fe habent, etfi corpora T tt L trahunt fe mutuo viri- 
bus acceleratricibus majoribus vel minoribus quam quibus trahunt 
corpora reli^ua pro ratione diftantiarum. Sunto mutuae omnium 
attraftiones acceleratrices ad invicem ut diftantiae dudlae in cor- 
pora trahentia, et ex praecedentibus facile deducetur quod corpora 
omnia aequalibus temporibus periodicis ellipfes varias, circa om- 
nium commune gravitatis centrum B, in piano immobili defcri- 
bunt, QJE. I. 


Corpora plura^ quorum vires decrefcunt in duplicata ra-- 
tione diftantiarum ab eorundem centris^ moveri pojfe in- 
ter fe in ellipfibus\ et radiis ad umbilicos duSiis areas de-^ 
fcribere temporibus proportionates quam proxime. 

In propofitione fuperiore demonftratus eft cafus ubi motus plu- 
res peraguntur in ellipfibus accurate. Quo magis recedit lex vi- 
rium a lege ibi pofita, eo magis corpora perturbabunt mutuos 
motus 5 neque fieri poteft, ut corpora, fecundum legem hie pofi- 
tam fe mutuo trahentia, moveantur in ellipfibus accurate, nifi fer- 


ut VC ad VB : eft ergo S + T + Ly^VC—V'-^S'^r + L x VB. 
Trahitur ergo corpus unumquodque V ad comcnune omnium centrum B 
omnino fimiliter ac fi corpus i^ + 5 •+-?*+ L sequale nempe toti fyfte- 
mati in communi centco£ conftitueretur ; et vires abfolutae ad centra 5,C,2), 
tendentes sequales funt inter fe. Sunt ergo tempera periodica turn corpori* 
uniufcujufque circa centrum By turn trium quorumcunque circa centrum C, 
turn duorum quorumcunque circa centrum I) aequalia inter fe, et ad tempus 
periodicum corporis L circa centrum immotum T in fubduplicata ratione cor- 
poris T ad totum fyftema ^+ 5 + 7*+ L. Trahant jam corpora T et L fe 
mutuo viribus vel majoribus vel minoribus quam quibus trahunt castcra, et 
tempus periodicum fyftematis T+L drca centrum D minuetur vel augebitur 
in fubduplicata ratione virium auAarum vel diminutarum ( 155) ; fed motus re- 
liquorum ex hac virium intcnfionc vel remiffione minimc pcrturbabitur. 


Sectio vando certam proportionem diftantiarum ab invicem. In fequen- 
Sexta. ^[yyj^ auteni cafibus non multum ab ellipfibus crrabitur. 

Caf. I. Pone corpora plura minora circa maximum aliquod ad 
varias ab eo diftantias revolvi, tendantque ad fmgula vires abfolu- 
tx proportionates iifdem corporibus. Et quoniam omnium com- 
mune gravitatis centrum (per legum corol. quartum) vel quiefcit 
vel movetur uniformiter in direftum, fingamus corpora minora 
tam parva efle, ut corpus maximum nunquam diftet fenfibiliter 
ab hoc ccntro : ct maximum illud vel quiefcet, vel movebitur uni- 
formiter in direftum, fine errore fenfibili -, minora autem revol- 
ventur circa hoc maximum in ellipfibus, atque radiis ad idem 
duftis defcribent areas temporibus proportionates 5 nifi quatenus 
errores inducuntur, vel per errorem maximi a communi illo gra- 
vitatis centro, vel per adliones minorum corporum in fe mutuo. 
Diminui autem poflunt corpora minora, ufque donee error ifte, 
€t aftiones mutuae fint datis quibufvis nainores; atque ideo 
donee orbes cum ellipfibus quadrent, et areas refpondeant tem- 
poribus, fine errore, qui non fit minor quovis dato. ^E.O. 

Caf. 2. Fingamus jam fyftema corporum minorum modo jam 
defcripto circa maximum revolventium, aliudve quodvis duorum 
circum fe mutuo revolventium corporum fyftema progredi uni-. 
formiter in diredhim, et interea vi corporis alterius longe maxi- 
mi et ad magnam diftantiam fiti urgeri ad latus. Et quoniam 
^quales vires acceleratrices, quibus corpora fecundum lineas pa- 
rallelas urgentur, non mutant fitus corporum ad invicem, fed ut 
fyftema totum, fervatis partium motibus inter fe, fimul transfe- 
ratur, efficiunt : roanifeftum eft quod, ex attraftionibus in cor- 
pus maximum, nulla prorfus olietur mutatio motus attradlorum 
inter fe, nifi vel ex attradlionum acceleratricum inaequalitate, vel 
ex inclinatione linearum ad invicem, fecundum quas attrafliones 
fiunt. Pone ergo attraftiones omnes acceleratrices in corpus 
maximum eflTe inter fe reciproce ut quadrata diftantiarumj et 
augendo coi'poris maximi diftantiam, donee redlarum ab hoc ad 
reliqua dudarum differentiae refpeftu earum longitudinis, et in- 




cKnationes ad invicern minores fint, quam datae qusevisj perfeve- Sectio 
rabunt motus partium fyftematis inter fe fine erroribus, qui non 
fint quibufvis datis minores. Et quoniam, ob exiguam partium 
yiarum ab invicern diftantiam, fyftema totum ad modum corpo- 
ris unius attrahitur j movebitur idem hac attraftione ad modum 
corporis unius ; hoc eft, centro fuo gravitatis defcribet circa corpus 
maximum feftionem aliquam conicam (viz. Hyperbolam vel 
parabolam attradlione languida, ellipfin fortiore) et radio ad 
maximum du6to defcribet areas temporibus proportionates, line 
ullis erroribus, nili quas partium diftantiae, perexiguae fane et 
pro lubitu minuendae, valcant efficere. Q^.O. (**) 


(**) ^57* Sumatur pro hypothefi centrum fyftematis mundani quidcerc 
(quod ab omnibus conceflum eft, dum aliqui terram, alii ibiem in centro fyfte- 
mads quielcere contendunt) et videamus quid inde fequatur. 

1 m6. Commune gravitatis centrum terra^ foUsy et planet arum omnium quiefcit. 
Nam centrum illud (per legum Cor. iv.) vel quicfcet, vel progredietur uni- 
formitcr in dircdhim. Sea centro illo femper progredicnte, centrum mundi 
movebitur quoque contra hypothefin. 

2d6. Sol motu perpetuo agitatur^ fed nunquam a communi gravitatis ccn^ 
ho planetarum omnium longe recedit. Nam cum materia in (ble (119) fit 
ad materiam in jove ut 1067 ad i, et diftantia jovis a fole fit ad femidiame- 
trum Iblis in ratione paulo majore [eft enim utiii5adi,] incidet commune 
centrum gravitatis jovis et folis in pun£tum paulo fupra fuperficiem iblis. 
Eodem argumento cum materia in fole fit ad materiam in fatumo ut 3021 ad 
l^ et' diftantia laturni a fole fit ad femidiametrum folis in ratione paulo mi* 
nore, incidet commune gravitatis centmni faturni et folis in punfbum paulo 
infra fuperficiem folis. Et ejufdem calculi veftigiis infiftetldo, fi terra ec planetas 
omnes ex una folis parte confifterent, commune omnium gravitatis centrum 
^x Integra (blis diametro a centro iblis diftaret. Aliis in cafibus, diihintia 
centrorum femper minor eft. Et proptcrea cum centrum illud gravitads per- 
petuo quiefcit, fol pro vario planetarum fitu in omnes partes movebitur, fed a 
centro illo nunquam longe recedet. 

Hinc commune gravitatis centrum terra?, folis et planetarum omnium pro 
centro mundi habendum eft. Nam cum terra, fol, et planeta? omnes gravi- 
tent in |b mutuo, et propterca pro vi gravitatis fuae fecundum leges motus per- 
petuo agitentur : penpicuum eft, quod horum centra mobilia pro mundi cen- 
tro quiefcente habcri nequeunt. Si corpus illud in centro locandum eflfet ia 
quod corpora omnia maxime gr^vitant (uti vulgi eft opinio) privilcgium iihidf 
concedendum eilet foli. Cum autem fol moveatur, eligendum erit punfhim 
quieicens, a quo centrum iblis quam minime difcedit, et a quo idem adhuc 
minus d^cederet, fi modo fol denfior eilet et major, ut minus moveretur. 

S 3ti6. 


SicTio Simili argumenta pergcrc licet ad cafus magis compofitos in 

SzxTA. infinitum. 

CaroL I . In cafu fccundo, quo propius accedit carpus omniuia 
maximum ad fyftcma duoram vel pkiiium, eo magis turbabuntur 
motus partium fyftematis inter fe; propterea quod linearum a 
corpore maximo ad has du6tarum jam major eft inclinatia ad in^ 
vicem> majorque proportionis inaequaUtas^ 
• Corol. 2- Maxime autcm turbabuntur, ponendo quod attra^Ho- 
nes acceleratrices partium fyftematis, verfus. corpus omnium^ 
maximum, non fint ad invicem reciproce ut quadrata diftantia- 
rum a corpore ilia maximo ; jwefertim fi proportionis hujus 


3(16. PlaneU moventur in eUipJtbus umbiUcum bahmtiBus in centra folis^ 
it radiis ad centrum illud duSlis areas defcribunt temparibus proportionates^ 
Difputavimus fupra de his mocibus ex phsenomenis. Jam cognitis motuiim 
principiis, ex his collig^mus motus codeftes a priori. Quoniam pondera 
planetanim in Iblem funt reciproce ut quadrata diftantianim a centro folis^ & 
ycA quie(ceret et planetae reliqui non agercnt in fe mutuo, forent orbes eorum 
elliptici,folem inumbilico communi habcntes^ et arear deicriberentur tempori- 
bus properrionales (per prop, i, et xiii, et Cor. i. prop, xv.) : a&iones auten^ 
planetarum in fe mutuo perexiguap funt (ut poffint contemni) et motus plane- 
tarum in elltpfibus circa folem mobilem minus perturbant, quam fi motus iUi 
circa iblem quiefeentem peragerentur. 

A£tio quidem jovis in iatumuin non eft omnino contemnenda. Nam gravi«- 
tas in jovem eft ad grayitatem in iblem (paribus diftantiis) ut i ad 1067 (119)^ 
ideoque in conjunflione jovis et (atumi, quoniam diftantia faturni a jove eft 
ad diftantiam latumi a fole fere ut 4 ad 9, erit gravitas faturni in jovem ad 
cravitatem famrni in folem, ut 81 ad 16 x 1067, feu ut i ad 21 1 circiter, Et 
nine oritur perturbatio orbis faturni in iingulis planetae hujus cum jpve con- 
jun6liontbus adeo fenfibilis ut ad eandem aftronomi ha^reant* In his con- 
junftionibus gravitates acceleratrices folis in faturnum, jovis in faturnum, et 

jovis in folem, funt fere ut i6» 81, et 2—* feu 156609, ideoque 

differentia gravitatum folis in fatumum et jovis in laturnum eft ad gravitatem 
jovis in folem, ut 65 ad 1 56609, feu i ad 2409. Huic autem differcntiaB pro- 
portionalis eft maxima faturni efiicacia ad perturbandum jovis motum, et 
propterea perturbatio orbis jovialis longe minoF eft quam ea feturnii. RcU- 
quorum orbium perturbationcs funt adnuc knge minores praeterquam quod 
orbis terrae fenfibiliter perturbatur a luna. Commune centrum gravitatis terrae^ 
ac lunae, ellipfin circa folem in umbilico pofitum percurrit, et radio ad folem 
dudlo areas in e^dem temporibus proportionates defcribit^ terra vcro circa hoc 
centrum commune motu mcnftruo revolvitur. 


tnsqualitas major fit quam inaequalitas proportionis diftantiarum Sscno 
a corpore maximo. Nam fi vis acceleratrix, aequalitcr et fecun- ^^"^^^ 
dum lineas parallelas agendo^ nil perturbat motus inter fe, ne- 

cefTe eft, ut ex a6tionis inaequaUtate perturbatio oriatur> major- 
que fit vel minor pro majore vel minore inaequalitate. ExcefiTus 
impulTuum majorum, agendo in aliqua corpora et non agendo in 
alia, neceflario mutabunt fitum eorum inter fe, Et hxc pertur- 
batio addita perturbationi, quae ex lineai^um inclinatione et inae- 
qualitate oritur, majorem reddet perturbationem totam. 

Coroly y Unde fi fyftcmatis hu}us partes in. ellipfibus, vel cir- 
culis fine perturbatione infigni moveantur ; manifeftum eft, quod 
ea^dem a viribus acceleratricibus, ad alia corpora tendentibus, 
aut non urgentur nifi leviflime, aut urgentur aequaliter, et fe- 
cundum lineas parallelas quamproxime. 


Si corpora triaj quorum vires deer ef cunt in duplicata ra-- 
tione diftantiarum^ fe mutuo trahant ; et attra&iones 
acceleratrices binorum quorumcunque in tertium fint in- 
ter fe reciproce ut quadrata diftantiarum ; minora au- 
tern circa maximum revohantur : dico quod interius 
circa intimum et maximum^ radiis ad ip/um du^is^ 
defcribet areas temporibus magis proportionates^ et figu-- 
ram ad frrmam ellipfeos umbilicum in concurfu radio- 
rum habentis magis accedentem ; fi corpus maximum his 
attraEtionibus agitetur ; quam fi maximum illud vel a 
minoribus non attraEium quiefcatj vel multo minus vel 
multo magis attraEium^ aut multo minus aut multo ma- 
gis agitetur. 

Liquet fere ex demonftratione corollarii fecundi propofitioni$ 
praecedentis} fed argumento magis diftini^ et latius cqgente fie 


S 2 Caf. 1. 


Sectio Caf. I. Revolvantur cofpora minora P ct 5 in eodem piano cir- 

'^^^* ca maximum 7*, quoram P defcribat orbem interiorem PAB^ et 
Tab. IX, S exteriorem ESE. ^\t SK mediocris diftantia corporam P et 
^^*77' jSj et coq)oris P verfus iS attra6lio acceleratrix, in mediocri ilia 
diftantia, exponatur per eandem. In duplicata ratione 5 AT ad 
SP capiatur SL zA SKy et erit SL attraftio acceleratrix corpo- 
ris P verfus S in diftantia quavis SP. Junge PTy eiquc paralle- 
lam age LM occurrentem ST in Mi et attraftio SL refolvetur 
(per legum corol. 2.) in -attra6liones SM^ LM. Et fie urgebL- 
tur corpus P vi acceleratrice tripUci. Vis ima tendit ad % et 
oritur a mutua attraftione corporum T et P. Hac vi fola cor- 
pus P circum corpus T, five immotum, five hac attraftione a^- 
tatum, defcribere deberet et areas, radio P % temporibus propor^^ 
tionales, et ellipfin cui umbilicus eft in centro corporis T. Patet 
hoc per prop. xiii. et corollaria 2. et 3. theor-xxii. Via altera eft 
attraftionis L Af, quae quoniam tendit a P ad T, fiiperaddita vi 
priori coincidet cum ipfa, et fie faciet ut areae etiamnum tempo- 
ribus proportionales defcribantur per corol. 3. theor. xxii*. At 
quoniam non eft quadrato diftantiae PT reciproce proportion 
nalis (''), componet ea cum vi priore vim ab hac proportione ab- 
errantem, idque eo magis, quo major eft proportio hujus vis ad 
vim priorem,. caeteris paribus^ Proinde cum (per prop* xiii. et 
per coroL 2. theor. xxii.) vis, qua ellipfis circa mnbilicum T def- 
eribitur, tendere debeat ad umbilicum ilium, et efie quadrato 
diftantiae PT reciproce proportionalis ; vis ilia compofita, aber- 
rando ab hac proportione, faciet ut orbis PAB abei'ret a fbrma 
ellipfeos umbilicum habentis in T\ idque eo magis^ quo major 
eft aberratio ab hac proportioned atque ideo etiam quo major eft^ 
proportio vis fecunda^ LM ad vim primamj^^ caeteris paribus. JaoL 


(*i) 158. Si detur SK mediocris diftantia corporum P ctSj vis L Af erit ut 


j^-, nam ex conftruftione SLiSK:: SK* : SP\ ideoque SL x SK: SKx 

SP (id eft SLiSP) iiSK^ : 5P3. fed SLiSPiiLMiPTi crgoL MiPTl: 

SKi : 5P3, ct LMzz ^^p~y id eft dati SKy ut j^^. 




Ycro vis tertia 5 Af, trahendo corpus P fecuiidum lineam ipfi ST Sectio 
parallelam, componet cum viribus prioribus vim, quae non am- 
plius dirigitur a P inT*, quaeque ab hac determinatione tanto 
magis aberrat, quanto major eft proportio hujus tertiae vis ad vi- 
res priores, caeteris paribus: atque ideo quae faciet ut corpus P, 
radio T'P, areas non amplius teraporibus proportionates defcri- 
bat ; atque ut aberratio ab hac proportionalitate tanto major fit^ 
quanto major eft proportio vis hujus tertiae ad vires caeterasr 
Orbis vero P^iB aberrationem a forma clliptica praefata haec vis 
tertia duplici de caufa adaugebit> turn quod non dirigatur a 
P ad T'y tum etiam quod non fit reciproce proportionalis qua- 
drato diftantia; PT (J). Quibus intclleftis, manifeftum eft, 
quod areas temporibus tum maxime fiunt proportionates^ ubi 
vis tertia, manentibus viribus caeteris, fit minima; et quod 
orbis PjiB tum maxime accedit ad praefatam formam ellipticam, 
ubi vis tam fecunda quam tertia, fed praecipue vis tertia fit mi?- 
nima, vi prima manente. 

Exponatur corporis T attra6tio acceleratrix verfus S per lineam 
SN; et fi attra6liones acceleratrices 5A1, iSiVaequales eflent; hae 
trahendo corpora 7* et P aequaliter et fecundum lineas parallelas 
nil mutarent fitum. eorum ad invicem* lidem jam forent cor- 
porum illorum motus inter fe (per legum coroLvi.) ac fi hae at^ 
tra£tionea toUerentur. Et pari ratione fi attradtio SN minor 
cflet attraftione SM^ toller et ipfa attraclionis SM partem SN, 
et maneret pars fola Af iV, qua temporum. et areanmi proportio- 
nalitas et orbitas forma ilia elliptica perturbaretur. Et fimiliter 
fi attra6Uo SN major eflet attra6lione SM^ oriretur ex difFerea- 
tia fola MN perturbatio proportionalitatis et orbitae (•). Sic 


(') 1 59- Si dentur mediocris diftantia SK et diftantia STy crit vis SMut 

~^-, nam SM:LM::ST: PTy unde SMzzl^^^^jy^^ fed (158) LM= 

- gp3 > ergo SM = —jj^y id eft, datis SK et STy ut j^^. 

( * ) 160. Linea per quadraturas C, D duda orbitam PjiB bifariam feca.- 
cet : dum corpus P in ea orbitas fuas parte quod corpori S proximum eft 



Sectio per attraftionem SN rcducitur fcmpcr attra6tio tcrtia fbperior 
StxTA. gj^ ^j attraftioncm AfNi attradione prima ct fccunda manen- 
tibus ptx)rfus immutatis: et proptcrca arcac ac tempora ad pro- 
portionalitatem, et orbita p AB ad formam prsefatam dlipticam 
ttim maxime accedunt, ubi attraftio MN vcl nulla eft, vcl quam 
fieri poffit minima; hoc eft, ubi corporum P et 7* attradiiones ac- 
celerat rices, fafta verfus corpus 5, accedunt quantum fieri po- 
teft ad aequalitatem; id eft, ubi attraftio SN non eft nulla, nc- 
que minor minima attraftionum omnium iSAf, fed inter attrac- ' 
tionum omnium SM maximam et minimam quafi mediocris, 
hoc eft, non multo major neque multo minor attra6tione SK. 

-Caf. 2. Revolvantur jam corpora minora P, S circa maximum 
T in planis diverfis ; et vis L Af, agendo fecundum lineam PT 
in piano orbits PAB fitam, eundem habebit effeftum ac prius, 
neque corpus P de piano orbitac {ux deturbabit. At vjs altera 
NM, agendo fecundum lineam quae ipfi ^^Tparalida eft (atque 
ideo, quando corpus S verfatur extra lineam nodorum, inclinatur 
ad planum orbit» PAB) prater perturbationem motus in longi- 
tudinem jam ante expofitam, inducet perturbationem motus in 
latitudinem, trahcndo corpus P de piano {ux orbitae. Et hsec 
pfcrturf>atio, in dato quovis corporum P et 5" ad invicem fttu, 
crit ut vis ilia generans 3f AT, ideoque minima evadet ubi MN eft 
minima, hoc eft (uti jam expofui) ubi attra6Ho SN non eft mul- 
to major, neque multo minor attraftione SK. QJE.D. 

€oroL 1. Ex his facile colligitur, quod, fi corpora phira mi- 
nora P, 5, R^ &c- revolvantur circa marimum 7^ motus corpo- 
ris intimi P minime pierturbabitur attradlionibus exteriorum, ubi 
corpus maximum T pariter a caeteris, pro ratione virium accelc- 
ratricum, attraHtur et agitatur, atque caetera a fe mutuo. 

throL 2. In fyftemate vera trium corporum T, P, Sf ft attrac- 
tiones acceleratrices binorum quorumcunque in tertium fint ad 


vcrfetar, attra6tio SN minor eft quam SM\ in oppofita parte major eft quam 
^ilf ; iifqae in locis, jn quibus SFj SK sequantur, coeuntibus KetLy cocunt 
qooqac SM^S N^etibi attradtioncs SN^ SMxquzles fiunt. 

j /^^* 





invicem redproce ut quadrata diftantianim; corpus Py radio Sbctiq 
PTy aream circa corpus Tvelocius defcribct prope conjunftio- ^"^* 
nem j4 et oppofitionem B^ quam prope quadraturas Q D. Nam* 
que vis omnis qua corpus P urgetur et corpus T non urgetur, 
quaeque non agit fecundum lineam PT, accelerat vel retardat 
defcriptionem areae^ perinde ut ipfa in confequentia vel in ante-* 
cedentia dirigitur. Talis eft vis NM. Haec in tranfitu corporis 
P a C ad ^ tendit in confequentia, motumque accelerat; dein 
ufque ad Z) in antecedentia^ et motum retardat; turn in confe^ 
quentia ufque ad B, et ultimo in antecedentia tranfeundo a B 
ad C C). 

Carol. 3. £t eodem argumento patet quod corpus P, caeteri» ; 
paribus^ velocius movetur in conjun£tione et oppolitione quam 
in quadraturis (''). 

CoroL 4. Orbita corporis P, cseteris paribus, curvior eft m 

quadraturis quam in conjun€Hone et oppofitione. Nam corpora 

vclociora minus defleflunt a refto tramite. Et praeterea vis KLy 

vel NMy in conjunftione et oppofitione contraria eft vi,^ qua cor* 

pus Ttrahit corpus P^ ideoque vim illam minuit; corpus autem 

P minus defle£let a redo tramite^ ubi minus urgetur in cor-- 

pus T ("). 

CffnL 5:. 

( * ) I ^i . Vis ablatitia MN in motu corporis a qyadratura C*ad conjundtio- j,^^ ^ 
nem^, agens indircdione Pm ipfi ST paralkla, faciet ut Pad centrum T'noa F10.78J 
tendat, fed verfus plagam in quam fit wctus ; contra^ in motu a conjundUooe 
A ad quadraturam Dy faciet ut P tendat in*antecedentia : defcriptio autem area- 
rum acceleratur, li vires declinant in confeauentia ; et retardatur, fi in antece- 
dentia (20). In oppoM parte orbitac vis abhdtia AfiV trahcns STa P veifus S^ 
diminuit gravitatem ipfius P verfus T, et confideranda eft tanquam vis agens 
in corpus P in contraria dircftione ipfi S T parallela ; et proinde in tranfitu a 
D ad By faciet ut corpus tendat ad centrum in conlequentta, et in tranfitu a JS^ 
ad G, ad centrum in antecedentia pofitum. 

(") 162, RefoWendo vim ablatitiam P^ in duas vires, quarum una Pn 
2^t in diredione ipfius TPy altera « » in direftione parallela tangienti, yisnm 
in tranfitu a quadraturis ad fyzygias, agens in direftione qu^ movetur corpus,, 
motum ejus accelerat ; et in tranfitu a fyzyg^is ad quadraturas, agens in con- 
traria direftione, motum ejus retardat. 

( * ) 163. Quo major eft vis^et qui minpr vclocitas, ed major eft curvatufn^ 
et contra. 


Lectio CotoL ^. Undc coi-pus P, cartcris paribus, longius recedet a 
'^^^^ corpore T in quadraturis, quam in conjundione et oppofitione (J). 
Haec ita fe habent exclufo motu excentricitatis. Nam fi orbita 
corporis P excentrica fit, excentricitas ejus (ut mox in hujus 
coroL 9. oftendetur) evadet maxima ubi apfides funt in fyzygiis; 
indeque fieri poteft ut corpus P, ad apfidem fummam appellans, 
abfit longius a corpore T ift fyzygiis cjuam in quadraturis. 

CoroL 6. Quoniam vis centripeta corporis centralis Ty qua qor;^ 
pus P retinetur in orbe fuo, augetur in quadraturis per addition 
nem vis L Af, ac diminuitur in fyzygiis per ablationem vis KL^ 
et ob magnitudinem vis KL^ magis diminuitur quam augetur;. 
eft autem vis ilia centripeta (per corol. 2. prop, iv.) in ratione 
compofita ex ratione fimplici radii TP direfle et ratione duplica- 
ta temporis periodici inverfe : patet banc rationem compofitam 
diminui per adtionem vis KLi ideoque tempus periodicum, fi 
maneat orbis radius 5^P, augeri, idque in fubduplicata ratione, , 
qua vis ilia centripeta diminuitur: au£loque ideo vel diminuto 
hoc radio, tempus periodicum augeri magis, vel diminui minus 
quam in radii hujus ratione fefquiplicata, (per corol. vi. prop.iv.) 
.('). Si vis ilia corporis centralis paulatim languefceret, corpus P 
minus femper et minus attraiStum perpetuo recederet lon^us a 
cehtro Tj et contra, fi vis ilia augeretur, accederet propius. Ergo 
fi a6lio corporis longinqui S^ qua vis ilia diminuitur, augeatur 
ac diminuatur per vices : augebitur fimul ac diminuetur radius 
T'P per vices ; et tempus periodicum augebitur ac diminuetur in 
ratione cempofita ex ratione fefquiplicata radii, et ratione fubdu- 
plicata, qua vis ilia centripeta corporis centralis T, per increment 


(y) 164. Vis LMqua corpus P ad centrum 9" impellimr maxima eft drca 
quadraturas, minima in fyzygiis. Motus vero, qui in corpus P per vim 
addititiam circa quadraturas imprimitur, faciet ut corpus accedat verfuscentruni 
ufque ad i^zygias : retinet enim corpus motum imprelTum, ufque dum vi$ 
ablatitia tollat nunc motum, novumque imprimat in contrariam partem ; de* 
inde corpus recedet iterum a fyzygiis ad quadraturas. 

( ') 165, Vis acceleratrix eft ut vis abfoluta direde et quadratum diftantisb 
inverfe : quoniam vero vis acceleratrix eft ut radius diredte et quadratum tem- 
poris periodici inverse, (ponendo A pro vr accelcratrici, V pro vi abfoluti, ^ 



turn vel decrementum aftionis corporis longinqui 5, diminuitur Sectio 
vd augetur. 

CoroL 7. Ex praemiffis confequitur etiam, quod ellipfeos a cor- 
pore P defcriptae axis, feu apfidum linea, quoad motum angula- 
rem, progreditur et regreditur per vices, fed magis tamen progre-* 
ditur, et per exceffum progreflionis fertur in confequentia. Nam 
vis qua corpus P urgetur in corpus T in quadraturis, ubi vis 
AfATevanuit, componitur ex vi LM ct vi centripeta, qua corpus 
T trahit corpus P. Vis prior LAf, fi augeatur diftantia PT^ 
augetur in eadem fere ratione ciim hac diftantia, . et vis pofterior 
decrefcit in duplicata ilia ratione, ideoque fumma harum virium 
decrefcit in minore quam duplicata ratione diftantiae PT {^)^ et 
propterea (per corol. i. efiicit ut aux, feu apfis fum- 
ma, regrediatur (^). In conjundlione vero et oppofitione vis, 


V R Rz 

pro radio, ctP pro tempore periodico) erit ^^ = pj i et P » = _.j ideoque 

1 6€. Hint patct mcnfes lunares hybcrnos aeftivis efle longiores ; quoniam 
cnim in tempcftate hybema tellus in pcrihelio vcriatur, magis diminuitur vis 
gravitatis qua cum luna ad centrum telluris tendit quam in £uate, et proinde di- 
latatur orbita lunaris : tempus igitur periodicum lunae augetur in fefquiplicata 
ratione diftantiae audtae, et in inversa fubduplicata vis gravitatis diminutae. 

(•) 167. Si, crefccnte diftantia, addatur vis, quae variatur in inversa dupli- 
cata ratione diftantiae, vi varianti in cadem ratione, fumma harum virium de- 
crcfcet in eSdem ilia ratione duplicata. Si vero, crefccnte diftantia, addatur 
vis quae crefcit ut diftantia, fumma major erit quam in priori cafu ; non tanto 
igitur dccremento diminuta, decrefcet fumma in minori quam duplicata ratione 

(*>) 168. Vis centrifuga in omni orbita variatur inverse ut cubus diftantiae 
(127) ; fi vero corpus defcendere incipiat, in quacunque demum ratione finga- 
tur crefcere vis centrifuga, corpus nunquam afcendere incipiet donee ad apfi- 
dem perveniat -, conatur igitur perpetuo vis centrifuga corpus ad apfidem per- 
ducere : quo vero majus eft difcrimen inter variationem vis centrifugae et vis 
gravitatis, eo citius vis centrifuga valebit ad corpus a centro repellendum, vel 
ad apfidem perducere, fi unquam repellere vel ad apfidem perducere poteft. 
St vis gravitatis fit in inversa duplicata ratione diftantiae, vis centrifuga valet 
ad corpus a centro repellendum poftquam angulum graduum x 80 ddfcripfer 

T rit: 


CoroL 8, Cum autem pendeat apfidum progreffus vel regreffus Sectio 
a decremento vis centripetae fafto in majori vel minori quam du- "^^* 
plicata ratione diftantiae TP, in tranfitu corporisab apfide ima 
ad apfidem fummam ; ut et a fimili incremento in reditu ad ap- 
iidem imam ; atque ideo maximus fit ubi proportio vis in apfide 
fumma ad vim in apfide ima maxime recedit a duplicata ratione 
diftantiarum inverfa: manifeftum eft quod apfides in fyzygiis 
fuis, per vim ablatitiam KL feu NM — L Af, progredientur ve- 
locius, inque quadraturis fiiis tardius recedent per vim addititiam 
LM. Ob diutumitatem vero temporis, quo velocitas progrefliis 
vel tarditas regreflus continuatur, fit haec insequalitas longc 

CoroL 9. Si corpus aliquod, vi reciproce proportionali quadrato 
diftantiae fiiae a centro, revolveretur circa hoc centrum in ellipfi; 
et mox^ in defcenfii ab apfide fiimma feu auge ad apfidem imam, 
vis ilia per acceflTum perpetuum vis novae augeretur in ratione 
plufquam duplicata diftantiae diminutae : manifeftum eft quod 
corpus, perpetuo accefiu vis illius novae impulfum femper in 
centrum, magis vergeret in hoc centrum, quam fi urgeretur vi 
fola crefcente in duplicata ratione diftantiae diminutae ; ideoque 
orbem defcriberet orbe elliptico interiorem, et in apfide ima 
propius accederet ad centrum quam prius. Orbis igitur, acceflii 
hujus vis novae, fiet magis excentricus. Si jam vis, in receflu 
corporis ab apfide ima ad apfidem fummam, decrefceret iifdem 
gradibus quibus ante creverat, rediret corpus ad diftantiam 
priorem, ideoque fi vis decrefcat in majori ratione, corpus jam 
minus attra£lum afcendet ad diftantiam majorem et fie orbis ex- 


174. Cum vero LM feu vis addititia eft ubique ut radius P 7*, eft vis abla- 
titia in fyzygiis ad vim addititiam in quadraturis ut ^PiT— PTad P7*, feu 
Ut 2 ad I •, nam in fyzygiis $PKzz 3PT. 

175. Si quaeratur locus inter quadraturas et fyzygias in quo vis ablatitia et 
vis addititia funt apquales, fiat Prnzz^PKy et refolvatur haec in duas mntt Pn^ 
quarum Pn fit radio Praequalisierit, (ob fimilia triangula Piw», TPKy) Pm 

ceu ^PK : Pn ecu PT: : PT: PK-, quare 3 PK'=Pr\ct PT: PK : : s/'l : Ij 
ceu ut 1732 ad 1000 -, in quo cafu angulus PTCzz: 35^^ 26' circiter. 



Sectio centricitas adhuc magis augebitur. Quare fi ratio incrementi ct 
si:xTA- decrementi vis centripetae fmgulis revolutionibus augeatur, auge- 
bitur femper excentricitas; et contra, diminuetur eadem, fi ratio 
ilia decrefcat {^). Jam vero in fyftemate corporum T, P, S^ 
ubi apfides orbis PAB funt in quadraturis, ratio ilia incre- 
menti ac decrementi minima eft, et maxima fit ubi apfides fimt 


{ ^ ) 1 76. Fingamus vim addi quae variatur ut diftanria a centre, fumma va- 
riabitur in minoriquam duplicauratione diftantiae( i67),corpufquead diftantiam 
fuam minimam vel apfidem pcrvenict, priufquam angulum i Sograduum confece- 
rit ( 1 68 ) ; fin fingatur vis addititia variari inverfe ut diftantiae quadratum, corpus 
ad apfidem perveniet, poftquam angulum graduumi 80 de&ripferit;quoniam 
vero tempera perveniendi ad apfidem in utreque cafu asqualia funt, viriumque 
centripetarum fumma in poftcriori cafu major eft quam in priori, cenftat co- 
rundem effcdhim in apfidibus imis, vel eflfedum in sequalibus temperibus pro- 
duftum, majorcm effequando virium centripetarum fumma major evadat ; hoc 
eft, diftantta a foco in apfide ima minor erit fi vis addititia crefcat ut diftantis 
quadratum inverfe, quam fi in diredia ratione diftantiae crefccre ponatur. Dc* 
fcribatur ellipfis, cujus diftantia maxima eft diftanria corporis in orbita ab ap- 
fide fumma, et minima, diftanria ab apfide ima, quando vis addiriria ut 
diftantia crefcit, ut inveniatur orbitae mobilis forma ; et patebit excentricita- 
tem hujufce ellipfeos minorem efle excentricitate illius, quae defcribitur vi 
crefccnte in inversa dupHcata ratione diftantiae. 

Addatur vis, quae variatur in majori quam inversa duplicata rarione 
diftanriae, cerpufque angulum majorem angule graduum 1 80 defcribet, et ad 
- minorem diftantiam defcendet, priufquam ad apfidem vis centrifuga perducere 
potis fit, ob fummam virium centripetarum in hoc cafu majorem ( 1 70). Capiatur 
ut prius diftantia ab apfide fumma, et diftanria ab apfide im^, et his diftanriis 
defcribatur ellipfis, ut inveniatur orbitae mobilis forma, et excentricitas hujufce 
ellipfeos major erit quam prioris. 

Auferatur vis crefcens in ratione plufquam duplicata diftanriae, refi- 
duum variabitur in minori quam inversa duplicata; vel vis, fi corpus defcendero 
incipiat, minor erit quam fi fubtrahatur vis, quae eftinverfe ut quadratum di^ 
ftan tiae •, et proinde corpus ad apfidem perveniet angulo 1 8o^r, nondum dcfcripto. 
Et diftanria ejus ab apfide major erit quam fi fubtraheretur vis crefcens in du- 
plicata ratione diftantiae. Defcribatur igitur ellipfis, cujus diftantia maxima^ 
eft diftantia corporis in orbita ab apfide fumma, et minima, diftanria ab 
apfide ima, ut inveniatur orbitae mobilis forma, et excentricitas minor erit 
quam in orbita, quae defcriberetur fi vis ablatiria in rarione duplicata diftantiasi 

Sit vis ablatitia in minore quam duplicata rarione diftanriae inversS, vd ut 
ipfa diftanria crefcat, et refiduum erit majus quam in cafu priori, et in rarione. 
majori variabitur; corpufquehac vi agitatum orbitam deicribens, cujus apfidem 
in conliequenria feruntur, propius accMetad centrun), priufquam iUud vis cen- 



in fyzygiis (^). Si apfides conftituantur in quadraturis, ratio Sbctio 
prope apfides minor eft et propc fyzygias major quam duplicata ^"^ 
diftantiarum, et ex ratione ilia majori oritur augis motus direftus 
uti jam dictum eft* At fi confideretur ratio inerementi vel de- 
crement! totius in progreffu inter apfides, haec minor eft quam 
duplicata diftantiarum* Vis in apfide ima eft ad vim in apfide 


trifuga ad apfidem perducere potis lit. Defcribatur ut prius elliplis diftaatiis ab 
apAdibus pro maxima et minimi diftanti^, ut inveniatur orbitas roobilis forma^ 
et excentricitas hujufce ellipfeos major erit quam in cafu priork 

Attamen notandutn eft, nos non comparare orbitam, quae vi additiria vel ab- 
iauda defcribetur, cum orbita quae defcriberetur nulla vi addititia vel ablatitii 
agente: folummodo vero comparamus orbitam, quae defcribitur vi ad<- 
dititia vel ablatitia variantibus in minori quam duplicata ratione inversa, cum 
orbids quae viribus addititiis vel ablatitiis, in ratione duplicata vel plufquam 
duplicata inversa crefcentibus, delcribcrentur; et ex prasmiffis confequitur, ex- 
centricitatis mutationem eo cflfe majprem vel minorcm, quo magis vel minus vp- 
res ablatkiae et addititiae fummam vel refiduum virium centripctarum ab inveria 
duplicata ratione diftantiae recederecogant. Si cnim excentricitas orbitae, quae de- 
fcribitur vi ablatitia varianti ut diftantia, major (it quam fi vis ilia ablatitia 
foret in inverfa duplicata ratione diftanriae; patet, quo magis vis ablatitia. 
vim centripetam ab inversa duplicata ratione diftantiae recedere cogat, eo ma- 
jorem efle excentricitatis variationem ; vel ut Newtoni verba ufurpemus, fi ra- 
tio inerementi et decrementi finguHs revolutionibus augeatur, augcbitur excen- 
tricitas ', et contra, diminuetur eadem, fi ratio ilia decrefcat. 

(^) 177. Quandocunque apfides in quadraturis conftituuntur, lex vis cen- 
tripetae ab inversa duplicata ratione diftantiae minus defledit, quam in alio quo- 
cunqueeorum fitu, Attamen quamvis in hoc cafu vis centripeta in majori quam 
inversa duplicata ratione diftantiae augeatur in defcenfii corporis ab apfide 
fumma ad apfidem imam, et exinde fequatur apfides etiam nunc, motu fcilicet 
lentifllmo, progredi debere (170), atque excentricitatem majorem fieri quam fi 
vis in ipsa duplicata ratione variaretur j conflat tamen^yim centripetam minus ab 
hac lege defledlere in hoc apfidum fitu, quam in alio quolibet ; ideoquc (quoniam 
excentricitas ex variatione vis pendeat per not. 176) excentricitatem magis 
magifque augeri prout apfides a quadraturis recedunt. Haec a Newtono fie demon- 
ftrari videntur. Patetin cor. vll. vim KL in fyzygiis quafi duplo majorem eflfc 
vi LMin quadraturis, ideoque excefliim earum virium femper efle verfus vim 
iiLL,refiduumque vis centripeta? et hujufce excefsiis, in tranfitu corporis ab apfide 
fumma ad apfidem imam,efle in majori quam inversa duplicata ratione diftantiae: 
Quum igitur vis centripeta ab inversa duplicata ratione in uUo apfidum fitu 
defieftit, oftendendum eft, eam minus in hoc apfidum fitu ab ea lege defleftere*, 
* ^uam ia uUo alio: fubtrahamus figillatim vires addititias a viribus ablatitiis in. 



SicTio fumma in minore quam duplicata ratione diftantiae apHdis fum« 
^"^^* mae ab umbilico eUipfeos ad diftantiam apfidis imae ab eodem 
umbilico: et contra, ubi apfides conftituuntur in fyzygiis, vis 
in apfide ima eft ad vim in apiide fumma in majore quam dupli*^ 
cata ratione diftantiarum. Nam vires LM in quadraturis additae 
viribus corporis T componunt vires in ratione minore^ ct vires 
KL in fyzygiis fubduftae a viribus corporis T relinquunt vires in 
ratione majore. Eft i^tur ratio decrementi et incrementi totius, 
in tranfitu inter apfides^ minima in quadraturis, maxima in fy« 
zygiis : et propterea in tranfitu apfidum a quadraturis ad fyzygias 
perpetuo augetur, augetque excentricitatem ellipfeoss inque tran- 
fitu a fyzygiis ad quadraturas perpetuo diminuitur> et excentri- 
citatem diminuit. 

Corol. lo. (*•) Ut rationem ineamus errorum in latitudinera, 
fingamus planum prbis EST immobile manere; et ex errorum 


diverfis revoludonibus, et patet diflferendam earum efle iiunimam in di revolu* 
tione, in qua vires additicia? maxims evadunt virefque ablatidae minimas i et 
fatis quoque conftat, defle£tionem vis centripetas a ratione duplicata cffi in e& 
revoludone minimam. Vires autem addititias turn funt maxims, cum in femi* 
revolutione ab apfide fumm& ad apfidem imam vis ab inversa duplicate radone 
diftantiae longi(&me recedit, /. i. in apfidum quadraturis ; ibi enim, fi in hoc 
tranfitu confideretur ratio touus incrementi vel decrementi, a vi centripeti et vi 
addititia oriunda, minor ea evadit quam in inversi duplicata ratione cuftandar; 
aberratio tamcn ab di ratione major erit, quo diftantiarum inaequaUtas fit ma- 
jor. Similiter fi in eodem tranfitu confideretur ratio incrementi, a vi centripetal 
et vi ablatitia oriunda, hxc major evadit quam in inversa duplicate radone 
diftantiarum ; atque aberratio ab e^ ratione nunc quoque major erit, quo di- 
ftantiarum inasqualitas fit major. His pra^mifils £icile conftiat, quoniam vires 
addititias maximae fiint, vireique ablatitiae minimasi, quando apfides in quadra- 
turis locantur, difierentiam earum in hoc fitu, ob caufas utrafaue, minimam 
cBk ; eandemque difierentiam maximam efib, quando apfides in ^zygiis confti- 
tuantur, quoniam ibi vires additicias maxims funt, vires vero ablatitiae minima? ; 
conftat praeterea rationem incrementi vel decrementi vis ccntripetae augert 
perpetuo, in tranfitu apfidum a quadraturis ad fyzyg^, et in tranfiieu a ly- 
zygias ad quadraturas diminui. 

( ^ ) 178. Orbium PJB linea nodorum in duos iemicirculos dirimit, quo- 
rum uteique binas habet facies, alteras jplano J^^SlTinclinatas, alteras reclina- 
tas •, et quanquam vis MN a^t Temper Secundum reftas piano f^T'parallelas, 
dicemus tamen in fequentibus agere earn ad planum vd a piano EST^ prout 



expofita caufa manifeftum eft, quod ex viribus NM^ ML^ quae Sect 10 
funt caufa ilia tota, vis ML agendo femper fecundum planum ^^"^ 
orbis PAB^ nunquam perturbat motus in latitudinem ; quodque 
vis NM^ ubi nodi funt in fyzygiis, agendo etiam fecundum idem 
orbis planum, non perturbat hos motus ; ubi vero funt in qua- 
draturis, cos maxime perturbat, corpufque P de piano orbis fui 
perpetuo trahendo, minuit inclinationem plani in tranfitu (*) 
corporis a quadraturis ad fyzygias, augetque viciffim eandem in 


ab incUnatd vel recltnaid facie immediate dirigatur. Dicemus etiam mo- 
turn corporis P fieri ad planum vel a piano EST^ prout corpus illud ad no- 
dum prozimum, vel a nodo proximo tendit. His pracmiflls efiata qusedam 
proferemus, quibus ad coroUaria lo et 1 1 aditus amplifllmus pateat, quae alias 
vix aut ne vix quidcm intelligi poflunt. 

Reg. I. Si vis MNtt motus corporis P ejufdem fuerint afieftionis, b. e. fi pic^ 80,81.. 
fiat ucerque tf^. planum vel-^ piano EST^ inclinatio orbitae PjiB ceu an^lus 
inclinationis perpetuo augebitur, alias minuetur. Ex. gratia. Si corpus F, in 
linea AT defcendens jJ planum ETij vel in linei TVf afccndens a piano 
ETSy trahatur vi j4a vel 7*/, quae ad planum vel a piano dirigitur, completo 
paralielogrammo AatT dia^nalis At vel 7'a magis incUnatur verfus 
planum ETe^ quam AT\ id eft, angulus ABe vel aTe major eft quam 
ATe^ ceu angulus inclinationis augptur. Si autem corpus, in linea AT def- p^^ g^ g 
cendens j J planum vel in linea TA afccndens a piano, trahatur vi ^ j vel T /, ' ' 
angulus Ad tin primo cafu minor eft quam ATe^ ct in fecundo aTe minor 
quam ATe^ ceu angulus inclinationis minuitur, 

Reg. 2. Vis MN et motus corporis P ejufdem funt affeftionis in locis or- 
bitae PAB oppofitis, et propterea quicquid [M-aeftant in uno femicirculo idem 
preftabunt in altcro •, patet per not, 161. 

Rig. 3. Linea quadraturarum fertur in coniequcnda eadem vdocitate cum 
linea fyzygiarum, idque five motus ifte motui corporis S circum T vel T cir- 
cum S debcatur. 

Reg. 4. Inter quadraturas et nodum proximum vis MN agit a piano EST 
aUiS in locis ad {Manum : — - nam inter quadraturas et nodum proximum a re^ 
itituUa fade dirigatur, aliis in locis ab incliHata. 

Reg. 5. Si vis MN agat ad planum EST nodi regrediuntur, alias progre- 
diuntuT} ideoque per reg.4. inter quadraturas et nodum proximum nodi 
progrediuntur, aliis autem in locis regrediuntur. 

(») 179. In tranfitu a quadraturis ad fyzygias ins MN agit ad planum 
ESTy corpus autem P a piano movetur, ideoque per rcg. !• angulus in- 
clinationis minuitur-, in tranfim vero a fyzygiis ad quadraturas, vis MN 
et motufi corporis ejufikm funt ^eftionis, ideoque angulus ioclinacionis 


Sbctio tranfitu a fyzygiis ad quadraturas {^). Unde fit ut corpore m 
^«XTA. fyzygiis cxiftente inclinatio evadat omnium minima, redeatque 
ad priorem magnitudinem circiter, ubi corpus ad nodum proxi- 
mum accedit. At fi nodi conllituantur in odtantibus poft quadra^ 
turas, id eft, inter C et -/f, D et B, intelligetur ex modo expofitis, 
^uod, in tranfitu corporis P a nodo alterutro ad gradum inde 
nonagefimum, (*) inclinatio plani perpetuo minuitur; deinde 
in tranfitu per proximos 45 gradus, ufque ad quadraturam proxi- 
mam, inclinatio augetur, et poftea denuo in tranfitu per alios 
45 gradus, ufque ad nodum proximum, diminuitur. Magis ita- 
que diminuitur inclinatio quam augetur, et propterea minor eft 
femper in nodo fiibfequente quam in praecedente. Ef fimili ra- 
tiocinio, inclinatio magis augetur, quam diminuitur, ubi nodi 
funt in oflantibus alteris inter jlctDyB et C. Inclinatio igitur 
ubi nodi filnt in fyzygiis eft omnium maxima (")• In tranfitu 
eorum a fyzygiis ad quadraturas, in fingulis corporis ad nodos 


(^) 180. Hinc patet, longitudines heliocentricas planetarum In xqualibus 

a nodis diftantiis non femper eafdcm manere, fi rado illarum habeatur io. di- 

verfis revolucionibus ejufdem planetae. Nam, ob aftioncm casterorum, unuf- 

quifque planeta in limitibus fuis modo proprius accedit ad eclipticam, modo 

Jongiiis a piano illo rccedit. 

(*) 181. Per hos 90® minuitur inclinado quoniam vis A/iVagit ad ph-- 
num, corpus autem a piano movetur (per r^. i) ; fed per proximos 45* au- 
getur, quoniam vis et motus ejufdem funt aftefkionis ; ac aenuo in tranfitu 
per alios 45'' minuitur, quoniam motus corporis P ttt ad planum, vis veto 
MN agit a piano, 

(") 182. Si confideratur efieftus planetae cujufvis, motum aliomm in lati- 
cudinem perturbantis, patet, diftandam planorum in limitibus planeta?, cujus 
motus perturbatur, minimam fore, quando ipfe planeta, fol, et planeta pertuf- 
bans, in fyzigiis fuis, nodique in quadraturis verlantur. Idem ctiam de fofe, 
motum lunae in iatitudinem perturbante, intclligendum eft. Motus vcro 
non omnino perturbabitur, fi planeta perturbans in piano motus planeta? in- 
ferioris verfetur : hoc eft, fi nodi in fyzigiis conftituahtur : eritque in hoc calii, 
fi lunas motus confideretur, heliocentrica ladtudo, caeteris paribus, maxima. 
Quoniam vero, ob diverfum planetarum fitum, alii alios ad planum ecliptic$s 
attrahunt, dum alii illos a piano recedere cogant, eorundem efFeftus maxi- 
mos, in fyftemate plurium corporuoi, aon nifi calculo prslongo determinare 



• ■ • 

appulfibos^ diminuitur; fitque omnium minima, ubi nodi funt seotio 
in quadraturis, et corpus in fyzygiis : dein crefcit iifdem gradi- 
bus, quibus antea decreverat; nodifque ad fyzygias proximas ap- 
pulfis, ad magnitudinem primam revertitur. 

Corel. 1 1 . Quoniam corpus P, ubi nodi funt in quadraturis, 
perpetuo trahitur de piano orbis fui, idque in partem verfus S in 
tranfitu fuo a nodo C per conjun6tionem ji ad nodum D; et in 
contrariajn partem in tranfitu a nodo D per oppofitionem B ad 
nodum C: manifeftum efV, quod in motu fuo a nodo C corpus 
perpetuo recedit ab orbis fui piano primo CD, ufque dum per- 
ventum eft ad nodum proximum ; ideoque in hoc nodo, longifll* 
me diftans a piano illo primo Cx), tranfit per planum orbis 
EST non in pJani illius nodo altero D, fed in punfto quod inde 
vergit ad partes corporis 5, quodque proinde novus eft nodi lo- 
cus in anteriora vergens. £t fimili argumento pergent nodi re- 
cedere in tranfitu corporis de hoc nodo in nodum proximum. 
Nodi igitur in quadraturis conftituti perpetuo recedunt; in fyzy- 
giis, ubi motus in latitudinem nil perturbatur, quiefcunt; in lo- 
cis intermediis, conditionis utriufque participes, recedunt tar- 
dius : ideoque, femper vel retrogradi, vel ftationarii fingulis revo- 
lutionibus feruntur in antecedentia ("). 

CoroL 12. Omnes illi in his coroUariis defcripti errores funt 
paulo roajores in conjundlione corporum P, iS, quam in eorum 


C) 183. Si nodi conftituantur in quadraturis, vis MN trahens corpus P 
perpecu5 de piano orbis fui CD verfus planum orbis EST, faciet ut P citius 
perveniat ad planum EST^ quam fi tali vi non omnino agitetur ^ tranfibit igi- 
tur per planum illud in nodo quod vergit in antecedentia nodi prions D \ ec 
fimili argumento recedent perpetuo nodi in oppofita parte orbitas (178. Reg. 
25). Si conftituantur nodi in offcantantibus inter C ctB^ D ti J, regredientur 
per gradus 135 in tranfitu a C ad nodum proximum; deinde in tranfitu per 
gradus 45 a nodo ad quadraturam D progredientur; fimiliter in oppofita parte 
orbitse regredientur perpetuo in tranfitu ipfius P per gradus 135, progredien- 
tur vero in tranfitu per alios 4; : et exceflli regreflus fuper progreflum fingulis 
revolutionibus ferentur in antecedentia. Si nodi fint in ipfis fyzygiis, vis MN 
agens in piano orbis CAD^ nuUos inducet errores in latitudinem \ et nodi pef 
totam revolutionem quiefcent, nifi quatenus declinant ab hoc fitu ob motunfl 
corporis J drcum 7*, vel T circum S : deinde recedent fingulis revolutionibus^ 
tardius quidem prope fyzygias, velocius vero prope quadraturas* 


Sbctio oppoiitiones idqiie ob majores vires generantes NMti ML (*). 

SixTA. Corol. 13. Cumque rationes horam corollarionim n<Mi pendeant 
a magnitudinc corporis 5, obtintnt pracccdentia omnia, iibi cor- 
poris S tanta ftatuitur magnitudo, ut circa ipfam revolvatur 
corporum duorum T et P fyftcma. Et ex aufto corpore 5, aufta- 
que ideo ipfius vi centripcta, a qua errores corporis P oriuntar 
evadent errores illi omnes, paribus diftantiis, majores in hoc ca- 
fu quam in altero, ubi corpus S circum fyftema corporum P ct 
tr revolvitur. 

Corol. 14. Cum autem vires NM^ MLj ubi corpus S longin- 
quum eft, fint quamproxime ut vis iSiiC et ratio PTad -ST con- 
]un£lim, hoc eft, fi detur turn diftantia PT, turn corporis S vis 
abfoluta, ut ST cub. reciprocc ; fmt autem vires ill« NMy ML 
cauis errorum et efFe£tuum omnium, de quibus a£tum eft m 
prscedentibus corollariis : manifeftum eft, quod efte6his illi om- 
nes, ftante corporum 7* ct P fyftemate, et mutatis tantum dif- 
tantia 5 T et vi abfoluta corporis S^ fint quamproxime in radone 
compofita ex ratione dire6ta vis abfblutse corporis S^ et ratione 
trijdicata inverfa diftantise 57*. Unde fi fyftema corporum 7* et P 
revolvatur circa corpus longinquum S^ vires illae JVAf, ML^ ct 
earum efFeftus erunt (per cotc\. 2. et 6. prop, iv.) reciproce in 
duplicata ratione temporis periodici. Et inde etiam, fi magnitu^ 
do corporis S proportionalis fit ipfius vi abfbluts, erunt vires il-* 
ks NMy MLy et earum efFedtus direfte ut cubus diametri appa- 
rentis longinqui corporis S e corpore T fpe£tati, ct vice verfa ('). 


('') 184. Si orbiu PAB circularis fie vel drculari finitimus, vis LAf in 
conjundione eft ad vim eandcm in oppofitione in ratkmc triplicac& diftaoda* 


rum SP inverse. Nam (158) vis £Af eft ut j^ •, id eft, dati PT^ ut -^3-. 

185. Vis MN in conjundione eft ad MN in oi^)ofitione, ut ^j9 ad 
SA ; in conjundUonc cnim SM\ ST: : ST* : SA^^ idcoque J^fT vel MNiST: : 
ST^-^SA* : SA* id eft (171) : i2 AT i SA, in oppofitione vcro ST : SM:: 
SB^:ST\ idcoqvieSTiTMyclMNiiSB* :SB*---ST* id eft (171) ut 
SB: 2 TBi quare conjundis racionilnis MN in priori cafii, eft ad MN in 
pofteriori, ut 2 ATx SBj ad 2TB x S4, id eft, ut SB : SA. 
Ta$sX. * (p) x86. Qm meliiM intelligantur ea qus in hoc corollario tradita lunr, 
r//..84. loingitudines LM% AfiV>.qQibtts vires omncs perairbatriccs corporis P ejt- 



Namquc has ratioties eadem funt, atquc ratio fuperior compofita. secti© 
CoroLi$. Et quoniam fi, manentibus orbium ESE tt PAB ^»«*rA. 
forma proportionibus ct inclinatione ad invicem, mutetur eo- 
rum magnitudo, €t fi corporum iS et 7* vel maneant, vel mutentur 


Knuntur, prime font inveftigandse. Nam fi detur diftanria S Ty accipi poteft 
igitudo SK acqualis ipfi STi quo in cafu erit edam LM in mediocri fui 
quantitate asquaUs diftandas PT^ Cm augeatur diftanda STy necefle erit ut mi- 
nuatur longitudo 5X"; adeoque neque longitudincs SK,STy neque longitude 
i\tsLMyPT amplius pro sequalibus habendae funt, fed cruenda eft longitudo 
LMtx fimilibus triangulis 5LM, SPT per fequcntem analogiam, nempe 

or per* 

SP : PT ::SL: LMy ideoquc LMz=i ■ '. Verum quoniam SL nunc 

major eft, nunc minor quam 5 Jf, ctabeadem 5 JSTnunquam aberrat fenfibiliter, 
exponatur ^L per mediocrem fuam quantitatem SK^ et fimilicer SP per ST, 

et prodibit longitudo LM=: — > 

Jam vcro ut exqmramus longitudinem MN^ jungatur KN^ et ad rcftam 
^T'perpcniicularcs ducanturLA, P7, et fi orbiu PJB drcularis fit, vel pro- 
penK)dum circularis, acquales crunt SK^ 5JV, et anguli SKN, ^JV^Ttantum 
non erunt re£ti propter angidum ad S tantum non evanefcentem : quare re6be 
KNtt LX pro paraUclis habendae funt, ut et reftae KL^ NX pro aequalibus 
et psu^illelis : fed et re£be SP^ SI tnjM edam a?quales ob angulum ad / 
redbumi quare cum fit SK\SL\iSP^iST\ erit etiam SK: SL::SI^:ST^ 
::SI:SI + 2/7*, et dividendo SKiKLi: SIiiIT-, prodit ergo KL vel 

NX = — — = — ^-: — . Rurfus, propter fimilia tnangula SLM et 

SPT, LMX et PTI, erit MXi IT:: LM: PT :: SL : SPy quare 

MJr «quatur ^^/^ = ^^S=^; quare longitudo MN feu MX + XN 

erit — ^tJ — . Et univerfaliterZrilferit ad MNy ut radius ad triplum cofi* 

ST ^ 

nus anguli PTS ; et in dato fitu corporum 5, 7", P, ad invicem, ubi eft ^IT 


ut P r, ob datum fpccie triangulum P TI^ erit MN MSKxj^i quare vis L Af ' 

univeriyiter, ct vis MNin integri revohrtione corporis P drcum 7*, eft ut 5 iC x 


His c}q)editis, fit ^ \ds abfoluta attraftiva corpCMis 5; ct ^Jf erit ut ^^, 


ergo SKx -^^ feu vires LMAfiV crunt utTx ^ •, undc in data fyftcmate 

U 2 cor- 


SicTi© vires in data quavis rationc; hx vires (hoc eft, vis cocpaus 
^"'^^' qua corpus P de reclo tramitc in orbitam PAB dfflrf^r re , rt 
corporis 5, qua corpus idem P de orbita ilia deviare 
agunt iemper eodem modo, et eadem propordooe : 
fimiles et proportionales fint eSe^s omnes, et pr 
efiecluum tcmporas hoc eft, ut orores omnes Uneares 
bium diametri, angulares vero iidem qui prius, et crrc 
rium fimilium vel angularium aequalium tempora 
tempora periodica (^}« 

corporum P, T, cnint vires LM, MNut x^. Sit jam T tenons poiodi- 

y ST 

cum coqxMis T dreum 5, et per coroL 2. et 6. Prop. 4. erit ni —^^ 

et -^:- ut ^7-; ergo in dato fyfiemate corporum P, 7*, vires L M^ MN 

reciproce ut quadratum temporis periodid fyftematis dicum S itwJyLU i U L 
Poitremo, fit D HtamcftT corporis S^ et djametrr qus ap p ai c ns ca oenoo T 

fpeaaa erit ut ^ et aibus diametri q,p«mi. « ^',. San«>r«tD» 

fempcr piopor t io p airs hoc eft, magnimdo corporis 5 et vis abfchita amifliv a 

vcl maneant vd muteutur proportiooaliter, eritque t:— ut ^7- ; hoc eft, vires 

LAi^ Af i^^eruntutcubusdiametri ^jpareuds corporis fezcendno TfycBMO^ 
* (^) 187. Sic V vis amaAiva corporis 5» v vis attradiva corporis T*, D 
diameter orbitae ooiporis T dream S re ro lvcjui s, d diameter orbitae PJB^ T 
tempus periodicum corporis T'drcum S^ / tcmpm periodicum corporis P dr- 
eum 7; et per Ccr. 2. Prep. 4. crit ^ ut *^, et p ut T* ; uudc aiif*:mz 

D i 

y'.^iiDviVijhoc eft, f* erit ad /^ in radooe compofica ez radone 

D ad J et radone t; ad ^. Maoente orbium propoitioiie muteator eorum 
magnitudines, et vd maneant vd mutcmur proportionalitcr viics V tt v^ tx 
propter fervatas raoones componentcs inter D et J^ et v et f^, iervabitur rado 
compofica inter r» et /% eritque Tad / in eadem radone qua prius. Tai^^ 
jam reOa PR orbitam PAB in loco P, et in loco pidsdmo ^age ^ diftan* 
tiac Pr parallelam, et quo tempore corpus P f^Az vi infita percuntiet tangen- 
ton Pi^ vd addiu vi V percurrcrct aicum quam minimum P^ eodem tem- 
pore idem P tods viribus I^ Af i^T et v pcrcunat aicum Px, et lineola ^9C 
erit cfie&us virium LAU MN. 




Corol. 16. Unde, fi dentur orbium forma et inclinatio ad invi- Sbctio 
cem, et mutentur utcunque corporum magnitudines, vires et 
diflantiae; ex datis erroribus ct errorum temporibus in uno cafu, 
coUigi pofTunt errores et errorum tempora in alio quovis, quam 
proxime (''): fed brevius hac methodo. Vires ivii/, ML^ cae- 



Manentibus orbium forma, proportioned et inclinatione ad invicem, mu- 
tentur eorum magnitudines, ut et magnitudo arcus P^ in eadem ratione, 
et vires V tt v vel maneant, vel mutentur etiam in data aliqu^ ratione. 
Detur poftremo fitus turn orbitarum ad invicem, turn corporum 5, T', P, ih 
his orbitis, atque ob datum et fitu et fpecie triangulum SPT^ et datam ratio- 
nem virium, lineola ^ Temper erit fimiliter (ita quoad hpc triangulum. Erunt 
etiam in hoc cafu vires L M, MN ut vis Vy et lineola ^x ut lineola flmul g&« 
nita ^/?, et errores omnes ex lineola ^ oriundi, ut ^x vel ^Jij vel ut diame- 
tri orbitarum ; atque adeo reddentur proportionales. Denique ob datam ra- 
tionem inter arcumP^et totam orbitseP^^ perimetrum, tempus quo gene- 
ratur ^ erit ut tempus periodicum corporis P circum T^ vel corporis ^cir- 
cum S. Sunt itaque errores fimiles lineares ut orbitarum diametri, et prop- 
terea errores angulares ex centro T fpeftati aequales ; et errorum linearium 
fimilium vel angularium aequalium tempora funt ut tempora periodica. 

♦ (') 188. Sit T'tempqs periodicum telluris noftrse circa folem, / tempus pe- 
riodicum lunae circa centrum telluris, R tempus periodicum jovis circa folcm, 
r tempus periodicum (atellitis alicujus circum-jovialis circa centrum jovis, et 
propofitum fit errores omnes fatellitts ex anatogis erroribus lunaribus ope Co- 
rol. 14. et 15, derivare. 

Manentibus orbita et tempore periodico fatellids, deturbetur JupUer de loco 
fuo, et ftatuatur ad diftantiam a fole, quas (it ad diftantiam fatellitis a centro 
jovis, ut diftantia terrse noflrae a fble ad diftantiam luna: a centro terras. 

Sit 5 tempus periodicum jovis circa folem ad banc diftantiam revolventis, 

eritque per Corol. 15. r : S : : / : T*- unde w = ^ et -^ = —p, Jam vcro 

ex Corol. 1 5. manifcftum eft errores omnes in motu fatellitis tempore r com- 
mifTos, aequales efle erroribus (imilibus in motu lunae commiflis tempore /. 

Referat itaque —^ quantitates errorum periodicorum lunarium, et huic asqua- 

lis -^Tc. exhibebit errores analogos acquale&.in motu fatellitis. Reftituatur jam 

Jupiter in locum proprium, et per Corol. 14. mutabuntur quantitates errorum. 
in reciproca duplicata ratione temporis periodici jovis circa folem, hoc eft, in 


•atione -^ ad -^-^ : quare -^^ jam cxponet quantitates errorum fatellitis, hoc 

rr tt 
eft, errores periodici fetellitis erunt ad errores analogos lunares ut -^^ ^t¥ 


SffCTio teris ftantibus, funt at radius TP (*), et hanun effc^us periodici 
^"^^' rper corol. 2. Icm. x.) ut vires et quadratum temporis periodici 
corpons P conjundim. Hi funt errores lineares corporis P; et 
hinc errores angulares e centro T fpe6):ati (id eft, tarn motus au- 
gis et nodorum, quam omnes in longitudinem et latitudinem 
errores apparentes) funt, in qualibet revolutionc corporis P, ut 
quadratum temporis revolutionis quam proxime. Conjungantur 
hs rationes cum rationibus corollarii xiv. et in quolibet corpo- 
rum T, P, S fyftemate, ubi P circum T fibi propinquum, et T 
circum S longinquum revolvitur, errores angulares corporis P^ 
de centro T apparentes, erunt, in fingulis revolutionibus corpo- 
ris illius P, ut quadratum temporis periodici corporis P dir^te 
et quadratum temporis periodici corporis T inverfe. Et inde 
motus medius augis erit in data ratione ad motum medium no- 
dorum; et motus uterque erit ut tempus periodicum corporis P 
direfte et quadratum temporis periodici Corporis T inverfe ( * ). 
Augendo vel minuendo excentricitatem et inclinationem orbis 
pyiB non mutantur motus augis et nodorum feniibiliter^ nifi 
ubi esdem funt nimis magnae. 

Ccrol. 17. Cum autem linea LM nunc major fit nunc minor 
quam radius P 7*, exponatur vis mcdiocris L M per radium ilium 
PT; et erit h»c ad vim mediocrem 5 JC vel &N (quam exponere 
licet per 5^) ut longitudo P^ ad longitudinem ST. Eft autem 
vis mcdiocris BN vel ST^ qua corpus T retinetur in orbe fuo 


♦0189. NamvircsZM-WiV funt ut — 5^— , fcdfidetur ^T; dabicur 

SK ob datam vim abfoluum corporis S^ quo in cafu dabitur ^^ et vires 

LMyMN cruntutPT. 

* ( < ) 1 00. Motus periodici funt qui Q)atio unius revolutionis peraguntur^ 
adeoque funt ut motus contemporanei et tempora periodica conjun^m ; imde 
fit ut motus contemporanei fint ut motus penodici dire£te) et tempora periodi- 
ca inverse. Sed. motus periodici funt ut ==^ ergo mptus contemporand erunt 


. TT 



circum A ad vim, qua corpus P retinetur in orbc fuo circum 5jicti« 

T, in ratione compofita ex ratione radii iST ad radium PT^ ct 

ratione duplicata temporis periodicl corporis P circum T ad tem* 

pus pcriodicum corporis T circum S. Et ex aequo, vis mediocris 

LM zd vim, qua corpus P retinetur in orbc fuo circum T 
(quave corpus idem P, eodem tempore periodico, circum punc- 

tum quod vis immobile T ad diftantiam pT revolvi poflet) eft in 

ratione ilia duplicata periodiconim temporum (''). Datis igitur 

temporibus periodicis una cum diftantia P 7*, datur vis mediocris 

LM', et ea data, datur etiam vis Af AT quamproxime per analo- 

giam linearum PT, MN. {"') 


(^ ) 191. Sit ^ vis attraAiva corporis 5, v vis attraftiva corporis T\ fit ^ 
tempus pcriodicum corporis T circum 5 ; / tempus pcriodicum corporis P cir- 
cum T' ct erit vis mediocris LM\V: : PTx ST-, ftd F:v:: zp- : — •, unde 

pTx ST PTx ST I I 

eft vis mediocris LM: v : : — =r= — : : — : : =-: : — :://: TT. 

IT ft I T tt 

{J) 192. THEOREM A. Motm amnes lunaresy omnefque motuum inamtali^ 
fates ex allatis principiis canfequu Planetas majorcs, intcrca dum cirta lolem 
fcruntur, pofle alios minores circum fe revolvcntcs planetas deferre, ct minores 
illos in ellipfibus, umbilicos in ccntris majorum habentibus, revolvi dcberc 
patct per prop, xxxvii. Aftione autcm folis perturbabuntur corum motus 
muldmodc, iifque adficientur inaequalitatibus quae in luna noflra notantur. 
Hcec udque (per corol. 2, 3, 4, et 5. hujufcc prop.) vclocius movctur, ac radio 
ad terram du6lo dcfcribit aream pro tempore majorem, orbemque habet mi- 
nus curvum, atque ideo propius acccdit ad terram in fyzygiis quam in qua- 
draturis, nifi qtiatenus impcdit motus eccentricitatis. Eccentricitas cnim 
maxima eft (per corol. 9.) ubi apogaeum lunae in fyzygiis verfatur, et minim* 
ubi idem in quadraturis confiftit •, et inde luna in perigaeo velocior eft et nobis 
propior, in apogaeo autem tardior ct remotior in fyzygiis quam in quadratu- 
ris. Progreditur infuper apogaeum, et regrcdiuntur nodi, fed motu inaequa- 
Wli. Et apogaeum quidem (per corol. 7. ct 8.) vclocius progreditur in fy- 
zygiis fuis, tardius regreditur in quadraturis, ct exceffu progrcfliis fupra rc- 
grdTum annuatim fertur in confequcntia. Nodi autem (per coroi. 11.) qui- 
efcunt in fyzygiis fuis, et velociflime regrcdiuntur in quadraturis. Sed et 
major eft luna? latitudo maxima in ipfius quadraturis (per corol. 10.) quam in 
fyzygiis : et motus medius tardior in perihelio terras (per corol. 6.) quam in 
ipfius aphclia Atque has funt insequalitates infigniorcs ab aftronomis no-^ 



Ss't:? Csnl. iS. Eb&ni kgibos, quibus cwpos P dream corpus 

iCTohimr, fingamas coqxn friura fimda drcom idem T ad 
qoaks ab ip^ dsftantras moreri; dcmde ex his rrmuVgm^ iaS6s 
CDoflari annolum fiuidum, rotundum ac corpori T cooccntri-* 
com; ct fingiibg annuli partes, motus loos omncs ad legem cor- 

Soot criam albe qosedim a prkxibas aftrooooBS doo oUoracae insqiialita- 
te^ quibiB mocs lunarcs adeo patarboQCar, uc oiAa hadencB lege ad r^;a- 
bun akjaam cenam redoci pncorrinr. Vdodcns enm iea moos horani 
jpogpri ct rx>donun luxxx, et eorundeni rq i ufionr s, uc et cfificienda inter cc- 
cencndtaresn maxirrum in frzy^is ec fnininrtam in qoadnmris, ct inaDqoafitas 
quae variino didcur, augeccur ac diminonncur anmnrim (per cofoL 14*} in 
cripicau ranore diamctri apparcotis iblaiis. Ec Taiiatio pij c teica ai^etur vd 
ifinif""""' in duplicata ridoae temporis inter qoadranffas quam praainie (pa- 
con^ I9 ct 2. \axL z. et corol. 16. hujoibc prop.) fed hJDC inaninEDtt in cal* 
culo afboconuoo ad profthapbaerefin kvuc rcfieni iirict, et cum eacoofundi. 

193. PROBLEM A. \btms iJLgfula faiMtmmjms a f^tmrm a wMihu 
bputrihu darrzart. Ez motibus lunx noftne moms analogi hinarum feu ia- 
cdlitom jovis fie derivancur. Motus mctfim nodorum feteifitis eztimi jovia- 
lis, eft ad motum medium nodorum lunx nofirx, in ratiofie compofica ex ra^ 
tiooe di^)licata temporis pcriodid teme circa felem ad tempui periodicum jo- 
vis circa felem, et ratione fim{did temporis perindici feteUitis circa jovem ad 
tempus periodicum lunx circa terram (per oorol. 16.)^ ideoque annis centum 
confidt nodus ifte %gr. 24^ in anteocdenda. Motus medii nodorum latelli- 
cum interiorum iiint ad motum hiqus, ut illorum tempora periodica ad tem- 
pus periodicum htijus (per idem coroUarium) et inde dantur. Motus autem 
augis fatellitis cujuiqoe in confequcntia eft ad motum nodoium ipfius in ante^ 
cedtntia, ut motus apogzi lunx noftrse ad hujus motum nodorum, (per idem 
cord.) et inde datur. Diminui tamen debet motus ai^gis fie inventus in ra- 
tione 5 ad 9 vd I ad 2 cirdter, ob caulam quam luc ezponere non vacac 
( Vid. Cor. 8.). iE q natio n ci maximx nodorum et augis fetellitis cujulque 
fcre funt ad zquatiooes mazimas nodorum et aug^ hmx rdpedive, ut motus 
nodorum et augis fetdlitum tempore unius revdutioiiis zquationum priQrum» 
ad motus nod(mim ct 2pogxi lunas tempore unim rcvolutionis aDouationum 
pofteriorum (Vid. Cor. i6.)* Variado (acdlitis e jove ipedad, eft ad variatio- 
nem lunar, ut funt ad invicem tod motus nodorum temponbus quibus fetellcs 
et luna ad felem revolvuncur, per idem coroUarium ; ideoque in fefidUte ez- 
dmo non fuperat 5'^ 12^. 

194. Hadenus (atelfitum motus deferipfimus rdpefhi ad plana quae area 
felem cum primariis fuis deferuntur. Adjidantur pauca de proprietatibos fe- 
mitar, quam latelles motu compofito ez motu ejus circa primarium et pii- 
morii drca felem in piano immoUli deferibit ; pofito quod motus (atellitis drca 
primarium, et pdmarii drca felem fiant unifbrmiter in drculis in eodem piano 









poris P peragendo, propius accedent ad corpus Ty et celerius Secti© 
movebuntur in conjun6tione et oppoiitione ipfaram et corporis ^**'"** 
S, quam in quadraturis. Et nodi annuli hujus, feu interfeftiones 
ejus cum piano orbitae corporis S vel T, quiefcent in fyzygiis ; 
extra fyzygias vero movebuntur in antecedentia, et velociflime 


jacentibus. Sit S fol, /ia orbita primarii, ttLxL orbita fatellitis circa pri- Tab. XI. 
marium defcripta ; centre S et radio 5L, cum fatcUes L fit in conjunftione, ^*^- ®5- 
defcribatur arcus circuli Ll\ etfi linea L/a^ualisfit peripherias orbital iatcllitis,et 
tempus fynodicae revolutionis fatellitis, vel tempus quod iabitur inter duas con- 
jun^ones proximas, fit scquale tempori quo defcribit primarius lineam Aa^ 
quae eft ad peripheriam orbitae fatellitis ut SA ad 5 L, patet femitam fatellitis 
efie epicycloidem, a pundto quovis in peripheria circuli L x defcriptami interea 
dum circulus ille L x fupcr bafim circularem L I revolvitur. Quod fi tempus 
fynodicae revolutionis fatellitis non tale fit, erit femita ejus epicyclois quaedam 
defcripta a pun<5to L in piano circuli cujufdam dati, interea dum circulus ille 
fuper alium quendam circularem bafim revolvitur, cujus proprietates a fig- 
nentibus theorematis innotefcunt. 

1 95. THEOREM A. I. jD/JW^/^ circuIarisbafisSE eft addiametrum circulire- Tab. XL 
volventis EA^ ut tempus periods cum primarii circa folem^ ad tempus fynodicum fateU Fx o . S6. 
litis circa primarium. 

Dem. Sit enim ST tempus periodicum primarii circa folem, et / tempus 
fynodicum fatellitis circa primarium, hoc efl:, tempus quod, ob motum com- 
pofitum fatellitis circa primarium et primarii circa folem, Iabitur inter duas 
proximas conjun£tiones : fit S fol, A a orbita primarii circa folem, CL orbita 
mobilis fatellitis L circa primarium A\ et centris S tt A deicribantur circuli 
EeZ^ £AfF tales, ut dum circulus EMF fuper EeZ revolvatur, centro ejus 
movente cum velocitate quam habet primarius in orbita fua, punfhim L in 
piano ciraili revolventis veram defcribat femitam fatelliris in piano immobili : 
defcribat jam primarius arcum Aa^ et fumatur er zz EM^ tt mr zieE'^ et 
fatelles L defcribet interea arcum rm a?qualem arcui Ee: eft igitur angulus 
r^ ;9f,quem fatelles circa primarium revera defcribit, ad angulum£5^ vel ASa^ 
quem primarius circa folem interea defcribit, ob a^quales arcus fubtendentes^ 
inverse ut radius tf r, vel AEjZd ES: tempora vero ^Tet / funt inverfe ut an- 
gulares velocitatcs ; ergo erit T:t::ES:EA. Q^E.D. 

196. Cor. I. Hinc fequitur efie AS : AE :: 3"+ / : /, hoc efti ut tempus pe- 
liodicum primarii ad tempus periodicum fatellids. 

197. Cor. 2. Quoniam circulus EMF circa punftum E rcvolvat, erit di- 
redlio tangentis, in qua movetur perpetu6 fatelles, ipfi EL perpendicularis : et 
velocitas fatellitis ad uniformem velocitatem primarii, ut £L ad EA. 

198. THEOREMA .II. Capiatur AB ipjis AS et AE tertia proportionalis -, 
fuper EB defcribatur femicirculus BKE, occurrens linea EL in lL\et prodikatur 
LE adpunffum O, ita ut LK// ad LE, ut LE ad LOy erit LO radius (ffcuti 
ad punSum femita L. 

X Dem. 


SicTio quidem in quadraturis, tardius aliis in locis. Annuli quoque 

^^"^' inclinatib variabitur, et axis ejus fingulis revolutionibus ofcilla* 

bitur, completaque rcvolutione ad priflinum fitum rcdibit, nifi 

quatenus per praeceffionem nodorum circumfertur. 


Dem. Quoniam LE ct I e perpendiculares fint fetniDc in L ct /, ct pro- 
dudae occurrant in O, ultima earum.interfcdlio centrum erit curvaturaj. Du- 
catur ;^, qusB produfta occurrat LE in F^ et jungatur FS^ patet angulum 
SeVzz qea = LEJ= SEVj idcoquc angulum eFE = eSEy et EVS = EeS: 
eFgo sU eft ultimo ad EF perpendicularis, et EF: EK:: ES: EB ::jfS: 
A E\ ultimo auten angulus EOe eft ad angulum EVe (feu ESe) ut £^ad 
£0i hoc eft, ui EVy^AEiStu EKy^ AS) utzA EOy^AE. Motus angu- 
lares linearum LE tt EA in ftatu nafcenti aequantur, ideoque angulus 
LEl-zL AEa. Ultimo angulus EOe eft ad angulum LEI ut LE ad LO^ 
ct LEI (ceu AEa): ESe :: AS :-/4£, ergo eft EOe: ESe r.ASxLE : 
AExLO, Sed ex praemiffis EOe: ESe:: EKxAS:EOxAE; ergo 
EKxAS:EOyiAE:: ASxLE:AExLO, unde EK:EO :: LE:LO, 
ideoque LO : LE:: LE : LK convertendo et dividendo. Q^E. D. 

199. Cor. I. Si AB major fit quam ACy LK ct LO ad candem pundU L 
partem jaccbunt, ideoque femita L/ erit ubique verfus 5 concava. Si AB zz 
ACj tum in conjunftione evanefcit curvatura; et femita pundtum reditudinis 
habet. Sin AB minor fit quam AC^ circulis CLD et BKE fefe jam interfe- 
cantibus, portio quaedam femitae, quae prope conjundHonem eft, convexa erit 
verfus 5; atque interfedionum loca punfta erunt contrarias flexuras. 

200. Cor. 2. Ex hypothefi A E : AS :: p: P (pofitis p tt P pro temporibus 
periodicis fatellitis ct primarii) ergo AB : AS :: p^ : P^- In cafu luna? 

noftne^*:P»:: i : 178, ct AB = — - x ^5; fed AC = — x AS quam- 

, ^178 337 ^ 

proxime, ideoque cum AB major fit quam AC^ orbita lunaris eft ubique vcr- 
ius folem concava. 

20 1. THEOREM A, III. Bfdempojitis^ exprimatur gravitas primarii verfus 
folem per BA ; et visj qua retinetur fat elks in femita fuper planum immobile de- 
fcriptd^ exprimetur per L B, ef tendet ad punOum B. 

Dem. Componi enim intelligatur vis dla a duabus aliis, quarum una agit in 
direftione L O ad femitam perpcndiculari, altera vero in direftionc tangentis 
femitac : et quoniam vires, quibus corpora in curvas quafcunquc dcflcdtuntur, 
funt ut quadrata velocitatum direfte, et ut chordae illae curvaturae quae per 
centra virium tranfeunt inverse (42), erit vis prior, quae agit in dircdlione ad 

femitam perpcndiculari ad vim gravitatis primarii verfus folem, ut -y-pr- ad 

-J-, hoc eft, ut LK ad^J?( 198) : graviutc igitur primarii difta AB^ vis prior 



Corol. 19. Fingas jam globum corporis T, ex materia non sicno 
fluida conftantem, ampliari et extendi ufque ad hunc annulum, Sekta. 
et alvco per circuitum excavato continere aquam, motuque eo- 
dem periodico circa axem fuum uniformiter revolvi. Hie liquor 
per vices acceJcratus et retardatus (ut in fuperiore coroUario) in 
fyzygiis velocior erit, in quadraturis tardior quam fuperficies 


latellids rc6te exprimitur perL/T, Vis altera quae in fatellitem in direftione tan- 
gentisagit, atque accelerat vel retardat motum ejus, eft ut incrementum velocita- 
tis direfte, et ut incrementum temporis inverfe •, incrementum temporis eft ut 

incrementum ^atii dircfte, et ut velocitas inverse, i.eJut •=— ^ iz ^^-5 = ttt^ 

-c ^ iL Jo E B 

zz -Jrr — -j^ zi (Si an tX q^u fint perpendiculares ad ^« et ^/ in » et «, et proinde 
lq\lu::ac:an:: JC : AN) =z tts — tTt — Fv- • ^^ autem lu increment 

turn velocitatis ; et proinde eft vis ut /« diredbe, et ut ^-^ inverse, hoc eft, 

direfte ut BK. Quoniam igitur vis in diredtionc LO agens exprimatur per 
LJf, et vis altera in direilione tangentis per BK^ vis ex his compofita redlc 
cxprimetur per L5, et a punfto L ad pundlum B tendet. (^E. D. 

202. Cor. I. Si L// fit aequalis et parallela AB^ et fi complcatur parallelo- 
grammum LABH^ vis LK componi poteft ex viribus LHtt LA^ quarum 
una LH parallela eft et aequalis ipft AB^ quae exprimit gravitatem primarii 
verfus Iblem, altera vero L>^ ad primarium tendit, et aequalis eft gravitati qua 
fatelles circulum circa primarium fuum defcriberet in eodem tempore periodi- 
co^, fi nulla effet aftio folis •, eft enim gravitas ilia ad A B gravitatem primarii 

circa folcm, ut —^ ad --Trr, vel ut vf L ad -j^ zz AB. 

At?' Ao^ ji o 

203. Cor. 2. Hinc fequitur, omncm vim perturbatricem foils in fatellitem 
oriri, vel ex inaequalitate aftionis ejus in fatellitem et primarium, vel ex obli- 
quitate direftionis : nam fi fatelles trahatur verfus folem \\ LB aequali et pa- 
rallela vi A By qu^ agitatur primarius, revolvet circa primarium cum vi AL 
eodem modo, ac fi primarius quiefceret, et aftio folis tolleretur. 

204. Cor. 3. Quoniam in cafu lunae AB femper major eft quam ^C,luna in con- 
junftione plus attrahitur verfus folem quam verfus tellurem •, non tamen ob banc 
caufam relinquit tellurem -, nam velocitas ejus abfbluta multo major eft quam quae 
fufficit ut corpus defcribat circulum, fi agitetur a vi quae eft differentia inter vi- 
res A By AC'j luna igitur recedet a fole donee pervenium eft ad oppofitionem, 
et poftea agitata fumma virium ABj ACy accedet verfus conjunftionem : et fie 
orbita lunaris refpedu ad folem^ duas habet apfides in fingulis revolutionibus 
ejus circa terram. 



Sbctio globi, et fie fluet in alveo rcfluetque ad modum maris. Aqua, 
revolvendo circa globi centrum quiefccns, fi toUatur attra£tio 
corporis Si nullum acquiret motum fluxus et refluxus. Par eft 
ratio globi uniformiter progredientis in dire£tum, et interea re- 
volventis ciica centrum fuum (per legum corol. v.) ut et globi 
de curfu redlilineo uniformiter tra6li, (per legum corol. 6.) Ac- 
cedat autem corpus Sy et ab ipfius inasquabili attradione mox 
turbabitur aqua. Etenim major erit attraflio aquae propioris, 
minor ea remotioris. Vis autem LM trahet aquam deorfum in 
quadraturis, facietque ipfam defcendere ufque ad fyzygias; et 
vis KL trahet eandem furfum in fyzygiis, fiftetque defcenfum 
ejus> et faciet ipfam afcendere ufque ad quadraturas: nifi quate- 
nus motus fluendi et refluendi ab alveo aquas dirigatur, et per 
fri£tionem aliquatenus retardetur. 

Corol. 20. Si annulus jam rigeat, et minuatur globus, cefTabit 
motusT fluendi et refluendi ; fed ofcillatorius ille inclinationis mo- 
tus et praecefllo nodorum manebunt. Habeat globus eundem 
axem cum annulo, gyrofque compleat iiClem temporibus, et fn- 
perficie fua contingat ipfum interius, eique inhaereat 5 et partici- 
pando motum ejus, compages utriufque ofcillabitur, et nodi re- 
gredicntur. Nam globus, ut mox dicetur, ad fufcipiendas im- 
prefliones omnes indiffferens eft. Annuli globo orbati raaximus 
inclinationis angulus eft, ubi nodi funt in fyzygiis. Inde in pro- 
greflTu nodorum ad quadraturas conatur is inclinationem fuam 
minuere, et ifto conatu motum imprimit globo toti. Retinet 
globus motum impreflTum, ufque dum annulus conatu contrario 
motum hunc tollat, imprimatque motum novum in conlrariam. 
partem: Atque hac ratione maximus decrefcentis inclinationis 
motus fit in quadraturis nodorum, et minimus inclinationis an- 
gulus in oiSlantibus poft quadraturas ; dein maximus reclinationis 
motus in fyzygiis, et maximus angulus in o£tantibus proximis. 
Et eadcm eft ratio globi annulo nudati, qui in regionibus aequa- 
toris vel altior eft paulo quam juxta polos, vel conftat ex mate- 
ria paulo denfiore. Supplet enim vicem annuli ifte materiae in 



s^quatoris reglonibus exceflus (*). Et quanquam, audta utcun- SBcna 
que globi hujus vi centripeta, tendere fupponantur omnes ejus 
partes deoifum, ad modum gravitantium partium telluris^ tamen 
phaenomena hujus et praecedentis corollarii vix inde mutabuntur> 
nifi quod loca maximarum et minimarum altltudinum aquas dl- 
verfa erunt. Aqua enim jam in orbe fuo fuftinetur et permanet, 
non per vim fuam centrifugam, fed per alveum in quo^ fluit* 
£t praeterea vis LA/ trahit aquam deorfum maxime in quaidratu- 


(^) 205. Hinc facile cdligitar punfta sequino£tialia regredi 6b adliones fo- 
ils acque lunas conjunftim. Ponamus enim planetam prope fuperficiem telluris 
revolvi in orbita quae ad orbitam, in qua revolvitur tellus ipfa, incltnatur ; turn, 
fole v^I luna in aequatore exiftentibus, vis tota perturbacrix agit in piano aequa* 
toris, nullamque mutationem incUnationis vel nodorum motum producet. In 
locis vero quae nonaginta gradus a pundHs aequino£tialibus diftant, in tropicis 
fcilicet, vis ilia perturbatrix efficiet ut nodi regrediantur, motu vero minori ob* 
diminutam planetae diftantiam. Idem eveniet fi numerus planetarum ita au- 
geatur, ut folidus ex his conflatus annulus terra: adhereat ; velocitas vero re- 
greflionis minor erit ob quantitatem materiae motum ilium participantis ; et 
regreflionis motus adhuc minor erit, fi tellus, altior quidem juxta aequatorem^ 
quam apud polos, formae fit fpheroidicae, ob diffufam annuli materiam per fu- 
perficiem totam telluris. Quoniam igitur neque fol neque luna in piano 
aequatoris moventur, patet, punfta aequinodlialia ob eorundem aftiones regredi 
debere, et exinde annum tropicalem fidereo eflc minorem : ob caufas vero iupra 
memoratas, conftabit nodorum motum fore lentiflimum. Hicce vero motus,. 
calculo praelongo inveftigatus, motui ab aftronomis deprehenfo (qui talis eft ut 
pun£la aequinodialia totam revolutionem in annis 25000 peragerent) accurate 

206. Majorem diametrum telluris per aequatorem tranfire, minorem vero 
per polos, coUigi poteft ex rotatione ejus diurnaj ob vim enim centrifugam ex 
motu illo oriundam, nifi terra paulo altior eflct fub aequatorem quam apud 
polos, maria apud polos fiibfiderent, et juxta arquatorem afcendendo ibi om- 
nia inundarent. 

207. Ex proportione vis centrifugae^ ad vim gravitatis computum ineund* 
invenit Newtonus, diametrum terrar apud aequatorem efle ad ipfius diametrum 
per polos, ut 230 ad 229 : quod, comparatione diverfarum longitudinum pcn- 
dulorum in. diverfis latitudinibus minuta fecunda ofciliantium inventum, obfer- 
vationibus aftronomorum recentioribus mire convenire videmus. 

208. Eodem argumento, fi conftitutio jovis eademfit ac noftrae telluris,col- 
ligere licet, majorem adhuc ina?qualitatem in diametris jovis inveniri debere, ob* 
motum ejus diurnum fpatio hor. 9. confeftum •, ita ut non mirum eft, fi ea fit. 
diametrorum jovis difltrentia quae obfervationibus aftronomicis comprobatun. 


Sectio ris, et vis KL feu NM — LM trahit eamlem (urfum maxime in 
fyzygiis. Et hae vires conjuiiAae definunt trahcre aquam deorfiim 
et incipiunt trahere aquam farTum in o^antibus ante fyzygias/ac 
deiinunt trahere aquam furfum incipiuntque trahere aquam deer* 
fum in oftantibus poft fyzygias. Et inde maxima aquae altitude 
evenire poteft in oftantibus poft fyzygias, et minima in o6lan- 
tibus poft quadraturas circiter; nifi quatenus motus afccndendi 
vel deicendendi ab his viribus impreffus vel per vim infitam aquae 
paulo diutius perfeveret, vel per impedimenta alvei paulo citius 

fiftatur. (y) 

Coral. 21. 

{y) 209. Fluxum et refluxum maris ab allionibus folis ac lutue oriri. 
Mare fingulis dicbus tarn lunaribus quam folaribus bis intumcfcere de- 
here ac bis deHuere, patet per corol. 19. et 20. prop.xxxviii. ut et aquae 
maximam altitudinem, in maribus profundis et liberis, appulfum luminarium 
ad meridianum loci minori quam lex horarum fpado fequi, uci fit in maris 
Atkntici et jEthiopici tra£tu toto orientali inter GalUam et promontorium 
BovaSpei^ ut et in maris Pacifici littorc Chilenji et Peruvianc : in quibus omni- 
bus littoribus aefhis in horam circiter fecundam, tertiam vel quartam, incidit, 
nifi ubi motus, ab oceano profundo per loca vadofa propagatus, ufque ad ho- 
ram quintam, fextam, feptimam aut ultra retardatur. Horas numero ab ap- 
pulfu luminaris utriufque ad meridianum loci, tarn infra horizontem quam lu- 
pra, et per horas diei lunaris intelligo vigefimas quartas partes temporis quo 
luna motu apparente diurno ad meridianum loci revertitur. Vis folis vel lu- 
nae ad mare elevandum maxima eft in ipfo appulfu luminaris ad meridianun^ 
loci. Sed vis eo tempore in mare imprefla manet aliquamdiu, et per vim no- 
vam fubinde imprefTam augetur, donee mare ad alutudinem maximam afcen- 
derit ; id quod fiet fpatio horae unius duarumve, fed faepius ad littora fpatio ho- 
rarum trium circiter, vel etiam plurium fi mare fit vadofum. 

Motus autem bini, quos luminaria duo excitant, non cernenmr diflin(5):e, fed 
motum quendam mixtum efficient. In luminarium conjundlione vel oppo- 
fitione conjungentur eorum eflFedbus, et componetur fiuxus et refluxus maximus. 
In quadraturis fol attollet aquam ubi luna deprimit, deprimetque ubi luna at- 
tollit; et ex effedtuum differentia aeflus omnium minimus orietur. Et quoniam, 
experientia tefle, major eft effetStus lunas quam folis, incidet aqu£ maxima al- 
titudo in horam tertiam lunarem circiter. Extra fyzygias et quadraturas^ 
aeftus maximus qui fbla vi lunari incidere femper deberet in horam tertiam lu- 
narem, et Tola folari in tertiam folarem, compofitis viribus incidet in tempus 
aliquod intermedium quod tertiae lunari propinquius eft*, ideoque in tranfita 
lunae a fyzygiis ad quadraturas, ubi hora tenia folaris praecedit tertiam lunv 
rem, maxima aquae altitudo praecedet etiam tertiam lunarem, idque maximo 



Sect 10 cunquc obliquc in fupcrficiem fuam fafto propclli, et motum in* 
^'^^^' de concipere partim circularem, partim in direftum. Quoniam 
globus ifte ad axes omnes per centrum fuum tranfeuntes indifFe- 
renter fe habet, neque propenfior eft in unum axem, unuihve 
axis litum, quam in alium quemvis; perfpicuum eft, quod is ax- 
cm fuum, axifque inclinationem vi propria nunquam mutabit. 
Impellatur jam globus oblique, in eadem ilia fuperficiei parte, 
qua prius, impulfti quocunque novo; et cum citior vel ferior im- 
pulfus efFeftum nil mutet, manifeftum eft, quod hi duo impul- 
fus fticceffive impreffi eundem producent motum, ac li fimul im- 
preffi fuiffent, hoc eft, eundem, ac fi globus vi fimplici ex utro- 
que (per Icgum corol. 2.) compofita impulfus fuiffet, atque ideo 


AE xquatorem; F locum quemias extra aequatorem ; F/parallelum loci ; Hi 
parallelum ei refpondentem ex altera parte squatoris -, L locum quern luna tri- 
bus ante horis occupabat ; H locum telluris ei perpendiculariter fubjefhim ; b 
locum huic oppofitum ; Jt, k loca inde gradibus 90 diftantia, CHj Cb maris 
altitudines maximas menfuratas a centro telluris ittCK^ C^ altitudines mini- 
mas : et fi axibus Hb^ Kk defcribatur ellipfis, deinde ellipfeos hujus revolu- 
done circa axem majorem Hb defcribatur fphaerois HPKbpk\ defignabit 
haec figuram maris quam proxime, et erunt CF, C/, CD, Cd altitudines maris 
in locis^ /s /, A ^* Quinetiam fi in prsefata ellipfeos revolutione pun£him 
quodvis iV^defcribat circulum iVAf, fecantem parallelos F/, Di in Kx:is aui- 
bufvis R^ Tj et asquatorem JE in S ; erit CJV^altitudo maris in locis omnibus 
Rj 5, Tj fitis in hoc circulo. Hinc in revolutione diurna loci cujufvis Ff af- 
fluxus crit maximus in F, hora't^ia poft appulfum lunas ad meridianum fu- 
pra horizontem ; poftea defluxus maximus in S hora terda poft occafuni lu* 
nas ; dein affluxus maximus in / hora tertia poft appulfum lunc ad meridia- 
num infra horizontem ; ultimo defluxus maximus in ^hora tertia poft ortum 
lunas ; et affluxus pofterior in / erit minor quam affluxus prior in F. Diftin- 
Kuitur enim mare totum in duos omnino fludus hemi4>hsricos, unum in 
hemifphsrio KHk ad boream vergentem, alterum in hemifphasrio oppofito 
Kbki quos igitur fluAum boreakm et flufhim auftralem nominare licet. Hi 
fludus femper fibi mutuo oppofiti veniunt per vices ad meridianos locorum 
fingulorum, interpofito intervallo horarum lunarium duodecim. Cumque 
regiones boreales magis participant flu&um borcalem, et auftrales magts au- 
ftrakm, inde oriuntur asftus alternis vicibus majores et minores, in locis fin- 
gulis extra acquatorem, in quibus luminaria oriuntur et occidunt. ^ftus 
autem major, luna in verticem loci declinante, incidet in horam drdter ter- 
tiam poft appulfum lunas ad meridianum fupra horizontem, et luna declina- 
tionem mutante vertetur in minorem. Et fluxuum differentia maxima inci- 


iiinplicem, circa axem inclinatione datum. Et par eft ratio im- Sectio 
pulfus fecundi fa6li in locum alium quemvis in aequatore motus 
primi ; ut et impulfus primi fa6li in locum quemvis in aequatore 
motus, quem impulfus fecundus fine primo generaret j atque 
ideo impulfuum amborum fadlorum in loca quaecunque : genera- 
bunt hi eundem motum circularem ac fi fimul et femel in locum 


del in tempera folftitiorum ; pr«fertim fi lunae nodus afcendens verfatur in 
principio arictis. Sic cxperientia compertum eft, quod jeftus matutini tem- 
pore nyberno fuperent vefpertinos et verfpertini tempore asftivo matutinos, ad 
Plymutbum quidem altitudine quafi pedis unius, ad Brijloliam vero altitudine 
quindecim digitorum : obferA^antibus Coleprejfw et Sturmio. 

Motus autcm hadlenus defcripti mutantur aliquantulum per vim illam reci- 
procationis aquarum, qua maris asftus, etiam ceflfantibus luminarium adlio- 
nibus, poffet aliquamdiu perfeverare, Confervatio haecce motus imprefli mi«- 
nuit differentiam aeftuum alternorum -, et aeftus proxime poft fyzygias majores 
reddit, eofque proxime poft quadraturas minuit. Unde fit ut aeftus alterni 
ad Plymutbum et Brijloliam non multo magis differant ab invicem quam alti- 
tudine pedis unius vel digitorum quindecim; utque aeftxis omnium maximi 
in iifdem portubus, non fint primi a fyzygiis, fed tertii, Retardantur etiam 
motus omnes in tranfitu per vada, adeo ut acftus omnium maximi, in firetis 
quibufdam et fluviorum oftiis, fint quarti vel etiam quinti a fyzygiis. 

Porro fieri poteft ut a^ftus propagctur ab oceano per freta diverfa ad eun- 
dem portum, et citius tranfeat per aliqua freta quam per alia: quo in cafu 
aeftus idem, in duos vel plures fucceffive advcnicntes divifus, componere pof- 
fit motus novos diverforum generum. Fingamus aeftus duos asquales a di- 
verfis locis in eundem portum venire, quorum prior praecedat alterum fpatio 
horarum fex, incidatque in horam tertiam ab appulfu lunas ad meridianum 
portus. Si luna in hoccc fuo ad meridianum appuifu verfabatur in aequatore, 
venient fingulis horis fenis aequales affluxus, qui in mutuos refiuxus inciden- 
do eofdem af&uxibus sequabunt, et iic fpatio diei illius efficient ut aqua tran- 
quille ftagnet. Si luna tunc declinabat ab aequatore, fient aeftus in oceano 
vicibus alternis majores et minores, uti didbum eft ; et inde propagabuntur in 
hunc portum affluxus bini majores et bini minores, vicibus altemis. Afflux* 
us autem bini majores component aquam altifiimam in medio inter utrum- 
que, affluxus major et minor faciet ut aqua afcendat ad mediocrem altitudi- 
nem in medio ipforum, et inter affluxus binos minores aqua afcendet ad alti- 
tudinem minimam. Sic fpatio viginti quatuor horarum, aqua non bis ut fie- 
ri folct, fed femel tantum perveniet ad maximam altitudinem et femel ad 
minimam; et altitudo maxima, fi luna declinat in polum fupra horizontem 
loci, incidet in horam vel fextam vel tricefimam ab appulfu lunas ad meridia- 
num, atque luna declinationem mutante muubitur in defiuxum. Quorum 

Y omnium 



Sect 10 intcrfeftionis aequatorum motuum illorum, quos feorfim genera- 
rent, fuiffent impreffi. Globus igitur homogeneus et perfeflus 
non retinet motus plures diftin6los, fed impreflbs omnes compo- 
nit et ad unum reducit, et quatenus in fe eft, gyratur femper 
motu iimplici et uniformi circa axem unicum, inclinatione fem- 
per invariabili * datum. Sed nee vis centripeta inclinationem 


omniiim exemplum in portu regni Tunqutni ad Batjham fub latitudine borca- 
li 20*'. 50'. Halkius ex nautarum obfervationibus patcfecit. Ibi aqua die 
tranfitum lunae per gequatorem fequente ftagnat, dein liina ad boream decli- 
nance incipit fluere et refluere, non bis, ut in aliis portubus, fed femel fingu- 
lisdiebus; et seftus incidit in occafum lunab, defluxus maximus in ortum. 
Cum lunas declinatione augetur hie seftus, ufii^ue ad diem feptimum vel oc- 
tavum, dein per alios feptem dies iifdeni gradibus decrefcit, quibus antea 
creverat ; et luna declinationem mutante ceflat, ac mox mutatur in defluxum. 
Incidit enim fubinde defluxus in occafum lunse et affluxus in ortum, donee 
luna icerum mutet declinadonem. Aditus ad hunc portum fretaque vicina 
duplex patet, alter ad oceano Sinenjt inter continentem et infulam Luconiamj 
alter a mari Indico inter continentem et infulam Borneo. An seflus fpatio ho- 
rarum duodecim a mari Indico et fpatio horarum fex a mari Sinenfi per freta 
ilia venientes, et fie in horam tertiam et nonam lunarem incidentes, com- 
ponant hujufmodi motus ; fitne alia marium illorum conditio, obfervationibus 
vicinorum littorum determinandum relinquo. 

210. Commodus hie nobis pracbctur locus explicandi tranfitum a binis aefhi 
bus, qui quoddie in regionibus extra circulos polares fitis eveniunt, ad fingulos 
seftus, qui fecundum Theoriam noftram in regionibus polaribus conungere 
debent. Quoniam enim in zonis temperatis et torrida quoddie duo fluxus ol> 
fervantur, in zonis frigidis autem unum tantum, tranfitio fubitanea a binario 
ad unitatem maxime mirabilis ac paradoxa videri poflet. Sed quia fi fluxus 
bini fucceffivi inter fe funt ina?quales, refluxus aquae feu maxima depreffio 
fluxui minori eft vicinior, bini aeflus quoque fucceffivi radone temporis inter 
fe erunt inaequales, fi quidem voce asflus intelligamus motum aquae a fum* 
ma elevatione ad imam depreflionem ufque, ac viciffim. Quo magis itaque 
ab aequatore verfus polos recedatur, eo major deprehendetur inter binos aef- 
tus fucceffivos inaequalitas, cum radone magnitudinis tum temporis, major 
enim diuuus durabit quam minor, ambo vero fimul ubique abfolventur tem- 
pore 12 horarum cum 24 circiter : quod fi itaque in eas regiones ufque per- 
veniatur, in quibus luna utraque vice vel fupcr horizonte vel fub horizonte 
meridianum atungit, aeflus minor omnino evanefcit, folufque major fupere- 
rit, qui tempus 12% 24.' adimplebit. Ex quibus perfpicuum eft, fi lunaha- 
beat declinationem, inaequalitatem binorum aeftuum fucceffivorum ad polos 
accedendo condnuo fieri majorem, atque tandam minorem omnino evanefce- 
re debere, quod cum evenit, bini seftus in unum coalefcunt. 

• • 


axis, aut rotationis velocitatem mutare poteft. Si globus piano Sicno . 
quocunque, per centrum fuum et centrum in quod vis dirigitur Sbxta. 
tr^ifeunte, dividi intelligatur in duo hemifphaeriaj urgebit Tem- 
per vis ilia utrumque hemifphaerium aequaliter, et propterea glo^ 
bum, quoad motum rotationis, nuUam in partem inclinabit. 
Addatur vero alicubi inter polum et aequatorem materia nova in 
formam montis cumulata, et ha&c^ perpetuo conatu recedendi a 
centro fui motus, turbabit motum globi, facietque ut poli ejus 
errent per ipfius fuperficiem, et circulos circum fe pundlumquc 
iibi oppofitum perpetuo defcribant. Neque corrigctur ifta vaga- 
tionis enormitas, nifi locando montcm ilium vel in polo alteru- 
tro, quo in cafu (per corol. xxi.) nodi asquatoris progredientur ; 
vel in aequatore, qua ratione (per corol. xx.) nodi regredientur; 
vel denique ex altera axis parte addendo materiam novam, qua 
mons inter movendum libretur, et hoc pa6lo nodi vel progredien* 
tur, vel recedent, perinde ut mons et hsecce nova materia funt vel 
polo vel sequatori propriores, 


Pofitis iifdem attraSiionum legibus^ dico quod corpus exte- \\l\ Jg"' 
rius S, circa inter iorum P, T commune gravitatis cen- 
trum O, radiis ad centrum illud duSiis^ defer ibit areas 
temporibus magis proportionales et orbem ad formam eU 
lipfeos umbilicum in centro eodem habentis magis acce- 
dentemy quam circa corpus intimum et maximufn T, 
radiis ad ipfum duEiiSy . defer ibere poteft. 

Nam corporis 5 attra6liones verfus 7* et P componunt ipfius 
attra6tionem abfolutam, quae magis dirigitur in corporum tT et P 
commune gravitatis centrum Oj quam in corpus maximum T, 
quaeque quadrato diftantiae SO magis eft proportionalis reciproce, 
quam quadrato diftantiae ^ST: ut rem perpendenti facile conftabit. 

Y2 PRO- 




Pofitis iifdem attraEiionum IcgibuSy dico quod corpus ex-^ 
terius S, circa interiorum Y etli commune gravitatis 
centrum O, radits ad centrum illud duSlisy defcribit 
areas temper ibus magis proportionalesy et orbem ad for-- 
mam ellipfeos umbilicum in centra eodem habentis magis 
accedentemy fi corpus intimum et maximum his attrac-- 
tionibus perinde atque ccetera agitetur^ quam fi id vel 
non attraSium quiefcaty vel multo magis aut multo mi- 
nus attraSium aut multo magis aut multo minus agitetur. 

Demonftratur eodem fere modo cum prop, xxxviii. fed argu- 
mento prolixiore, quod ideo praetereo. SufRceret rem fie aefti- 
mare. Ex demonftratione propofitionis noviffimae liquet centrum, 
in quod corpus 5 conjunftis viribus urgetur, proximum effe com- 
muni centro gravitatis duorum illorum. Si coincideret hoc cen- 
trum cum centro illo communi, et quiefceret commune centrum 
gravitatis corporum trium; defcribcrcnt corpus 5 ex una parte, 
et commune centrum aliorum duorum ex altera parte, circa com- 
mune omnium centrum quiefcens, ellipfes accuratas. Liquet 
hoc per corollarium fecundum propofitionis xxxii. coUatum cum 
demonftratis in prop, xxxvi et xxxvii. Perturbatur ifte motus el- 
lipticus aliquantulum per diftantiam centri duorum a centro, in 
quod tertium S attrahitur. Detur praeterea motus communi trium 
centro, et augebitur perturbatio. Proinde minima eft perturbatio, 
ubi commune trium centrum quiefcit; hoc eft, ubi corpus in- 
timum et maximum 7* lege caeterorum attrahitur: fitque major 
femper, ubi trium commune illud centrum, minuendo motum 
corporis T, moveri incipit, et magis deinceps magifque agitatur. 
Corel Et hinc, fi corpora plura minora revolvantur circa maxi- 
mum, colligere licet quod orbitae defcriptae propius accedent ad 




elJipticas, et arearum defcriptiones fient magis aequabiles, fi cor- Sect 10 
pora omnia viribus acceleratricibus, quae funt ut eorum vires ab* 
folutaB direfte et quadrata diftantiarum inverfe, fe mutuo trahant 
agitentque, et orbitae cujufque umbilicus coUocctur in communi 
centro gravitatis corporum omnium interiorum (nimirum umbili- 
cus orbitae primae et intimde in centro gravitatis corporis maximi 
et intimi; ille orbitae fecundae, in communi centro gravitatis cor- 
porum duorum intimorum j ifte tertiae, in communi centro gra- 
vitatis trium interiorum; et fie deinceps) quam (i corpus intimum 
quiefcat et flatuatur communis umbilicus orbitarum omnium. 

Defcripfimus jam fyftema folis, terrae, lunae, ct planetarum: 
fupereft ut de cometis nonnuUa adjiciantur. 


Cometas ejfe luna fuperiores et in regiont planetaruih 


Ut defeftus parallaxeos diumae extulit cometas fupra regiones 
fublunares, fie ex parallaxi annua convincitur eorum defcenfus 
in regiones planetarum. Nam cometae, qui progrediuntur fe- 
cundum ordinem fignorum, funt omnes fub exitu apparitionis 
aut folito tardiores aut retrogradi, fi terra eft inter ipfos et folem; 
at jufto celeriores fi terra vergit ad oppofitionem. Et contra, 
qui pergunt contra ordinem fignorum funt jufto celeriores in fine 
apparitionis, fi terra verfatur inter ipfos et folemj et jufto tardio- 
res vel retrogradi, fi terra fita eft ad contrarias partes. Contingit 
hoc maxitne ex motu terrae in vario ipfius fitu, perinde ut fit in 
planetis, qui pro motu terrae vel confpirante vel contrario nunc 
retrogradi funt, nunc tardius progredi videntur, nunc vero cele- 
rius. Si terra pergit ad eandem partem cum cometa, et motu 
angulari circa folem tanto celerius fertur, ut refta per terram et 
cometam perpetuo du6la convergat ad partes ultra cometam, co- 
meta e terra fpeftatus ob motum fuum tardiorem apparet elTe re- 

V^^^- "doi^e autet^ 




'"""u CO 


::a.B, a^ 




(deti^ V 

tetnVO^^ Avffetet^^* r'^ig*^^ ^ 



^t's^t^^r ^ ^^' rs)^'^^' ti:": ^ : . 




w"""? .: V »aS"^ 


cometae e loco g fpe^ati; ct angulus TVg parallaxis crit, quae Secti« 
oritur a tranflatione terrae de loco g in locum T: ac proinde F 
locus erit comets in piano eclipticae. Hie autem locus V orbe 
Jovis inferior effe folet. 

Idem colligitur ex curvatura viae cometarum. Pergunt haec 
corpora propemodum in circulis maximis quamdiu moventur ce- 
lerius; at in fine curfus, ubi motus apparentis pars ilia, quae a 
parallaxi oritur, majorem habct proportionem ad motum totum 
apparentem, defleftere folcnt ab his circulis, et quoties terra mo- 
vetur in unam partem, abire in partem contrariam. Oritur 
haec deflexio maxime ex parallaxi, propterea quod refpondet mo- 
tui terrae; et infignis ejus quantitas, meo computo, collocavit 
difparentes cometas fatis longe infra jovcm. Unde confequens 
eft quod in perigacis et periheliis, ubi propius adfunt, defcendunt 
faepius infra orbes martis et inferiorum planetarum. 

Confirmatur ctiam propinquitas comctarum ex luce capitum. 
Nam corporis coeleflis a fole illuftrati ct in re^ones longinquas 
abeuntis, diminuitur fplendor in quadruplicata ratione di{tantiae: 
in duplicata ratione videlicet ob auftam corporis diftantiam a 
fole, et in alia duplicata ratione ob diminutam diametrum appa- 
rentem. Unde fi detur et lucis quantitas et apparens diameter 
cometae, dabitur diftantia, dicendo quod diilantia fit ad diftan- 
tiam planetae, in ratione diametii ad diametrum dire^e et ratio- 
ne fiibduplicata lucis ad lucem inverfe. Sic minima capiilitii co- 
metae anni 1682 diameter, per tubum opticum fexdecim pedum 
a Flamjledio obfcrvata ct micrometro menfiirata, aequabat 2'. 6^ 5 
nucleus autem feu ftella in medio capitis vix decimam partem la- 
titudinis hujus occupabat, ideoque lata erat tantum 1 1" vel 42^5 
Luce vero et claritate capitis fuperabat caput cometae anni 1680, 
ftellafque primae vel fecundae magnitudinis aemulabatur, Ponamus 
faturnum cum annulo fuo quafi quadruple hicidiorem fuiffe : et 
quoniam lux annuli propemodum aequabat lucem globi interme- 

dii, et diameter apparens globi fit quafi 21'', ideoque lux globi et 
annuli conjun£tim aequaret lucem globi^ cujus diameter efiTet 30'': 



Sbctio erit diftantia cometae ad diftantiam fatumi ut i ad v/4 inverfe, 
et 12'' ad 3o"dire£le, id eft, ut 24 ad 30 feu 4 ad 5. Rurfus 
cometa anni 1665 nicnfe aprili, ut au6lor eft Hevelius^ claritatc 
fua pene fixas omnes fuperabat, quinetiam ipfum faturnum, ra- 
tione colons videlicet longe vividioris, Quippe lucidior erat hie 
cometa altero illo, qui in fine anni praecedentis apparuerat, et 
* cum ftellis primal magnitudinis conferabatur. Latitudo capillitii 
erat quafi 6\ at nucleus cum planetis ope tubi optici coUatus 
plane minor erat jove, et nunc minor corpore intermedio fatumi, 
nunc ipfi aequalis judicabatur. Porro cum diameter capillitii co- 
metarum raro fuperet 8' vel i2\ diameter vero nuclei, feu ftellae 
centralis fit quafi decima vel forte decima quinta pars diametri 
capillitii, patet ftellas hafce ut plurimum cjufdem cfle apparentis 
magnitudinis cum planetis. Unde cum lux earum cum luce fa- 
tumi non raro conferri poffit, eamque aliquando fuperet 5 mani- 
feftum eft, quod cometae omncs in periheliis vel infra faturnum 
collocandi fmt, vel non longe fupra. Errant igitur toto ccelo, 
qui cometas in regionem fixaram prope ablegant : qua certe ra- 
tione non magis illuftrari deberent a fole noftro, quam planetap, 
qui hie funt, illuftrantur a tellis fixis. 

Haec difputavimus non confiderando obfcurationem cometarum 
per fiimum ilium maxime copiofum et craffum, quo caput cir- 
cundatur, quafi per nubem obtufe femper lucens. Nam quanto 
obfcurius redditur corpus per hunc fumum, tanto proprius ad 
folem accedat neceffe eft, ut copia lucis a fe reflexae planetas ae- 
muletur. Inde verifimile fit cometas longe infra fphaeram fatur- 
ni defcendere, uti ex parallaxi probavimus. Idem vero quam 
maxime confirmatur ex caudis. Hae vel ex reflexione fumi fpar- 
fi per aethera, Vel ex luce capitis oriuntur. Priore cafu minuenda 
eft diftantia cometarum, ne fumus a capite femper ortus per fpa- 
tia nimis ampla incredibili cum velocitate et expanfione propage- 
tur. In pofteriore referenda eft lux omnis tarn caudas quam ca- 
pillitii ad nucleum capitis. Igitur fi concipiamus lucem banc 
omnem congregari et intra difcum nuclei coar6tari> nucleus ille 




K U 

%• ^7 


G P 



jam certe, quoties caudam maximam et fulgentiffimam cmittit, Stcrf 

jovem ipfum fplendore fuo multum fupcrabit. Minore igitur 
cum diametro apparente plus lucis emittens, multo magis illuf- 
trabitur a fole, ideoque erit foli multo propior. Qujnetiam capi- 
ta fub fole delitefcentia, et caudas cum maximas turn fulgentiffi- 
mas inftar trabium ignitarum nonnunquam emittentia, eodem 
argumento infra orbem veneris collocari debent. Nam lux ilia 
omnis fi in ftellam congregari fupponatur, ipfam venerem ne di- 
cam veneres plures conjun6tas quandoque fuperaret. 

Idem denique colligitur ex luce capitum crefcente in. receffu 
cometaram a terra folem verfus, ac decrefcente in coram receflfu 
a fole verfus terram. Sic enim cometa pofterior anni 1665 (ob- 
fervante Hevelio) ex quo confpici coepit, remittebat femper de 
motu fuo apparente, ideoque praeterierat perigasum; fplendor 
vero capitis nihilominus indies crefcebat, ufque dum cometa ra- 
diis folaribus obte6lus defiit apparere. Cometa anni 1683 (ob- 
fervante eodem Hevelio) in fine menfis julii, ubi primum con* 
fpe6his efl, tardifiime movebatur, minuta prima 40 vel 45 circi- 
ter fingulis diebus in orbe fuo conficiens. Ex eo tempore motus 
ejus diumus perpetuo augebatur ufque ad Sept. 4. quando evafit 
graduum quafi quinque, Igitur toto hoc tempore cometa ad 
terram appropinquabat. Id quod etiam ex diametro capitis mi- 
crometro menfurata colligitur: quippe quam Hevelius reperit 
jiug. 6. efTe tantum b'. f inclufa coma, at Sept. 2. effe 9'. 7^ 
Caput igitur initio longe minus apparuit quam in fine motus, at 
initio tamen in vicinia folis longe lucidius extitit quam circa fi- 
nem, ut refert idem Hevelius. Proinde toto hoc tempore, ob 
recefTum ipfius a fole, quoad lumen decrevit, non obflante accef- 
fu ad terram. Cometa anni 1 6 1 8 circa medium menfis Decern^ 
brisy et ifle anni 1680 circa finem ejufdem menfis, celerrime mo- 
vebantur, ideoque tunc erant in perigseis. Verum fplendor 
maximus capitum contigit ante duas fere feptimanas, ubi moda 
exierant de radiis folaribus ; et fplendor maximus caudaram pau- 
lo ante, in majore ^nicinitate folis. Caput cometse prioris, juxta 
obfervationes Cyfatiy Decemb. i. majus videbatur fleUis prims 

Z magui*' 



Sectio magnitudinis, ttDecemb.i6. (jam in periga&o cxiftcns) magni- 
tudine parum, fplendore feu claritate luminis plurimum defcce- 
rat. Jan. 7. Kepleriu de capite incertus finem fecit obfervandi. 
Die 12 menfis Decemb. confpeftum ct a Flamjiedio obfervatum eft 
caput cometae pofterioris in diftantia novem graduum a fole; id 
quod ftellae teitiae magnitudinis vix conceffum fuiffet. Decemb. 1 5 
et 1 7 apparuit idem ut ftella tertiae magnitudinis ^ diminutum u- 
tique fplendore nubium juxta folem occidentem. Decemb. 26. 
velotiffime motus, inque perigaeo propemodum exiftens, cedebat 
ori pegafi, ftellae tertiae magnitudinis. Jan. 3. apparebat ut ftella 
quaitae, Jan.g. ut ftella quinta?, y^fr. 13. ob fplendorem lunae 
crefcentis difpaniit. Jan. 25. vix asquabat ftellas magnitudinis 
feptimae. Si fumantur aequalia a perigaeo hinc inde tempora^ 
capita quae temporibus iilis in longinquis regionibus pofita^ ob 
aequales a terra diftantias^ asqualiter lucere debuiftent^ in plaga 
fblis maxime fplenduere, ex altera perigaei parte evanuere. Igitur 
ex magna lucis in utroque fitu differentia, concluditur magna 
folis et cometae vicinitas in fitu priore. Nam lux cometarum 
regularis effe folet, et maxima apparere ubi capita velociffime mo- 
ventur, atque ideo funt in perigaeis; nifi quatenus ea major eft 
in vicinia folis. 

CoroJ. I . Splendent igitur cometae luce folis a fe reflexa. 

Corol. 2. Ex diftis etiam intelligitur cur cometae tantopere fre- 
quentant regionem folis. Si cernerentur in regionibus longe ul- 
tra fatumum, deberent faepius apparere in parti bus foli oppofitis. 
Forent enim terrae viciniores, qui in his partibus verfarentur; et 
fbl interpofitus obfcuraret caeteros. Verum percurrendo hiftorias 
cometarum, reperi quod quadrupio vel quintuplo plures detefti 
funt in hemifphserio folem verfus, quam in hemifphserio oppofi- 
to, praeter alios proculdubio non paucos, qubs lux folaris obtex- 
it. Nimirum in: defcenfu ad regiones noftras neque caudas c- 
mittunt, neque adeo illuftrantur a fole, ut nudis oculis fe prius 
detegendos exhibeant, quam fint ipfo jove propriores. Spatii au- 
tcm tantillo intervallo circa folem defcripti pars longe major fita 



eft a latere terra, qilod folem refpicitj inque parte ilia majore Sgcno 
cometae, foli ut plurimum viciniores, magis illuminari folent. 

Cor6l. 3. Hmc etiam manifeftum eft, quod coeli refiftentia de- 
ftituuntur. Nam cometa vias obliquas et nbnnunquam carfbi 
planetarum contrarias fecuti, moventur omnifariam liberrime, et 
motus fuos, etiam contra curium planetarum diutiffime confer- 
vant. Fallor ni genus planetarum fint, et motu perpetuo in 
orbem red^ant. Nam quod fcriptores aliqui meteora efle volunt, 
argumentum a cajpitutli peipefuis ibutatiohibus ducehtes, fuhda^ 
mento carere videtur. Capita cometarum atmofphaeris ingenti- 
bus cinguntur; et atmofphaera infeme denfiores eSe debent« 
Unde nubes funt» Hon ipfa comefarum corpora, in quibus fnu- 
tationes illae vifuntur- Sic terra fi e planetis fpeftaretur, Iuc6 
nubium fuarum proculrfabio fplenderet, et corpus firmum fob 
nubibus prope delitefceret. Sic cingula jovis in nubibus planfctii 
illius formata font, quae fitum mutant inter fe, et fi^fnum jbvii 
corpus per nubes illas difficilius cemitur. Et multo magis cor- 
pora cometarum fob atmofphaeris et profondioribus et craifiori^ 
bus abfcondi debent* 


Cometas in feBionibus conicis^ umbilicos in centra Jolts 
habentibus moveri^ et radiis ad folem duEiis areas tempori- 
bus proportionates defer ibere. 

Patet per corol. i. prop. xv. collatum cum nota (157). 

CoroU I. Hinc fi cometae in orbem redeunt; orbes erunt ellip- 
fes, et tempora periodica erunt ad tempora periodica planetarum 
in axium principalium ratione fefquiplicata. Ideoque cometae 
maxima ex parte fopra planetas '^erfantes, et eo nomine orbes 
axibus majoribus defcribentes, tardius revolventur. Ut fi axis 
orbis cometae fit quadruplo major axe orbis fatumi, tempus revo- 
lutionis cometae erit ad tempus revolutionis faturni, id eft, ad 
annos 30, ut 4 ^ 4 (feu %) ad i, ideoque erit annorum 240. 

Corol. 2* 


Sgcrio CoroL 2. Orbes autem erunt parabolis adeo finitimi, ut eonim 
8BXTA. ^^^ parabolas fine erroribus fenfibilibus adhiberi poflint* 

CoroL 2* Et propterea (per corol.7. prop.xviii) velocitas co- 
meta? omnis, erit Temper ad velocitatem planets cujufvis circa 
folem in circulo revolventis, in fiibduplicata ratione duplae diftan* 
tiac planetae a centro folis, ad diftantiam cometas a centro folis 
quamproxime. Ponamus radium orbis magni, feu ellipfeQs in 
qua terra revolvitur femidiametrum maximam efie partium 
1 00000000: et terra motu fiio diumo mediocri defcribet partes 
17202 12, et motu horario partes 71675-^ Ideoque cometa in 
eadem telluris a fole diftantia mediocri, ea cum velodtate quae 
fit ad velocitatem telluris ut v^2 ad i, defcribet motu fuo diur- 
no partes 2432747, et motu horario partes 101364;^ In majo- 
ribus autem vel minoribus diftantiis, niotus tum diumus turn 
horarius erit ad hunc mottmi diumum et horarium in fubdupli- 
cata ratione diftantiarum reciproce, ideoque datur. 

Corol.4.. Unde fi latus re6him parabolas quadruplo majus fit 
ra^o orbis magni, et quadratum radii illius ponatur efle partium 
1 00000000: area quam cometa radio ad fblem du£bo fingulis 
diebus defcribit, erit partium 12163731-, et fingulis horis area 
ilia erit partium 50682^. Sin latus reflum majus fit vel minus 
in ratione quavis, erit area diuma et horaria major vel minor in 
eadem ratione fubduplicata.